电路方程地矩阵形式

第15章电路方程的矩阵形式割集15.1关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵15.2矩阵A、Bf

、Qf

之间的关系15.3*回路电流方程的矩阵形式15.4结点电压方程的矩阵形式15.5列表法15.7*割集电压方程的矩阵形式15.6*首页本章重点第十五章电路方程的矩阵形式本章重点（1）图的矩阵表示关联矩阵A单连支回路矩阵B单树支割集矩阵Q（2）矩阵形式的KCL、KVL（3）节点电压方程的建立1.网络图论BDACDCBA图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。下页上页15.1电路的图返回2.电路的图抛开元件性质一个元件作为一条支路元件的串联及并联组合作为一条支路543216有向图下页上页65432178返回R4R1R3R2R6uS+_iR5图的定义(Graph)G={支路，结点}电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。图中的结点和支路各自是一个整体。移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在，因此允许有孤立结点存在。如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。下页上页结论返回从图G的一个结点出发沿着一些支路连续移动到达另一结点所经过的支路构成路径。(2)路径(3)连通图图G的任意两结点间至少有一条路径时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。下页上页返回(4)子图若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G的子图。树(Tree)T是连通图的一个子图且满足下列条件：连通包含所有结点不含闭合路径下页上页返回树支：构成树的支路连支：属于G而不属于T的支路树支的数目是一定的连支数：不是树树对应一个图有很多的树下页上页明确返回回路(Loop)L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：(1)连通，(2)每个结点关联2条支路。12345678253124578不是回路回路2）基本回路的数目是一定的，为连支数；1）对应一个图有很多的回路；3）对于平面电路，网孔数等于基本回路数。下页上页明确返回基本回路(单连支回路)12345651231236支路数＝树支数＋连支数＝结点数－1＋基本回路数结点、支路和基本回路关系基本回路具有独占的一条连支下页上页结论返回例87654321图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。876586438243下页上页注意网孔为基本回路。返回下页上页割集Q连通图G中支路的集合，具有下述性质：把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。任意放回Q

中一条支路，仍构成连通图。876543219割集：(196)(289)(368)(467)(578)(36587),(3628)是割集吗？问题返回基本割集只含有一个树枝的割集。割集数＝n-1连支集合不能构成割集。下页上页注意876543219属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。当一个割集的所有支路都连接在同一个结点上，则割集的KCL方程变为结点上的KCL方程。返回下页上页注意对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独立割集，基本割集是独立割集，但独立割集不一定是单树支割集。返回单树支割集独立割集单树支割集独立割集1234{1，2，3，4}割集三个分离部分1234{1，2，3，4}割集4保留4支路，图不连通的。15.3关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：下页上页1.图的矩阵表示结点支路关联矩阵回路支路回路矩阵割集支路割集矩阵返回下页上页2.关联矩阵A用矩阵形式描述结点和支路的关联性质。n个结点b条支路的图用nb的矩阵描述：Aa=nb支路b结点

n每一行对应一个结点，每一列对应一条支路。矩阵Aa的每一个元素定义为：注意ajkajk=1

支路k与结点j

关联，方向背离结点；ajk=-1

支路k与结点j关联，方向指向结点；ajk=0

支路k与结点j无关。返回下页上页例1２３６５４①②④③特点每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，Aa的每一列元素之和为零。Aa=1234123456支结-1-1100000-1-1011001100100-1-1矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1行是独立的。返回下页上页Aa=1234123456支结-1-1100000-1-1011001100100-1-1降阶关联矩阵A特点

A的某些列只具有一个+1或一个－1，这样的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的行对应的结点可以当作参考结点。Aa=(n-1)

b支路b结点n-1返回下页上页关联矩阵A的作用用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程；设:以结点④为参考结点[A][i]=-1-1100000-1-101100110n-1个独立方程矩阵形式的KCL:[A][i]=0返回1２３６５４①②④③下页上页用矩阵[A]T表示矩阵形式的KVL方程。设:返回1２３６５４①②④③下页上页2.回路矩阵B独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。[B]=lb支路b独立回路

l注意每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路。矩阵B的每一个元素定义为：bij1

支路j

在回路i中，且方向一致；-1

支路j

在回路i中，且方向相反；0

支路j

不在回路i中。返回下页上页例1２３６５４①②④③123取网孔为独立回路，顺时针方向给定B可以画出对应的有向图。123[B]=123456支回011001000-11-11-100-10注意基本回路矩阵Bf独立回路对应一个树的单连枝回路得基本回路矩阵[Bf]返回支路排列顺序为先连支后树支，回路顺序与连支顺序一致。下页上页连支电流方向为回路电流方向；规定例选2、5、6为树，连支顺序为1、3、4

