中学数学在实际生活中地应用

中学数学在实际生活中的应用--毕业论文【标题】中学数学在实际生活中的应用【作者】向和平【关键词】函数方程排列组合体积物理应用【指导老师】韩最德【专业】数学与应用数学【正文】引言中学数学新课程标准明确指出:要注意培养学生的应用意识，使学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用;面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略;面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。因此，我们在教学和学习中，注意选择与学生学习，生活密切相关的内容，组织实践活动，让数学走进生活，运用数学知识解决周围的实际问题。在21世纪“人人学有用的数学”的感召往日，提起“数学”就是“题”。在使用新教材过程中，我逐步体会到，数学本身不只是“数学符号”，它有更丰富的内涵，它与人的生活息息相关。数学是人类生活的工具;数学是人类用于交流的语言;数学能赋予人创造性，数学是一种文化。但并没给出一个简单的定义，因为数学不仅是一门知识，更是人类在现实生活中学习数学的起点。中学数学新课程标指出:“数学教学活动必须建立在学生已有的认知发展水平和已有的知识经验基础上。”“教学中要创设与学生生活环境、知识背景密切相关的，又是学生感兴趣的学习情景，让学生在观察、操作、交流、反思等活动中逐步体会数学知识的产生、形成和发展过程，获取积极的情感、体验，感受数学的力量，同时掌握必要的基础知识和基本技能。”数学“源于生活，又用于生活”的道理，把所学的知识用到生活中去，解决身边的数学问题是学习数学的最终目的。最好的学就是用。本文就是通过一些实际问题是如何运用数学知识来解决的，从而说明数学在我们实际生活中的重要性。1.数学在市场销售，投资，生产中的应用企业决策者在对分销渠道进行选择时，要考虑经济效果因素。例1.某企业在出售“天鹅”牌收音机，单位成本20元，直接由门市部销售，每台28元，销售费每月要2400元。如果采用间接销售，出厂价每台26元。试计算两种方式下的利润平衡点。若每月销售2000台，试计算采用哪种销售方式效果较好,解:设x为两种分销渠道形式下利润相等时的销售量，依题可列出一元方程:(28-20)x-2400=(26-20)x解得x=1200(台)即当销售量为1200台时是这两种销售方式出现的利润平衡点。当x,1200台时(28-20)x-2400,(26-20)x即直接销售的利润大于间接销售利润，所以此时就应选择直接销售渠道;当x,1200台时(28-20)x-2400,(26-20)x即直接销售的利润小于间接销售利润，所以此时就应选择间接销售利润;因此每月销售2000台时，应采用直接销售渠道。企业决策者在对分销渠道以及销售旺季的时间进行选择时，所考虑经济效益的因素，就要应用到方程、不等式等方面的知识。例2.有一批货物，如果年初出售，可获利1000元，然后将本利一起出入银行用于来年周转，银行年息为2.2%;如果年末出售，可获利1220元，但要付22元的仓库保管费，问这批货物是年初还是年末出售为好,解:设这批货物的成本为a元，根据题意，得(a+1000)(1+2.2%)-(a+1220-22)=0.022(a-8000),?当成本大于8000元时，年初出售好;?当成本等于8000元时，年初或年末出售均可;?当成本小于8000元时，年末出售好。随着我国经济体制改革的不断深入,市场竞争日趋激烈,数学知识在营销管理特别是在价格决策方面发挥了及其重要的作用.例3.重庆某公司计划出售”凤凰牌多功能”电子琴.该琴的市价是3280元/架,成本价按市价扣25%,为了营业,公司希望定一新价,以便按新价八折优惠销售后,可获得售就价18%的利润.试问:(1)新价是多少?折合后的售价是多少?如果把18%改为25%,那么新价,售价是多少?(2)为使今年按新价让利销售后的获利总额不低于50000元,该公司在今年内至少应销售多少架这种电子琴?问题[分析]:不难看出,该电子琴正处于完全竞争市场,市价3280元/架就是该琴的市场平衡价格,该公司按市场销售便能获得最大利润,但是,为了吸引更多的顾客来购买该公司的产品(包括其他产品),可制定新价或采用折价优惠销售等最有效的心理方法来表达产品的价格.欲求新价、售价及销售量,关键是要分析各种量及其关系,特别是要注意分析新价与市价、总利润与销售量之间的关系.