2024届山东省新数学高二上期末综合测试试题含解析

2024届山东省新数学高二上期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的左、右焦点分别为，点A在双曲线上，且轴，若则双曲线的离心率等于（）A. B.C.2 D.32．已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（）A.30 B.29C.28 D.273．圆上到直线的距离为的点共有A.个 B.个C.个 D.个4．已知函数的导函数为，且满足，则（）A. B.C. D.5．已知向量，，若，则（）A.1 B.C. D.26．已知四棱锥，平面PAB，平面PAB，底面ABCD是梯形，，，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）A.椭圆 B.椭圆的一部分C.圆 D.不完整的圆7．某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测．把这批公务员按001到780进行编号，若018号被抽中，则下列编号也被抽中的是（）A.076 B.122C.390 D.5228．已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（）A. B.C. D.9．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程是（）A. B.C. D.10．设等差数列，的前n项和分别是，若，则（）A. B.C. D.11．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（）A. B.C. D.12．已知p、q是两个命题，若“（￢p）∨q”是假命题，则（）A.p、q都是假命题 B.p、q都是真命题C.p是假命题q是真命题 D.p是真命题q是假命题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的前项和为，且满足，，则___________.14．已知双曲线左、右焦点分别为，，点P是双曲线左支上一点且，则______15．圆锥的高为1，底面半径为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为____________16．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，将△BCD沿对角线BD折起到△BDC′的位置，如图2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中点，FA⊥平面ABD，且FA=.图1图2（1）求平面FBC′与平面FBA夹角的余弦值；（2）在线段AD上是否存在一点M，使得⊥平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由.18．（12分）已知：，:.(1)当时，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.19．（12分）已知函数，且a0（1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间；（2）记函数，若函数有两个零点，①求实数a的取值范围；②证明：20．（12分）已知数列的前项和为，且，，数列是公差不为0的等差数列，满足，且，，成等比数列.（1）求数列和通项公式；（2）设，求数列的前项和.21．（12分）如图所示，在正方体中，E是棱的中点.（Ⅰ）求直线BE与平面所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一点F，使平面？证明你的结论.22．（10分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且.（1）求的面积；（2）若a、b、c成等差数列，求b的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】由双曲线定义结合通径公式、化简得出，最后得出离心率.【题目详解】，，，解得故选：B2、B【解题分析】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可【题目详解】奇数项共有项，其和为，∴偶数项共有n项，其和为，∴故选：B3、C【解题分析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.【题目详解】圆可变为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离，圆上到直线的距离为的点共有个.故选：C.【题目点拨】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.4、C【解题分析】求出导数后，把x=e代入，即可求解.【题目详解】因为，所以，解得故选：C5、B【解题分析】由向量平行，先求出的值，再由模长公式求解模长.【题目详解】由，则，即则，所以则故选：B6、D【解题分析】根据题意，分析得动点满足的条件，结合圆以及椭圆的方程，以及点的限制条件，即可判断轨迹.【题目详解】因为平面PAB，平面PAB，则//，又面面，故可得；因为，故可得，则，综上所述：动点在垂直的平面中，且满足；为方便研究，不妨建立平面直角坐标系进行说明，在平面中，因为，以中点为坐标原点，以为轴，过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如下所示：因为，故可得，整理得：，故动点的轨迹是一个圆；又当三点共线时，几何体不是空间几何体，故动点的轨迹是一个不完整的圆.故选：.