三角形的内角“十市联赛”一等奖

三角形的内角

鄢陵县大马镇第三初级中学徐翠红知识回顾问题探究课堂小结随堂检测（1）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形．（2）构成三角形的元素：①三个顶点；②三条边；③三个内角．（3）三角形按角可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测重点、难点知识★▲探究一:三角形内角和定理活动1整合旧知，探究三角形的内角和.三角形王国里3个家族都说自己的内角和大，如果你是法官会怎么宣判呢？为什么呢？一样大.因为三角形三个内角的和等于180°.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动1回顾我们小学做过的实验，你是怎样得到这个结论的?度量法和剪拼法.整合旧知，探究三角形的内角和.重点、难点知识★▲探究一:三角形内角和定理度量往往有误差，让人很难完全信服；形状不同的三角形有无数个，不可能一一剪拼;因此，需要用推理的方法证明三角形三个内角的和一定等于180°.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动2集思广益，证明三角形的内角和定理小组活动：把三角形纸片的两个角剪下，和第三个角拼在一起，拼成一个平角，有几种不同的拼法？你能由拼图得到启示吗？图(1)重点、难点知识★▲探究一:三角形内角和定理由图(1)你能想到证明“三角形内角和等于180°”的方法吗?知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动2集思广益，证明三角形的内角和定理证明:过点A作MN∥CB，则∠B=∠MAB,∠C=∠NAC.又∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°,∴∠BAC+∠B+∠C=180°.即：三角形的内角和等于180°.重点、难点知识★▲探究一:三角形内角和定理图(1)已知:如图，

ABC，求证:∠A+∠B+∠C=180°.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动2

图3图2由图2、图3你又能想到什么证明方法?请说说证明过程.重点、难点知识★▲探究一:三角形内角和定理集思广益，证明三角形的内角和定理知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动2也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线．证明：如图，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F.∴∠BDF＝∠C(两直线平行，同位角相等)．∠EDC＝∠B(两直线平行，同位角相等)．∠EDF＝∠DEC(两直线平行，内错角相等)∠A＝∠DEC(两直线平行，同位角相等)∴∠EDF＝∠A(等量代换)．∵∠BDF＋∠EDF＋∠EDC＝180°(1平角＝180°)，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°(等量代换)．重点、难点知识★▲探究一:三角形内角和定理集思广益，证明三角形的内角和定理知识回顾问题探究课堂小结随堂检测讨论：1．一个三角形中能有两个直角吗？2．一个三角形中能有两个钝角吗？3．三个内角都能小于60°吗？活动2重点、难点知识★▲探究一:三角形内角和定理集思广益，证明三角形的内角和定理不能不能不能三角形的内角和等于180°.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动1CABD探究二：运用三角形内角和定理例1如图，在ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是

ABC的角平分线.求∠ADB的度数.【解题过程】∵AD是ABC的角平分线,在ABD中，∠ADB=180°－∠B－∠BAD=180°-75°-20°=85°.【思路点拨】由角平分线的定义可知∠DAB=20°，利用三角形的内角和可得∠ADB.∴∠BAD=∠BAC=×40°=20°.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动1【思路点拨】由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得结果．探究二：运用三角形内角和定理练习：（2015•绵阳）如图，在ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（

）A．118°B．119°C．120°D．121°【解题过程】∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=∠BCA.∴∠CBE+∠BCD=(∠ABC+∠BCA)=60°.∴∠BFC=180°﹣60°=120°.C例2如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处时仰角∠CBD=45°，从C处测量A、B两处时视角∠ACB是多少?知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动2三角形内角和定理的应用∴【思路点拨】由三角形内角和定理得∠ACD=60°，∠BCD=45°；再利用两角之差得∠ACB是15°.探究二：运用三角形内角和定理【解题过程】在ACD中，在BCD中，∴∴答:从C处测量A、B两处时视角∠ACB是15°.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动2练习：如图，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=65°.求∠BAC.∵AD⊥BC，在