然后正确运用函数和方程的思想解决问题,为了便于分析,列出下表(未知量母表示)成本价(元/架)市价(元/架)新价(元/架)售价(元/架)销售量(架)单位利润(元/架)总利润(元)3280(1-25%)3280aa.80%xa.80%.18%y解:(1)设新价为a元,则销售价为[a(1-20%)]元/架,因为原价为3280元/架,所以成本价为:[3280(1-25%)]元/架,根据题意,得:a.80%-3280(1-25%)=a.80%.18%解这个方程得:a=3750;a.80%=3000若把18%该为25%,同理可得a=4100,a.80%=3280答:新价是3750元/架,折价后的售价是3000元/把,把18%该为25%后的新价是4100元/架,折价后的售价是3280元/架.(2)因为总利润=(售价-成本价)×(销售量)所以总利润y与销售量x之间的函数是y=(3000-2460)x(x?0)即y=540x(x?0)要使获利总额不低于50000元，就要使y?50000即540x?50000，解这个不等式，得x?92.6答:为使今年按新价八折销售后的获利总额不低于50000元，该公司在今年内至少应销售93架这种电子琴。小结本题通过量与量之间关系的探索，发现了总利润与销售量之间的关系是一次函数关系:y=540x(x?0)，这说明销售量越大，总利润就越多。例4.重庆某公司计划在今年独家推出”凤凰牌智能型”电子琴.该琴的总成本是2640元/架.试销情况如下表:销售价(元/架)3280331036004000销售量1720169513981000试问:(1)为在今年内能获得最大利润,销售价定为多少?(2)今年最大利润是多少?获得最大利润时的销售量是多少?问题[分析].根据题意知该电子琴处在垄断竞争市场，公司有权自己定价以谋求最大利润，但是，定价必须慎重，作为经理必须明白，在这种情况下产品的需求曲线是一条向下倾斜的曲线，并且随着价格的微小变化，销售量可能变化很大，因此定价的关键是确定(或估计)需求关系，求获得最大利润的价格的方法是:第一步:根据试销情况确定(或估计)需求关系;第二步:确定总利润与销售价之间的函数关系;第三步:用求函数最大(最小)值的方法，确定价格。解:将试销所得的销售价与销售的每对对应值用点A，B，C，D分别表示在坐标平面上，可以看出这些点大致成有一直线(如图1.1)，所求的需求关系(近似)为一次函数关系，为了保证所求的函数关系较为准确，选直线上距离较远的两点A(3280，1720)，D(4000，1000)，当然，也可以尝试B，C两点来确定直线方程，或者用最小二乘法来确定，设所求的直线方程是y=kx+b,把点A，D的坐标代入，得到方程组:解得于是y与x之间的函数关系是y=-x+5000(x是不大于5000的正整数)设总利润为z元，z=(x–2460)(-x+5000)=-(x–3730)2+1612900(0<X?5000,X是正整数)由试销情况可知2460<X<5000,于是&NBSP;(X-2)2="1612900(当x-2460=-x+5000即x=3730时等号成立)答:(1)为在今年内能获得最大利润，销售价应定为3730元/架。(2)年最大利润是1612900元，获得最大利润时的销售量是1270架。小结:在正常情况下，需求和价格是反向关系，即价格越高，需求越低。(如图1.1)。本题根据市场调研资料，应用待定系数法求出这个需求关系是y=-x+5000从而得到的总利润与价格之间的关系是二次函数(如图1.2)，应用配方法(或平均不等式)，就可求出能获得最大利润的价格，(这时要特别注意确定函数自变量的取值范围)。本题也可以用图象法来估计这个价格:取几个样本价格画出这个抛物线找出它的最高点，就能发现最适宜的价格。由本题可知:定价的高低直接影响到企业效益,高价低销售量所得到的利润很可能小于低价高销售所得到的利润,因此要认真考虑市场需要的价格的反应,利用数学的思想方法进行价格决策.例5.重庆某公司计划在今年内同时出售“凤凰牌多功能”“电子琴和OK智能型”洗衣机.由于这两种产品的市场需求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供给量,以使得总利润达到最大,已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力.通过调查,得到关于这两种产品的有关数据如下表:资金单位产品所需资金(百元)月资金供应量(百元)电子琴洗衣机成本3020300劳动力(工资)510110单位利润68试问:怎样确定两种货物的月供给量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少?问题.