。1２３６５４①②④③231123[Bf]=134256支回100-1-100101010010-11BtBl=[1Bt

]返回下页上页回路矩阵[B]的作用用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程；设ulut[B][u]=100-1-100101010010-11l个独立KVL方程矩阵形式的KVL：[B][u]=0返回1２３６５４①②④③231[Bf][u]=0ul+Btut=0ul=-

Btut设：连支电压可以用树支电压表示。用回路矩阵[B]T表示矩阵形式的KCL方程下页上页注意独立回路电流返回下页上页1２３６５４①②④③231矩阵形式的KCL：[B]T[il]=[i]注意树支电流可以用连支电流表出。返回下页上页3.基本割集矩阵[Qf]割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这里主要指基本割集矩阵。[Q]=(n-1)b支路b割集数注意每一行对应一个基本割集,每一列对应一条支路.矩阵Q的每一个元素定义为：qij1

支路j

在割集i中，且与割集方向一致；-1

支路j

在割集i中，且与割集方向相反；0

支路j

不在割集i中。返回下页上页规定割集方向为树支方向；支路排列顺序先树支后连支；割集顺序与树支次序一致。基本割集矩阵[Qf]例1２３６５４①②④③选1、2、3支路为树Q1:{1,4,5}Q2:{2,5,6}Q3:{3,4,6}返回QlQt下页上页[Qf]=123456支割集Q1Q2Q3100110

0100-1-1

00110-11２３６５４①②④③基本割集矩阵[Qf]的作用用基本割集矩阵[Qf]表示矩阵形式的KCL方程。设返回矩阵形式的KCL：[Qf

][i]=0下页上页[Qf

][i]=100110

0100-1-1

00110-11２３６５４①②④③n-1个独立KCL方程返回设树枝电压：ut=[ut1ut2ut3]T用[Qf]T表示矩阵形式的KVL方程矩阵形式的KVL：[Qf

]T[ut]=[u]下页上页返回1２３６５４①②④③连支电压可以用树支电压表示。下页上页注意小结QABKCLKVL[A][i]=0[B]

T[

il]

=[i]ul=-

Btut[B][u]=0[Qf][i]=0[Q]T[

ut]=[u]返回15.4回路电流方程的矩阵形式反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。

1.复合支路下页上页规定标准支路Zk(Yk)+-+-返回下页上页复合支路特点支路的独立电压源和独立电流源的方向与支路电压、电流的方向相反；支路电压与支路电流的方向关联；支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、电容、电感，而不能是它们的组合。Zk(Yk)+-+-返回复合支路定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。下页上页注意(ZkYk）(ZkYk）+-返回下页上页Zk(Yk)=0+-Zk(Yk)+-Zk(Yk)=0Zk(Yk)=0返回2.支路阻抗矩阵形式

电路中电感之间无耦合下页上页如有b条支路，则有：Zk(Yk)+-+-返回设[Z]=diag[Z1Z2……Zb]支路电流列向量支路电压列向量电压源的电压列向量电流源的电流列向量下页上页阻抗矩阵返回整个电路的支路电压、电流关系矩阵：bb阶对角阵下页上页返回下页上页电路中电感之间有耦合M*+-+-*+-+-返回下页上页返回下页上页如1支路至g支路间均有互感……………Z不是对角阵返回下页上页返回1.支路导纳矩阵形式下页上页15.5结点电压方程的矩阵形式电路中不含互感和受控源Zk(Yk)+-+-返回下页上页返回bb阶对角阵下页上页返回下页上页电路中电感之间有耦合M*+-+-*+-+-返回下页上页返回下页上页电路中有受控电源Zk(Yk)+-+-返回考虑b个支路时：下页上页若：kjkjg返回下页上页Zk(Yk)+-+-返回下页上页若：kjjkjYb返回KCL下页上页2.结点电压方程的矩阵形式支路方程：KVL返回[Yn]结点导纳阵独立电源引起的流入结点的电流列向量下页上页返回结点分析法的步骤第一步：把电路抽象为有向图下页上页5V13A1A+-0.550.521小结1①23456②③④返回第二步：形成矩阵[A]123[A]=123456

