材料力学第六章 弯曲变形

材料力学第六章弯曲变形第一页，共六十四页，编辑于2023年，星期一已知：EI,l,F。例求：挠曲轴方程及转角方程，|w|max、|θ|max解：（1）求支座反力，列弯矩方程（2）列挠曲轴近似微分方程并积分积分得：第二页，共六十四页，编辑于2023年，星期一（3）确定积分常数代入（a）、（b）得：（4）确定挠曲轴方程及转角方程第三页，共六十四页，编辑于2023年，星期一（5）求最大挠度和转角即：即：第四页，共六十四页，编辑于2023年，星期一已知：EI,q,l。例求：挠曲轴方程及转角方程，|w|max、|θ|max解：（1）求支座反力，列弯矩方程（2）列挠曲轴近似微分方程并积分积分得：第五页，共六十四页，编辑于2023年，星期一（3）确定积分常数代入（a）、（b）得：（4）确定挠曲轴方程及转角方程此外第六页，共六十四页，编辑于2023年，星期一（5）求最大挠度和转角即：即：第七页，共六十四页，编辑于2023年，星期一已知：EI，F，a，b，l。例求：挠曲轴方程及转角方程，|w|max、|θ|max解：（1）求支座反力，列弯矩方程（2）列挠曲轴近似微分方程并积分AC段：CB段：AC段：C第八页，共六十四页，编辑于2023年，星期一CB段：（3）确定积分常数代入（a）、（b）、（c）、（d）得：第九页，共六十四页，编辑于2023年，星期一（4）确定挠曲轴方程及转角方程AC段：CB段：第十页，共六十四页，编辑于2023年，星期一（5）求|w|max、|θ|max求最大转角求最大挠度第十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期一第十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期一

例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。第十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期一解：由对称性，只考虑半跨梁ACD第十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期一AC段：CD段：第十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期一由连续条件：由边界条件：由对称条件：第十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期一梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：第十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期一用积分法计算梁的挠度和转角的一般步骤：（2）写弯矩方程M(x)（3）建立挠曲轴近似微分方程

（1）求支反力（4）积分并确定积分常数应用积分法时需要注意的问题1.当梁上有复杂载荷时，应该分段列出弯矩方程，而对每一段进行积分时，必然要有两个积分常数；2.积分常数的确定要利用边界条件和连续条件。连续条件则在每一分段处有两个：一个是挠度连续，另一个是转角连续。第十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期一§6.4用叠加法求弯曲变形一、用叠加法计算梁的变形

在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。第十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期一第二十页，共六十四页，编辑于2023年，星期一

第一类叠加法载荷叠加法计算步骤：1.分解：将作用在梁上的复杂载荷分解成简单载荷；2.分别计算：利用简单载荷作用下梁的挠度和转角的计算结果；3.叠加：可求出梁在复杂载荷作用下的变形。已知:q、F、Me

、l、EI求：wC，A，B第二十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期一解：=++故：第二十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期一

例：两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁Ⅰ、Ⅱ如图示，Ⅱ梁的最大挠度是Ⅰ梁的多少倍？第二十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期一

例：简支梁在整个梁上受均布载荷q作用，若其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？第二十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期一例：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。第二十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期一解：第二十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期一

例：若图示梁B端的转角θB=0，则力偶矩ｍ等于多少？第二十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期一解：第二十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期一例：求图示梁C点的挠度vC。CL9TU27第二十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期一解：第三十页，共六十四页，编辑于2023年，星期一解：第三十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期一例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。第三十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期一解：第三十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期一|||第三十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期一q2qlACB2l2l例:用叠加法求图示梁截面B的挠度和转角。设EI为常量。第三十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期一例：试用叠加法计算图示梁A点的挠度wA。F/2a/2AEIFBa/2

（↓）第三十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期一计算步骤：（1）分段；（2）考虑某梁段变形引起的位移时，将其它梁段视为刚体，计算位移；（3）叠加。

将梁分成几段，分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移时，叠加得需求之位移。第二类叠加法位移叠加法（逐段分析求和法）第三十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期一例:图示悬臂梁受均布载荷q作用。若已知梁的抗弯刚度为EI,试求B截面的转角和挠度。（1）将AC段刚化。（2）将BC段刚化。解：（3）最后结果第三十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期一例:用叠加法计算图示阶梯形梁的C端挠度。设惯性矩I2=2I1

所以：（1）刚化I1，则：解：（2）刚化I2，则：第三十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期一例：用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。第四十页，共六十四页，编辑于2023年，星期一解：第四十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期一例：求图示梁B、D两处的挠度vB、vD

。第四十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期一解：第四十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期一

例：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚度。求C端挠度vC。第四十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期一解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为(3)C点总挠度为第四十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期一图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长等于0.20m的正方形，，；钢拉杆的横截面面积。试求拉杆的伸长及梁中点沿铅垂方向的位移。解：从木梁的静力平衡，易知钢拉杆受轴向拉力40于是拉杆的伸长为木梁由于均布荷载产生的跨中挠度为例：第四十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期一中点的铅垂位移等于因拉杆伸长引起梁中点的刚性位移与中点挠度的和，即第四十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期一二、梁的刚度计算刚度条件：[v]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。第四十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期一

例：图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，[v

]=l／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁的刚度条件确定梁的许可载荷[P]，并校核强度。第四十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期一解：由刚度条件第五十页，共六十四页，编辑于2023年，星期一§6.5简单超静定梁关于超静定的基本概念静定问题与静定结构——未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数超静定问题与超静定结构——未知力个数多于独立的平衡方程数超静定次数——未知力个数与独立平衡方程数之差多余约束——保持结构静定多余的约束第五十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期一简单的超静定梁ABqlABql3-3=04-3=1FAyFAxMAFAyFAxMAFB第五十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期一简单的超静定梁BFBxAqlFAyMAFByFAxMAFAxMBFBxFByqlABFAy5－3＝26－3＝3第五十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期一平衡方程:变形协调方程：FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3/3EI第五十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期一结果：由平衡方程、变形协调方程联立解出FBy=3ql/8,FAx=0,MA=ql2/8FAy=5ql/8,第五十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期一例：试求图示梁的支反力。设弯曲刚度EI为常数。

把结构分为两部分来求解。由于轴力很小，可以忽略不计。

对左半部，查表，并利用叠加原理可得B点挠度：解：对右半部，查表，可得B点挠度：

由于左右两部分是连接在一起的，所以它们在B点的挠度相等，即：所以：得：第五十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期一取左半部受力分析，求解A处的支反力。得：得：取右半部受力分析，求解C处的支反力。得：得：第五十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期一（3）建立变形协调方程。（变形比较：基本静定梁与原静不定梁在多余约束反力作用处、沿约束反力方向的变形进行比较，

）解静不定梁的一般步骤（1）选定基本静定梁。（2）把解除的约束用未知的多余约束反力来代替。（4）求出多余约束反力。第五十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期一例：试求图示梁的约束力0.5llABCMABCMFB第五十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期一例:房屋建筑中的某一等截面梁简化成均布载荷作用下的双跨梁（如图所示）。试求梁的支反力。ABCllABCllqABCllABCllq第六十页，共六十四页，编辑于2023年，星期一

例：用叠加法求图示梁跨中的挠度vC和B点的转角θB（ｋ为弹簧系数）。第六十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期一解：弹簧缩短量第六十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期一由No.10号工字钢制成的ABD梁，左端A处为固定铰链支座，B点处用铰链与钢制