自动化学院学习复变函数第二讲

§5 设Gzxiy存在法则fz˛Gwuiv与之对应,wz的函数（简称复变函数）wfz).若zfi一个w值，称f(z)是单值函数;zfi多个w值，称f(z)是多值函数.(zG*{wwfzz˛Gz=x+iy«(x,y);w=u+iv«(u,v\w=f(z)=f(x+iy=u(x,y)+iv(x,y故u=u(x, v=v(x,ww=f(z)=u+ivu=u(x,v=v(x, w=z 令z=x+ w=u+wuivxiy)2x2y22\w=z2«u=x2-y2,v=2例2若已知f(z)

+ + - x2+y2 x2+y2 将f(z)表示成z的函数设zxiy则x1(zzy1(zz f(z)=z+1zwf(zz˛G(z平面 w=fzfi w˛G*(w平面)的映射.称w为z的象点(映象)，而z称为w的原象 Gz

w=w=

w u，vx，y 研究w=z所构成的映射 设z=r(cosq+isinq)=re\z=re-

研究w=eiaz(a为实常数)所构成的映射解设z

\w=eiaz=eia —旋转变换(映射)见图

ouyooyoox

研究w=z2所构成的映射

w=z

w=z2pw=z2 oo oow=z2设zw2则称wnz为zw2zwz

=z

(k0,1)∴为多值函数,2支定义wf(z的定义集合为G函数值集合为z˛ j

则称zj(w)为wf(z)的反函数(逆映射显然有w=f "z˛G(一般z„j[f(z)])(映射w=fz()zjw都是单值的(映射)w=fz),GG*是一一对应的.3w1,判断zx2y21zw平面上怎样的曲线 0定义wf(z),z˛U(zr),若存在数A，e0$,当0

z-

d时,

f(z)-

则称为f(z)当zfiz0时的极限，记作 f(z)=zfi当动点 邻域内时,f(z)当动点 邻域内时,f(z)就落入Ayyvw=f(z)dAoxo定义中zfi z0的方式是任意的,A是复数.若f(z)在

处有极限其极限是唯一的. z=x+iyz0=x0+ u(x,y)=limf(z)=A

(x,y)fi(x0,y0zfi

v(x,y)=(x,y)fi(x0,y0 f(z)= limg(z)=B,zfiz zfizlimf(z)–g(z)]= f(z)–limg(z)=A–zfiz0 zfiz zfiz f(z)g(z)= f(z)limg(z)=zfiz0 zfiz zfizzfiz

f(zg(z)

f(zzfiz0limg(zzfiz0

(limg(z)„0)=zfiz 例 求f(z)=z+z当zfi0时的极限 f(z)

2(x2-y2当x,yfi(0,0)x2+f(zzz当zfi0时的极限不存在 例 证明f(z)=Re(z)当zfi0时的极限不存在|z定义若 f(z)=f(z0)，则称f(z)在z0处连续zfi若在区域D内处处连续,则称fz)在D内连续若z、z0˛C,且 f(z)=f(z0)，则称f(zzfi在曲线C上点z0处连续f(z)uxyivx,y)z0=x0iy0 u(x,y)=u(x0,y0(x,y)fi(x0,y0(x,y)fi(x0,y0

v(x,y)=v(x0,y0 证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续证明(1)f(z)argzf(z)在原点不连续(2)在负实轴上"P(x,0)(x<limargz=yfilimargz=-yfi

z zargz在负实轴上不连续 P(z)a0a1zanznR(zP(z)在复平面内除分母为零的点外处处连续Q(z)设曲线C为闭曲线或端点包括在内的曲线段,若f在C上连续,则存在M0,f(z)£M §1 §2 §1 定义设函数w=f z∈D,且z0、z0limfDzfi

记作fz

f(

+Dz)-f(z0

Dzfi Dz如果wf(z在区域Df(z在区域D内可导 =f(z+Dz)-例1证明:fz)Rez)在平面上的任何点都不可导证明: =Re(z+Dz)-Re(z =x+Dx-x= Dx+iDy Dx+iDy当Dz取实数趋于0时, Dzfi limDf不存在当Dz取纯虚数趋于0时, Dzfi

Dzfi0 (c)=(a+ib)=0.(zn)=nzn- 证明对于复平面上任意一点z0 zn-zn

lim zfi

zfi

z-(z-z)(zn-1+zn-2z++zn-10lim =nzn-10zfi

z-③f(z),g(z[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，(z)g(z)f(z)

(z)g(z)(z)g(z)g(z)

g2

,(g(z)„P(za0a1zanznR(zP(z)在复平面内()处处可导Q(z)f[g(z)])=f(w)g(z),其中

f(z)=j(w)

其中wf(z)j(w)0.实变函数中,fx)=|x|2在-¥+¥内可导;复变函数中,fz)|z|2的可导性如何? 已知f(z)=(z2+5z)2

z-

，求fz f(z)=2(z2+5z)(2z+5)

(z- 函数f(z)=x+2yi是否可导 f(z+Dz)-f(zDzfi =limx+Dx+2(y+Dy)i-(x+2yiDzfi=limDx+2Dyi=

Dx+当Dy0,Dxfi0时不存在Dzfi

Dx 当Dx0,Dyfi0f(z)x2yi处处不可导 证明f(z)=zRe(z)仅在z=0处可导limzDzRe(zDz)zRe(Dzfi =limDzRe(z+Dz)+zRe(Dz)Dzfi limDzRe(Dz)=

z0时Dzfi lim(Re(z+Dz)+z )不存在 z„0时

Dzfi

Dx+= 当Dy0Dxfi0时=

不存在！Dzfi0Dx+

当Dx0Dyfi0时(1) 多，这是因为Δz→0是在平面区域上(2)在高等数学中要举出一个处处连续 若wf(zz0处可导wf(zz0处连续?f(z0+Dz)-f(z0证明若f(z0+Dz)-f(z0

d时

(z0

令r(Dz)f

+Dz)-f(z0

f(z则limr(Dz)

Dzfi由此可得f(z0Dzf(z0f(z0Dzr(Dz)Dz,limf(z0Dzf(z0所以f(z)在z0连续Dzfi如果函数wf(z在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z在z0解析；w=f(z)在D内解 f(z)z0z0解析 定理1f(z)及g(z)是区域D内的