控制系统的状态空间设计

控制系统的状态空间设计第一页，共六十三页，编辑于2023年，星期日5.1

线性定常系统常用反馈结构及其对系统性能的影响5.2状态反馈系统的极点配置

5.3状态观测器的设计

5.4带观测器的状态反馈系统的综合第二页，共六十三页，编辑于2023年，星期日一.两种常用反馈结构

(1)状态反馈

状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。5.1线性定常系统常用反馈结构及其对系统性能的影响第三页，共六十三页，编辑于2023年，星期日以单输入-单输出系统为例，其状态空间描述为：状态反馈控制规律为状态反馈K的引入，没有引入新的状态变量，也不增加系统的维数，但可以通过K阵的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。经过状态反馈后，系统的传递函数为：

闭环特征多项式:

第四页，共六十三页，编辑于2023年，星期日(2)输出反馈输出反馈有两种形式，最常见的是将系统的输出量乘以相应的系数反馈到输入端与参考输入相加，其和作为受控对象的控制输入。经典控制理论中所讨论的就是这种反馈。多输入-多输出系统的输出反馈系统的这种形式见教材P199图5.2所示。第五页，共六十三页，编辑于2023年，星期日输出反馈控制规律为由此可见,经过输出反馈后,闭环系统同样没有引入新的状态变量,仅仅是系统矩阵A变成了A-BHC。输出反馈的另一种形式是输出量乘以相应的系数反馈到状态微分处。第六页，共六十三页，编辑于2023年，星期日不管是状态反馈还是输出反馈，都可以改变系统矩阵A，但这并不表明两者具有等同的功能。

二.反馈结构对系统性能的影响由于引入反馈，系统状态的系数矩阵发生变化，对系统的能控性、能观测性、响应特性、稳定性等都有影响。第七页，共六十三页，编辑于2023年，星期日(1)对系统能控性、能观测性的影响定理[5.1]状态反馈不改变受控系统的能控性，但却不一定能保持系统的能观测性。1.加入状态反馈不影响系统的能控性

第八页，共六十三页，编辑于2023年，星期日证明：为简单起见，以单输入-单输出系统为例。原系统和状态反馈系统的能控性判别阵分别为：这表明的列向量可以由的列向量的线性组合来表示。

第九页，共六十三页，编辑于2023年，星期日

表明，若原来系统能控，则加上任意的状态反馈后，所得到的闭环系统也能控；若原来系统不能控，则无论用什么K阵作状态反馈，所得到的闭环系统仍然不能控。这一性质称为状态反馈不改变系统的能控制性。第十页，共六十三页，编辑于2023年，星期日关于状态反馈不一定能保持系统的能观测性举一反例说明：其能观测判别阵：原系统能观测a.引入状态反馈k=[３１]其能观测判别阵：反馈系统不能观测第十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期日b.引入状态反馈k=[01]其能观测判别阵：反馈系统能观测这表明状态反馈可能改变系统的能观测性。其原因是由于通过状态反馈造成了所配置的极点与零点相消。第十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期日2．加入输出反馈不改变系统的能观测性，对系统的能控性的影响因输出反馈的位置不同而不同。

定理[5.2]输出至参考输入反馈引入的输出反馈不改变受控系统的能控性和能观测性。第十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期日证明：因为这种输出反馈中的HC等效与状态反馈中的K，那么输出反馈也保持了受控系统的能控性不变。关于能观测性不变，可由能观测性判别矩阵（仍以单输入-单输出系统为例）。仿照定理[5.1]的证明方法，同样可以把看作经初等变换的结果，而初等变换不改变矩阵的秩，因此能观测性保持不变。第十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期日定理[5.3]输出至状态微分反馈引入的输出反馈不改变系统的能观测性，但可能改变系统的能控性。设系统的状态空间表达式为:关于输出至状态微分反馈可能改变系统的能控性举一反例说明：原系统能控第十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期日1.引入图5.1所示输出反馈H=[12]T后的能控性。输出反馈系统不能控2.引入图5.1所示输出反馈H=[01]T后的能控性。输出反馈系统能控第十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期日[例5.1.1]设系统的状态空间表达式为:试分析系统引入状态反馈K=[31]后的能控性和能观测性。第十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期日解：容易验证原系统是能控又能观测的。引入状态反馈K=[31]后系统的状态空间表达式为：系统能控系统不能观测状态反馈不改变受控系统的能控性，但却不一定能保持系统的能观测性。这反映在传递函数上出现了零极点相消现象第十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期日经过状态反馈后，系统的传递函数为：（2）状态反馈和输出反馈都能影响系统的稳定性