【题目点拨】本题考察立体几何中动点的轨迹问题，处理的关键是利用立体几何知识，找到动点满足的条件，进而求解轨迹.7、B【解题分析】根据系统抽样的特点，写出组数与对应抽取编号的关系式，即可判断和选择.【题目详解】根据题意，780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人，则需要分为组，每组人；设第组抽取的编号为，故可设，又第一组抽中号，故可得，解得故，当时，.故选：.8、D【解题分析】利用向量夹角余弦公式直接求解【题目详解】解：两条异面直线的方向向量分别是，，这两条异面直线所成的角满足：，，故选：D9、D【解题分析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程【题目详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为，因为直线过点，所以，得，所以直线方程为，故选：D10、C【解题分析】结合等差数列前项和公式求得正确答案.【题目详解】依题意等差数列，的前n项和分别是，由于，故可设，，当时，，，所以，所以.故选：C11、C【解题分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值点，然后判断选项即可【题目详解】解：由题意可知：和时，，函数是增函数，时，，函数是减函数；是函数的极大值点，是函数的极小值点；所以函数的图象只能是故选：C12、D【解题分析】由已知可得￢p，q都是假命题，从而可分析判断各选项【题目详解】∵“（￢p）∨q”是假命题，∴￢p，q都是假命题，∴p真，q假，故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】当时，，可得，可得数列隔项成等比数列，即所以数列的奇数项和偶数项分别是等比数列，分别求和，即可得解.【题目详解】因为，，所以，当时，，∴，所以数列的奇数项和偶数项分别是等比数列，所以.故答案为：.14、3【解题分析】根据双曲线方程求出，再根据双曲线的定义可知，即可得到、，再由正弦定理计算可得；【题目详解】解：因为双曲线为，所以、，因为点P是双曲线左支上一点且，所以，所以，，在中，由正弦定理可得，所以；故答案为：15、2【解题分析】求出圆锥轴截面顶角大小，判断并求出所求面积最大值【题目详解】如图，是圆锥轴截面，是一条母线，设轴截面顶角为，因为圆锥的高为1，底面半径为，所以，，所以，，设圆锥母线长为，则，截面的面积为，因为，所以时，故答案为：216、【解题分析】先由勾股定理求圆锥的高，再结合圆锥的体积公式运算即可得解.【题目详解】解：设圆锥的高为，由勾股定理可得，由圆锥的体积可得，故答案为.【题目点拨】本题考查了圆锥的体积公式，重点考查了勾股定理，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）不存在，理由见解析【解题分析】（1）利用垂直关系，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量和，利用公式，即可求解；（2）若满足条件，，利用向量的坐标表示，判断是否存在点满足.【小问1详解】∵，E为BD的中点∴CE⊥BD，又∵平面⊥平面ABD，平面平面，⊥平面，∴⊥平面ABD，如图以E原点，分别以EB、AE、EC′所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，A(0，-，0)，D(-1，0，0)，F(0，-，2)，(0，0，)，∴=(-1，-，2)，=(-1，0，)，=(1，，0)，设平面的法向量为=(x，y，z)，则，取z=1，得平面的一个法向量=(，1，1)，设平面FBA的法向量为=(a，b，c)，则取b=1，得平面FBA的一个法向量为=(-，1，0)，∴设平面ABD与平面的夹角为θ，则∴平面ABD与平面夹角的余弦值为.【小问2详解】假设在线段AD上存在M(x，y，z)，使得平面，设(0≤λ≤1)，则(x，y+，z)=(-1，，0)，即(x，y+，z)=(-λ，，0)，∴，，z=0，∴，是平面的一个法向量由∥，得，此方程无解.∴线段AD上不存点M，使得平面.18、(1)；(2).【解题分析】(1)将代入即可求解；(2)首先结合已知条件分别求出命题和的解，写出，然后利用充分不必要的特征即可求解.【题目详解】(1)由题意可知，，解得，故实数的取值范围为；(2)由，解得或，由，解得，故命题：或；命题：，从而：或，因为是的充分不必要条件，所以或或，从而，解得，故实数的取值范围为.19、（1）函数f(x)在区间(0，+)上单调递减（2）①；②证明见解析【解题分析】（1）求导，求解可得导函数恒小于等于0,即得证；（2）①分析函数的单调性，由有两个实数根可求解；②由（1）得2lnxx−，再利用其放缩可得，由此有，问题得证.【小问1详解】当a=1时，函数因为所以函数f(x)在区间(0，+)上单调递减；【小问2详解】（i）由已知可得方程有两个实数根记，则．当时，，函数k(x)是增函数；当时，，函数k(x)是减函数，所以，故（ii）易知，当x1时，，故．由（1）可知，当0x1时，，所以2lnxx−由，得，所以因为，所以20、（1），（2）【解题分析】（1）根据，求出是以1为首项，3为公比的等比数列，求出的通项公式，求出的公差，进而求出的通项公式；（2）分组求和.【小问1详解】因为①，所以当时，②，①－②得：，即③，令得：，满足③，综上：是以1为首项，3为公比的等比数列，故，设的公差为d，则，因为，所以，解得：或0（舍去），所以【小问2详解】，则21、（1）；（2）详见解析【解题分析】设正方体的棱长为1.如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系.（Ⅰ）依题意，得，所以.在正方体中，因为,所以是平面的一个法向量，设直线BE和平面所成的角为，则.即直线BE和平面所成的角的正弦值为.（Ⅱ）在棱上存在点F，使.事实上，如图所示，分别取和CD的中点F，G，