ACD中，∴【思路点拨】由三角形内角和定理得∠CAD=25°，∠1=45°；再利用两角之和得∠BAC=70°.探究二：运用三角形内角和定理【解题过程】∴∠ADC=∠ADB=90°.在

ABD中，∴又∵∠1=∠2，∴∴知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动3三角形内角和定理的综合应用例3如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?方法一：由题意可知∠BAC＝80°—50°＝30°.∵AD∥BE，∴∠DAB+∠ABE＝180°∴∠ABE＝180°—∠DAB＝180°—80°＝100°.∴∠ABC＝∠ABE—∠CBE＝100°—40°＝60°.∴在△ABC中，∠ACB＝180°—∠CAB—∠ABC＝180°—30°—60°＝90°.答：从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.探究二：运用三角形内角和定理【解题过程】知识回顾问题探究课堂小结随堂检测方法二：过点C作CF∥AD,∴∠1＝∠DAC＝50°,∵CF∥AD,又AD∥BE,∴CF∥BE.∴∠2＝∠CBE＝40°.∴∠ACB＝∠1+∠2＝50°+40°＝90°.答：从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.【思路点拨】利用平行线的性质和三角形内角和定理得∠ACB=90°.探究二：运用三角形内角和定理活动3三角形内角和定理的综合应用知识回顾问题探究课堂小结随堂检测练习：如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数.由题意，如图,∵AD∥BE,∴探究二：运用三角形内角和定理活动3【解题过程】∴∴在ABC中，知识回顾问题探究课堂小结随堂检测探究二：运用三角形内角和定理活动3【解题过程】∠O=90°+∠A.例4如图，点O是ABC的两条角平分线的交点，请你探索∠O与∠A的数量关系．理由：在ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A=180°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A.在BOC中，∠1+∠2+∠O=180°，∴∠1+∠2=180°-∠O.∵BO和CO是ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2.∴∠ABC+∠ACB=2(∠1+∠2)=2(180°-∠O).∴180°-∠A=2(180°-∠O)∴∠O=90°+∠A.【思路点拨】利用角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠O=90°+∠A.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测探究二：运用三角形内角和定理活动3练习：在ABC中，已知∠A=55°，高BD、CE交于点O，且点O不与点B、C重合，求∠BOC的度数.【解题过程】解：(1)若ABC是锐角三角形，如图所示.∵CE，BD是ABC的两条高，∴∠CEB=90°，∠BDA=90°(三角形的高的定义).∴∠A=180°－90°－∠ABO=90°－∠ABO(三角形的内角和定理)，∠EOB=180°－90°－∠ABO=90°－∠ABO(三角形的内角和定理).∴∠A=∠EOB(等量代换).又∠EOB+∠BOC=180°(邻补角定义)，∴∠A+∠BOC=180°(等量代换).又∠A=55°(已知)，∴∠BOC=180°－∠A=180°－55°=125°.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测∵∠BDA=90°，∠BEO=90°，∴∠BOC=180°－90°－∠EBO=90°－∠EBO(三角形的内角和定理)，∠A=180°－90°－∠ABD=90°－∠ABD(三角形的内角和定理).又∠ABD=∠EBO(对顶角相等)，∠A=55°(已知)，所以∠BOC=∠A=55°(等量代换).探究二：运用三角形内角和定理活动3(2)若ABC是钝角三角形，如图所示.【思路点拨】分两种情况：ABC是锐角三角形或钝角三角形；再利用三角形内角和定理进行角的换算可得∠BOC度数.知识梳理知识回顾问题探究课堂小结随堂检测（1）三角形三个内角的关系：三角形的内角和等于180°．（2）已知三角形两个内角，利用三角形内角和定理求第三角，或已知各角之间的关系，利用三角形内角和定理可求各角.（3）任何三角形中至少有两个锐角，最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角.重难点突破知识回顾问题探究