加入反馈，通过反馈构成的闭环系统成为稳定的系统，这个过程称为镇定。对于

是渐进稳定的，即（A-BK）的特征值具有负实部，则称系统实现了状态反馈镇定。

返回第十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期日极点配置方法在某种程度上类似与根轨迹法，它们都是把闭环极点配置在希望的位置上。它们的基本区别在于：根轨迹法只把主导极点配置到希望的位置，而极点配置设计是把所有闭环极点都配置到希望的位置。极点配置：就是通过选择反馈矩阵K，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。这里需要解决两个问题：第一：极点可任意配置的条件；第二：确定极点配置所需要的K阵。5.2状态反馈系统的极点配置

第二十页，共六十三页，编辑于2023年，星期日一.任意配置闭环极点的充分必要条件

定理[5.4]教材P205定理[5.4]采用状态反馈使闭环系统的极点配置在任意位置的充分必要条件是受控对象完全能控。第二十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期日二.极点配置的设计步骤P206第一步，判断系统是否完全能控，只有完全能控，才能任意配置极点,计算原系统的特征方程：化为能控标准型：

第二十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期日第二步，加入状态反馈阵，计算的特征多项式第二十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期日第三步，由所给的n个期望特征值，计算期望的多项式第四步，比较两个特征值的系数，从中求出第五步，把对应于的变换，得到对应于原状态x的反馈阵k。第二十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期日[例5.2.1]教材P206[例5.2]某受控对象的传递函数为：试设计状态反馈控制器，使闭环系统的极点为-2，，闭环系统结构图见教材P207图5.12。第二十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期日解：①因为传递函数没有零、极点对消现象，所以受控对象是能控的。可以任意配置极点。②加入状态反馈阵，计算的特征多项式③由所给的期望特征值-2，，计算期望的多项式第二十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期日④比较各项系数第二十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期日第二十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期日[例5.2.2]已知单输入线性定常系统的状态方程为：试设计状态反馈控制器K，使闭环系统的极点为-2，-1+j，-1-j。解：①系统的能控判别阵：原系统能控，可以任意配置极点。第二十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期日②由于原系统不是能控标准型，化为能控标准型。变换阵第三十页，共六十三页，编辑于2023年，星期日③加入状态反馈阵，计算的特征多项式④计算期望的多项式比较各项系数第三十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期日⑤方法二：若不将原系统化为能控标准型第三十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期日比较各项系数P240作业5.1

第三十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期日在极点配置定理中，“任意配置”是和系统可控是等价的。若不要求任意配置，就不一定要求系统可控。因此给定一组期望的特征值，只有它包含了所有不可控部分的特征值时，才是可配置的。三.不完全能控系统的极点配置第三十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期日[例5.2.3]单输入/单输出线性定常系统：（1）若指定闭环特征值{-2,-2,-1,-1}；（2）若指定闭环特征值{-2,-2,-2,-1}；（3）若指定闭环特征值{-2,-2,-2,-2}。分别判断是否存在状态反馈阵K，使闭环极点配置到下列期望的位置。第三十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期日解：系统矩阵A已为约当规范型，对应特征值有1个约当小块；对应特征值有2个约当小块。取出矩阵b中相应于各约当小块末行的那些行，并加以判断，有：

有一个不能控状态变量进一步可知：为系统能控部分的特征值。为系统不能控部分的特征值第三十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期日（1）若指定闭环特征值{-2,-2,-1,-1}；（2）若指定闭环特征值{-2,-2,-2,-1}；由于都包含了系统不可控部分特征值{-1}，而系统能控部分特征值必可通过状态反馈配置到期望特征值{-2,-2,-1}及{-2,-2,-2}。（3）若指定闭环特征值{-2,-2,-2,-2}。由于原系统有不可控部分特征值{-1}，状态反馈不能对该特征值任意配置。因此，必不存在状态反馈阵K，使系统极点配置在{-2,-2,-2,-2}第三十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期日推论：对n维不完全能控的线性定常系统系统能控部分特征值：系统不能控部分特征值：系统期望特征值组那么，若全部属于则必存在状态反馈阵K实现指定的期望极点配置；若部分属于则必不存在状态反馈阵K实现指定的期望极点配置。第三十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期日定理[5.5]采用状态反馈使不完全能控系统稳定的充分必要条件是系统的不能控极点都具有负实部。[例5.2.4]设被控对象的状态方程为：