110001

0-11100

00-101-1下页上页1①23456②③④第三步：形成矩阵[Y]第四步：形成[US]、[IS][US]=[-500000]T[IS]=[000-130]T返回第五步：用矩阵乘法求得结点方程下页上页返回5V13A1A+-0.550.521例下页上页用矩阵形式列出电路的结点电压方程。解做出有向图52431２3１0返回G4L1iS5guauaG5C3+-**ML2下页上页52431２3１0注意g的位置iS5guauaG5C3G4+-**ML2L1返回代入下页上页返回iS5guauaG5C3G4+-**ML2L152431２3１0例1:图示电路，列出该电路矩阵形式的节点电压方程。例2：电路如图（a）所示，图中元件的下标代表支路编号，图（b）是它的有向图。写出结点电压方程的矩阵形式。

例2：图示电路，选节点⑤为参考结点，写出支路方程的矩阵形式，并列出该电路矩阵形式的节点电压方程。1、支路方程的矩阵形式：解：2、解：画出图示电路的有向图所示，且选取结点⑤为参考结点，则得关联矩阵为：因为含受控源支路的支路方程为：支路导纳矩阵为：电压源向量和电流源向量为：将以上各矩阵代入到式中:

便得出该电路矩阵形式的节点电压方程：7.10*状态变量分析法状态变量分析法是对复杂网络进行时域分析的重要方法。

用解微分方程的方法不便于对高阶网络进行分析，复频域分析实现了时域分析与频域分析的统一，但它不能分析非线性网络。共同特点:激励与响应之间的直接关系。概括为外部法，或谓之输入——输出法。状态变量分析法具有下列独到之处：①状态变量分析法不仅能求得系统外部端子上的响应，而且还能求得系统内部响应的信息量，所以它更适合于获取多信息量的分析；②还可用于时变网络和非线性网络的分析。1.网络的状态与状态变量网络状态指能和激励一道唯一确定网络现时和未来行为的最少量的一组信息。状态变量电路的一组独立的动态变量X，

X=[x1,x2……xn]T，它们在任何时刻的值组成了该时刻的状态，如独立的电容电压（或电荷），电感电流（或磁通链）就是电路的状态变量。下页上页返回状态变量法下页上页借助于状态变量，建立一组联系状态变量和激励函数的一阶微分方程组，称为状态方程。只要知道状态变量在某一时刻值X(t0),再知道输入激励e(t)，就可以确定t>t0后电路的全部性状(响应)。状态变量X(t0)激励e(t)(tt0)

Y(t)(tt0)响应注意这里讲的为数最少的变量必须是互相独立的。返回已知:

求：解e(0)=10V例下页上页3LCe(t)+iLiC+-uC-uo返回同理可推广至任一时刻t1由

(1)状态变量和储能元件有关

(2)有几个独立的储能元件，就有几个状态变量

(3)状态变量的选择不唯一。求出下页上页表明返回设

uc、iL为状态变量整理得每一个状态方程中只含有一个状态变量的一阶导数。对简单电路采用直观编写法。状态方程下页上页2.状态方程的列写RLCe(t)+iLiC+-uC-uo返回矩阵形式联立的一阶微分方程组左端为状态变量的一阶导数右端含状态变量和输入量下页上页特点返回一般形式下页上页返回电路的输出方程代数方程用状态变量和输入量表示输出量一般形式[Y]=[C][X]+[D][V]下页上页RLCe(t)+iLiC+-uC-uC特点电路中某些感兴趣的量与状态变量和输入量之间的关系返回二.状态方程的列写1.直观法(1)线性电路以iL,uc为状态变量。(2)对含有电容的支路，选择一个节点列出KCL方程，基本思想：(3)对含有电感的支路，选择一个回路列出K