第10讲-函数的图像

第10讲函数的图像项目一知识概要1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图像．2．图像变换(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)；②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)；④y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝logax(a>0且a≠1)．⑤y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方图像),\s\do5(将x轴下方图像翻折上去))y＝|f(x)|.⑥y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y轴右边图像，并作其),\s\do5(关于y轴对称的图像))y＝f(|x|)．(3)伸缩变换

项目二例题精讲任务一作函数的图像问题【例1】分别画出下列函数的图像：(1)y＝|lgx|； (2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1; (4)y＝eq\f(x＋2,x－1).分析根据一些常见函数的图像，通过平移、对称等变换可以作出函数图像．解析(1)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgxx≥1，,－lgx0<x<1))图像如图①.(2)将y＝2x的图像向左平移2个单位．图像如图②.(3)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1x≥0,x2＋2x－1x<0)).图像如图③.(4)因y＝1＋eq\f(3,x－1)，先作出y＝eq\f(3,x)的图像，将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝eq\f(x＋2,x－1)的图像，如图④.评注(1)常见的几种函数图像如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋eq\f(m,x)(m>0)的函数是图像变换的基础；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程．任务二识图与辨图问题【例2】(1)函数y＝eq\f(x3,3x－1)的图像大致是 ()(2)利用函数图像，可以解决一些形如f(x)＝g(x)方程的解或函数零点问题．任务四函数图像的综合问题【例4】(1)若函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图像大致为 ()分析从y＝f(x)的图像可先得到y＝－f(x)的图像，再得y＝－f(x＋1)的图像．解析要想由y＝f(x)的图像得到y＝－f(x＋1)的图像，需要先将y＝f(x)的图像关于x轴对称得到y＝－f(x)的图像，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图像，根据上述步骤可知C正确．答案C评注对图像的变换问题，从f(x)到f(ax＋b)，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别．图像变换也可利用特征点的变换进行确定．(2)已知函数y＝eq\f(|x2－1|,x－1)的图像与函数y＝kx－2的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．分析先作函数y＝eq\f(|x2－1|,x－1)的图像，然后利用函数y＝kx－2图像过(0，－2)以及与y＝eq\f(|x2－1|,x－1)图像两个交点确定k的范围．解析根据绝对值的意义，y＝eq\f(|x2－1|,x－1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1x>1或x<－1，,－x－1－1≤x<1.))在直角坐标系中作出该函数的图像，如图中实线所示．根据图像可知，当0<k<1或1<k<4时有两个交点．答案(0,1)∪(1,4)评注(1)本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，解释数学问题的本质．(2)利用函数图像也可以确定不等式解的情况，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图.项目三感悟提高1．列表描点法是作函数图像的辅助手段，要作函数图像首先要明确函数图像的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等；(2)可通过函数图像的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的同解变形，如作函数y＝eq\r(1－x2)的图像．2．合理处理识图题与用图题(1)识图对于给定函数的图像，要从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系．(2)用图函数图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．常用函数图像研究含参数的方程或不等式解集的情况．项目四冲刺必练A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．函数y＝ln(1－x)的大致图像为 ()答案C解析将函数y＝lnx的图像关于y轴对折，得到y＝ln(－x)的图像，再向右平移1个单位即得y＝ln(1－x)的图像．故选C.2．函数y＝5x与函数y＝－eq\f(1,5x)的图像关于 ()A．x轴对称 B．y轴对称C．原点对称 D．直线y＝x对称答案C解析y＝－eq\f(1,5x)＝－5－x，可将函数y＝5x中的x，y分别换成－x，－y得到，故两者图像关于原点对称．3．若loga2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝loga(x＋1)的图像大致是 ()答案B解析∵loga2<0，∴0<a<1，由f(x)＝loga(x＋1)单调性可知A、D错误，再由定义域知B选项正确．4．为了得到函数y＝lgeq\f(x＋3,10)的图像，只需把函数y＝lgx的图像上所有的点 ()A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度答案C解析y＝lgeq\f(x＋3,10)＝lg(x＋3)－1，将y＝lgx的图像向左平移3个单位长度得到y＝lg(x＋3)的图像，再向下平移1个单位长度，得到y＝lg(x＋3)－1的图像．5．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是 ()A．(－1,0) B．[－1,0)C．(－2,0) D．[－2,0)答案A解析在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图像，知满足条件的x∈(－1,0)，故选A.6．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，－1)C．(－1，＋∞)D．[－1，＋∞)答案D解析如图所示，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1.二、填空题7．已知f(x)＝(eq\f(1,3))x，若f(x)的图像关于直线x＝1对称的图像对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为____________．