[分析]最优供应计划安排问题就是要求适当非负变量x,y满足条件30x+20y?300和5x+10y?110分别是电子琴与洗衣机的供应量,总利润达到最大(P=6x+8y).本题可以应用图象法求解.解:设电子琴洗衣机的月供应量分别是x,y,总利润是P,那么x,y满足件:(1)在平面xoy上,作直线L1:30x+20y=300;L2:5x+10y=110.记满足条件(1)的点的集合是,那么,就是直线L1,L2和两条坐标轴所围成的公共部分(包括边界,如图1.3的阴影部分).作直线L:6x+8y=0,并平行移动L，得直线L:p=6x+8y(即)。越往右上方平移动，直线L的截距就越大，直线L上的点(x,y)所对应的供应方案的总利润也就越大。但是直线L不能无限制地向右上方平移，它必须保持与有公共部分，否则该直线上的点所对应的供应方案不可行，从(图1.3)可以看出，与有公共部分并且使P达到最大的一条直线，就是通过L1与L2的交点M(4,9)的直线:6x+8y=96。这样就得到这个供应计划的最优解x=4,y=9，此时，总利润P为9600元。答:当月供应量为:电子琴4架，洗衣机9台时，该店可获得最大利润9600元。小结:本题说明较复杂的问题，有时可以用图象法来求解，解题时要留心观察图形的特点，注意发现题目中的隐含条件，充分利用图形的几何性质，把数与行巧妙地结合在一起，找到问题的最佳解法。当然，实际问题远比本例复杂得多，需要我们掌握更多的知识去解决。例6(2000年8月，段某有人民币10000元，拟买两年期企业债卷或存两年定期存款或购买转让国库卷，经了解，两年期债卷月利率为0.21%.两年定期储蓄的年利率为2.4%，国库卷转让市场上有1999年8月发行的年利率为2.6%的三年期国库卷，转让价是135元购买100元面值的国库卷，问哪投资的收益最高,解:(1).若拿10000元买企业债卷，则两年后的利润是:10000×0.21%×12×2=504(元)(2).若拿10000元存两年定期储蓄，则两年后的利润是:10000×2.4%×2=480(元)(3).若拿10000元购转让国库卷，则能购得转让国库卷:10000×?7407(元)两年后的利润是:7047×2.6%×3?550(元)我们很显然的会看到，购买转让国库卷的利润要高得多。小结:许多实际问题可以运用中学数学知识(如运用函数的思想。方程的思想及不等式的性质)来解决。解题过程要认真分析各种量极其关系，较复杂的问题可采用列表分析法或图象法。应用函数思想解决实际问题时，应特别注意函数自变量的取值范围。2.数学在设计中的应用例1(教师出示一黑白足球，让学生观察足球表面的图案，发现足球是用黑白两色皮粘合而成的黑块皮为正五边形，白块为正六边形(如图2.1)，且数出黑皮有12块。(1)求白皮的块数,(2)量得正六边形边长为5厘米，则制作这样一个足球要多少皮,(3)现在要在它的表面涂上黑白两色的防湿油，已知每平方厘米的工价为0.01元，则需要费用多少元,解:(1)设白块为x块。那么白块皮共有6x条边，黑块皮有60条边，又因每块白皮另3条边与黑块相连，有3条边与白块相连，图2.1所以，即.(2)S球面=20S正六边形+12S正五边形=750+12×5××5×ctg36?1824cm2.(3)需费用1824×0.01=18.24元.12块正五边形和20块正六边形组成一个球面完美无缺,无可非议,它启迪运动员产生了丰富的想象力,足球在运动员脚下创造了无数得奇迹.例2.法国世界杯足球决赛阶段共有32支球队参加,它们先分成8个小组进行循环赛,决出16强,这16支球队按照确定的程序进行淘汰赛,最后决出冠、亚军和第三、第四名。问:(1)总共需安排多少场比赛,(2)中央电视台举办竞猜抽奖活动，办法如下:在第一轮16强决出8强后，第二轮决出4强前，让球迷猜出第二轮的4强以及最后的一、二、三、四名。问:某学生参加竞猜对的可能性有多大,解:(1)因为小组赛是循环赛，然后是淘汰赛，所以比赛总场次为:8×C+8+4+2+2=64场(2)比赛产生不同结果可能的组数为(C?C?C?C)(C?C)?C?C=256所以某学生参加竞猜全部猜对的可能性为此例说明无论看比赛还是自己组织球赛，掌握基本的排列组合知识是很有必要的。3.数学在日常生活中常见问题的应用例1.在一次体育课上，同学们进行了踢点球训练，罚球点距球门中心10米远，守门员高1.70米站在门中央，球门高2.44米，宽7米，问:罚点球者应将球射到球门的哪个位置才能使命中了率最高,请按1?100的比例制作一个模型图.图3.1解:(如图3.1)，守门员的活动范围是以球门线中心点O为圆心，以守门员的身高1.70米的半径的半圆面，罚球者应将球踢到半圆面以外，ABCD内处，此时射门的命中率最高。