试分析是否存在状态反馈,使得闭环系统稳定。解:第三十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期日根据定理[5.5]需要对该系统进行能控性分解来分析该不完全能控系统通过状态反馈是否稳定。可见，不能控极点为-2，该系统能通过状态反馈使闭环系统稳定。第四十页，共六十三页，编辑于2023年，星期日四.状态反馈在工程中的应用

[例5.2.5]设被控对象的传递函数为：试在系统能控标准形下,求状态反馈,使闭环系统满足如下性能:超调量,峰值时间,阻尼振荡频率。选自《现代控制理论基础》北京大学出版社返回第四十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期日在很多情况下，只有被控对象的输入量和输出量能够用传感器测量，而多数状态变量不易测量或不可能测得，于是提出了利用被控对象的输入量和输出量建立状态观测器（又称状态估计器、状态重构器）来重构状态的问题。5.3状态观测器的设计观测器存在的条件：①如果原系统是状态完全能观测的，则可以构造全维观测器；②如果原系统是状态不完全能观测的，不能观测的状态有是渐进稳定的，则可以构造降维观测器。第四十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期日观测器的结构：（1）开环观测器这种状态观测器没有实用价值.因为:①模型系统的A、B难以与真实系统的一致。②两系统的初值难以设置得相同。由于图5.14未利用系统的输出信息对误差进行校正，所以图5.14得到的估计值是一个开环估计值。第四十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期日（2）渐进观测器渐进观测器是具有实际应用价值的，它不受系统结构参数与运动初值的影响。一般系统的输入量u和输出量y均为已知，因此希望利用y=cx与的偏差信号来修正的值，这样就形成了如图所示的闭环估计方案。第四十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期日一.全维状态观测器的设计

全维(阶)观测器：重构状态向量的维数等于被控对象状态向量的维数。

一个最简单直观的方法是利用计算机构成一个与实际系统具有同样动态方程的模型系统,用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值,如图(教材P210图5.14)状态观测器的极点配置第四十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期日第四十六页，共六十三页，编辑于2023年，星期日观测器估计误差应满足方程式[定理5.6]

教材P212[定理5.6]

若n维线性定常系统是完全能观测的，则可用图5.15所示的全维状态观测器重构出其所有的状态。反馈矩阵G可以按任意给定的极点位置来选择，所给定的极点位置将决定状态误差向量衰减到零的速度。第四十七页，共六十三页，编辑于2023年，星期日[例5.3.1]

（教材P212例5.5）已知受控对象传递函数为试设计状态观测器，极点配置在-10，-10。解：传递函数无零、极点对消，受控系统完全能观测。将传递函数转化成状态空间描述，并写成能控型实现，有将观测器增益矩阵G写成：第四十八页，共六十三页，编辑于2023年，星期日根据给定的期望极点，求出期望的观测器特征方程为：观测器方程为第四十九页，共六十三页，编辑于2023年，星期日322uy322u322y第五十页，共六十三页，编辑于2023年，星期日8.523.5322u322+第五十一页，共六十三页，编辑于2023年，星期日二.降维状态观测器的设计

降维(阶)观测器:状态观测器重构的状态向量的维数小于被控对象状态向量的维数。应用场合：①系统不能观测；②不能控系统状态反馈的设计③有部分状态能直接观测，希望简化观测器结构，只对不能观测的状态变量进行观测。第五十二页，共六十三页，编辑于2023年，星期日降维状态观测器的设计步骤⑴判断被控系统的可观测性，确定降维观测器维数(n-m);(2)(3)(4)(5)第五十三页，共六十三页，编辑于2023年，星期日返回[例5.3.2]

（教材P217例5.7）已知系统试设计降维观测器,其极点为-3和-4。第五十四页，共六十三页，编辑于2023年，星期日引入了状态观测器的状态反馈系统如下：疑问：1.用观测器提供的估计值代替真实状态x实现状态反馈，为保证系统的期望特征值，其状态反馈阵K是否需要重新设计？5.4带观测器的状态反馈系统的综合第五十五页，共六十三页，编辑于2023年，星期日2.当观测器被引入后，状态反馈系统部分是否回改变已经设计好的观测器极点配置，其观测器输出反馈阵G是否需要重新设计？[分离定理]若被控系统(A,B,C)既能控又能观测。用状态观测器形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行，即K和G阵的