二次函数的图像和性质-

数学是一切知识中的最高形式22.1二次函数的图象和性质

22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们画最简单的二次函数y=ax2的图象.列表、描点、连线一条直线1知识链接x···-3-2-10123···y=x2···9410149···先画二次函数y=x2的图象1.列表：在y=x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：二次函数y=ax2的图象的画法2探究新知

2.描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点（x，y），3.连线：再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=

x2的图象。369yO-33x369yO-33x可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上。

事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下．一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.抛物线y=x2二次函数y=ax2的图象和性质369yO-33x函数y=x2的图象开口______.向上抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.顶点坐标是________.顶点是图象的最____点.（0，0）低在抛物线y=x2上任取一点（m，m2），因为它关于y轴的对称点（-m，m2）也在抛物线y=x2上，所以抛物线y=x2关于y轴对称。

特征实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点．369yO-33x当x<0(在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小.当x>0(在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大.单调性268y4O-22x4-4解：分别填表，再画出它们的图象，如图x···-4-3-2-101234······84.520.500.524.58···x···-2-1.5-1-0.500.511.52···y=2x2···84.520.500.524.58···例1在同一直角坐标系中，画出函数，y=2x2的图象。y=2x23典例分析268y4O-22x4-4y=2x2一般地，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.归纳-8-4-2y-6O-22x4-4

画出函数的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．x···-4-3-2-101234···y=-x2···-16-9-4-10-1-4-9-16···x···-4-3-2-101234···y=-2x2···-32-18-8-20-2-8-18-32···x···-4-3-2-101234······-8-20-2-8···y=-2x2y=-x24深化探究-8-4-2y-6O-22x4-4y=-2x2y=-x2开口都向下；对称轴都是y轴；a值越小，抛物线的开口越小．顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点；增减性相同：

当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.共同点和不同点一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.1.二次函数的图象都是抛物线.2.抛物线y=ax2的图象性质:（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点;|a|越大，抛物线的开口越小.（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.y=-2x2y=-x2268y4y=2x2-8-4-2-6O-22x4-45归纳小结数形结合二次函数y=ax2的实际应用二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.主要有以下几个实例：（1）g表示重力加速度，当物体自由下落时，高度h与下落时间t之间的关系是（g为定值）；（2）某物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是

（m为定值）；（3）导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间的关系是Q=RI2（R为定值）.6加深应用出题角度二次函数y=ax2与不等式的综合运用已知正方形的周长为Ccm，面积为Scm2，（1）求S与C之间的二次函数关系式；（2）画出它的图象；（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；（4）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2.注意自变量的范围解：（1）∵正方形的周长为Ccm，∴正方形的边长为cm，∴S与C之间的关系式为S=；（2）作图如右：（3）当S=1cm2时，C2=16，即C=4cm；（4）若S≥4cm2，即≥4，解得C≥8cm.1.函数y=2x2的图象的开口_______，对称轴是_______，顶点是________

.向上y轴（0，0）a=2>0基础巩固7课堂练习（1）其中开口向上的是________（填序号）；（2）其中开口向下且开口最大的是______（填序号）；（3）有最高点的是_______（填序号）.2.已知下列二次函数①y=-x2；②y=x2；③y=15x2；④y=-4x2；⑤y=4x2.②①①③⑤④a>0a<0，|a|越大，开口越小.开口向下a<03.分别写出抛物线y=4x2与

的开口方向、对称轴及顶点坐标.解：抛物线y=4x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标（0，0）；抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0，0）.yOxyOxyOx4.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：x···-3-2-10123······303···x···-3-2-10123······-30-3···5.已知一次函数y=ax+b和二次函数是y=ax2，其中a≠0，b<0，则下面选项中，图象可能正确的是（）C综合应用y=ax+b与y轴交点（0，b）b<0交点在y轴负半轴，故B、D错；a>0，y=ax+b单调递增故A错；y=ax2开口向上a<0，y=ax+b单调递减故C对.y=ax2开口向下×√××6.

m为何值时，函数的图象是开口向下的抛物线？解：由题意得解得m=-1∴当m=-1时，函数的图象是开口向下的抛物线.x2a<0二次函数二次函数与一次函数性质的综合应用7.如图，直线AB过x轴上的点B（4，0），且与抛物线y=ax2交于A、C两点，已知A（2，2）.（1）求直线AB的函数解析式；（2）求抛物线的函数解析式；（3）如果抛物线上有点D，使S△OBD=S△OAC，求点D的坐标.y=ax+b（2，2）（4，0）DD拓展延伸解：（1）设直线表达式为y=ax+b，∵A（2，2），B（4，0）都在y=ax+b的图象上，∴直线AB的函数解析式为：y=-x+4.（2）∵点A（2，2）在y=ax2的图象上，∴代入可得，∴抛物线的函数解析式为.（2，2）（4，0）（3）联立得解得：∴点C的坐标为（-4，8），设D∵S△OBD=S△OAC，∴x2=12，∴D点坐标为或.（2，2）（4，0）DD（-4，8）二次函数y=ax2的性质根据图形填表：抛物线y=ax2（a>0）y=ax2（a＜0）