答案g(x)＝3x－2解析设g(x)上的任意一点A(x，y)，则该点关于直线x＝1的对称点B为B(2－x，y)，而该点在f(x)的图像上．∴y＝(eq\f(1,3))2－x＝3x－2，即g(x)＝3x－2.8．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为__________．答案6解析f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的图像如图．令x＋2＝10－x，得x＝4.当x＝4时，f(x)取最大值，f(4)＝6.9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)，x≥2，,x－13，x<2.))若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．答案(0,1)解析画出分段函数f(x)的图像如图所示，结合图像可以看出，若f(x)＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f(x)的图像与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1)．10．若至少存在一个x>0，使得关于x的不等式x2<2－|x－a|恒成立，则实数a的取值范围为________．答案(－2，eq\f(9,4))解析不等式等价为2－x2>|x－a|，且2－x2>0，在同一坐标系中画出y＝2－x2(y≥0，x>0)和y＝|x|两个函数的图像，将函数y＝|x|的图像向左平移，当右支经过点(0，2)时，a＝－2；将函数y＝|x|的图像向右平移，当左支与抛物线y＝2－x2(y≥0，x>0)相切时，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－（x－a），,y＝2－x2，))得x2－x＋a－2＝0，由Δ＝0，解得a＝eq\f(9,4).三、解答题11．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图像；(3)根据图像指出f(x)的单调递减区间；(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．解(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.(2)f(x)＝x|x－4|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－4＝x－22－4，x≥4，,－xx－4＝－x－22＋4，x<4.))f(x)的图像如图所示：(3)f(x)的减区间是[2,4]．(4)从f(x)的图像可知，当a>4或a<0时，f(x)的图像与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．12．已知函数y＝f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2＋x)＝f(2－x)．(1)证明：函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称；(2)若f(x)是偶函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，求x∈[－4,0]时f(x)的表达式．(1)证明设P(x0，y0)是函数y＝f(x)图像上任一点，则y0＝f(x0)，点P关于直线x＝2的对称点为P′(4－x0，y0)．因为f(4－x0)＝f[2＋(2－x0)]＝f[2－(2－x0)]＝f(x0)＝y0，所以P′也在y＝f(x)的图像上，所以函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称．(2)解当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，所以f(－x)＝－2x－1.又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1，x∈[－2,0]．当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0,2]，所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7，而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝2x＋7，x∈[－4，－2]．所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋7，x∈[－4，－2]，,－2x－1，x∈[－2，0].))B组专项能力提升(时间：20分钟)1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－1，x≥0，,x2－2x－1，x<0，))则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是 ()A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0答案D解析函数f(x)的图像如图所示：且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x1|<|x2|，∴f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.2．函数y＝eq\f(1,1－x)的图像与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于()A．2 B．4 C．6 D．8答案D解析令1－x＝t，则x＝1－t.由－2≤x≤4，知－2≤1－t≤4，所以－3≤t≤3.又y＝2sinπx＝2sinπ(1－t)＝2sinπt.在同一坐标系下作出y＝eq\f(1,t)和y＝2sinπt的图像．由图可知两函数图像在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．因此这8个交点的横坐标的和为0，即t1＋t2＋…＋t8＝0.也就是1－x1＋1－x2＋…＋1－x8＝0，因此x1＋x2＋…＋x8＝8.3．若函数f(x)＝eq\f(2－mx,x2＋m)的图像如图，则m的取值范围是________．答案1<m<2解析∵函数的定义域为R，∴x2＋m恒不等于零，∴m>0.由图像知，当x>0时，f(x)>0，∴2－m>0⇒m<2.又∵在(0，＋∞)上函数f(x)在x＝x0(x0>1)处取得最大值，而f(x)＝eq\f(2－m,x＋\f(m,x))，∴x0＝eq\r(m)>1⇒m>1.综上，1<m<2.4．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．答案1<a<eq\f(5,4)解析y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x＋a，x≥0，,x2＋x＋a，x<0，))作出图像，如图所示．此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a－eq\f(1,4)，要使y＝1与其有四个交点，只需a－eq\f(1,4)<1<a，∴1<a<eq\f(5,4).5．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．解f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－