这题说明了在我们在玩足球时掌握了丰富的数学知识，就能大幅度地提高自己的球计，我们往往看到，球队的受门员都是比较高大的，就是反过来应用了这个知识，也就是说增大了受门员的活动范围，减小射门的命中率，即减小了受门员活动范围以外的范围，使得对方少进球从而使自己获得胜利因此我们可以看到数学再我们的生活中无出不有无出不在。例2.六月的一天，一个小贩挑着一袋绿豆，一路吆喝着:三千克大米换一千克绿豆。张大妈听到吆喝声，端着一盆大米来换绿豆，小贩连盆带米就往称上一放，正好三千克，后用此盆连绿豆称出一千克给张大妈，问如此交易谁吃亏。解:设盆重x千克，张大妈换回的绿豆a千克，则解得:x=1-若张大妈的盆重a=0.3千克，则张大妈用3-0.3=2.7千克大米，应换回0.9千克绿豆，而张大妈实际只换回了0.7千克绿豆，显然张大妈吃亏了，对于这类以货易物是日常生活中常见的实际问题，如果不应用数学中的解方程的知识去解决实际问题，吃了亏还蒙在鼓里。例3(在买苹果时，你也许是“先从最大的挑起”，试讨论这个问题的合理性。分析买苹果是按重量给钱的，而无论其苹果的大小其比重量应是一样的，所以重量相等则体积相等。因此在体积一定的条件下，当然是表面积(即皮)之和越小越好，那是否重量相等的苹果，个数越少，其表面积之和就越小呢,回答这个问题我们可将苹果近似地看成球体，在一定的条件下可以近似的认为苹果大小相等的，并先不考虑核对食用体积的影响,于是可建立如下模型:设有甲，乙两堆体积相等的球，甲堆有球m个且体积相等，半径分别为R，乙堆有,n(n?m)个球且体积相等，半径分别为r,其中甲堆的球大于乙堆的球，即R,r,0求证:甲堆球的表面积的面积之和小于乙堆球的表面积的面积之和。证明:由于体积相等，所以:πR3m=πr3n即甲堆球的表面积的面积之和为:4πR2m乙堆球的表面积的面积之和为:4πr2n因为R,r,0所以即4πR2m,4πr2n所以甲堆球的表面积的面积之和小于乙堆球的表面积的面积之和。再将它返回到实际问题中去，也就是说重量相等(即体积相等)的苹果个数越多，其表面积(即皮)也就越大，若在考虑核的因素，根据日常生活经验，我们可视核与苹果的大小成正比因此买苹果时先从大的挑起，顾客是不会吃亏的，因此我们在买苹果的时候会发现，个大始终要比个的贵，按苹果的大小定价是合理的，我们在买其他去皮的水果你也会发现这一点，因此我们在买去皮水果的时候始终从大的挑起你是不会吃亏的，当然，不去皮的水果对这一点是没有意义的。例4.小张购买了一部手机想入网，朋友小王介绍他加入中国联通130网，收费标准是:月租费10元，每月来电显示费5元，本地电话费每分钟0.1元，朋友小李向他推荐中国电信的“神州行”储值卡，收费标准是:本地电话每分钟0.25元，月租费和来电显示费全免了，小张的亲戚朋友都在本地，他也想拥有来电显示服务，请问该选择哪一家更为省钱?解:设小张每月通话时间x分钟，每月话费为y元。则y1=0.1x+10+5=0.1x+15，y2=0.25x，所以y1-y2=-0.15x+15，当x=100分钟时，y1=y2;当x,100分钟时，y1,y2;当x,100分钟时，y1,y2。即若小张每月通话时间为100分钟时，可选择任何一家，若小张每月通话时间超过100分钟，应该选择中联通130网，若小张的每月通话时间不到100分钟，应选择中国电信的“神州行”储值卡。例5.某商店有一不准确的天平(其臂长不等)及1千克砝码，某顾客要购买两千克糖果，售货员先将砝码放于左盘，置糖果于右盘。使之平衡后给顾客;后又将1千克砝码放于右盘，另置糖果与左盘，平衡后再给顾客，问这种称法是否合理,解:设天平左臂长a，右臂长为b(不妨设a>b),先称的糖果重量为m1千克，后称得糖果重为m2千克，由杠杆平衡条件有:bm1=a×1,即m1=,am2=b×1,即m2=,所以m1+m2==2这样称出的糖果重量大于2千克，商店吃亏，因此不合理4.数学在物理中的应用中学物理教学大纲和考纲对学生具有运用数学知识，技巧解决物理问题的能力要求提出了明确的要求，我们在解决物理问题时涉及到的数学知识面较广，代数，几何，三角等无所不及;而且与单纯的数学题不同，物理中运用数学知识需要解决的是具体物理问题，由于思维侧重点不同，我们在分析物理问题是难于将数学知识迁移过来。因此我们就需要有意识地将某些物理问题突出数学知识的应用，强化数学工具意识，这样就有利于完整的理解物理规律，有利于培养良好的思维习惯，提高能力。下面就如何应用数学知识来解决物理问题的实际例子作一点点探讨.4.1(应用函数知识的举例有些物理量在变化的时候，很容易写出它随其它量变化的函数关系式，根据函数关系式画图像，再进行解题就很容易了.例