湖南省长沙市达才中学高二数学理联考试题含解析

湖南省长沙市达才中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.把∠A=60°，边长为8的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则AC与BD的距离为（

）

A

6

B

C

D参考答案：A略2.与，两数的等比中项是（

）A．1

B．

C．

D．参考答案：C3.已知函数f（x）=x2+a（b+1）x+a+b（a，b∈R），则“a=0”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；转化法；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合函数奇偶性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：若a=0，则f（x）=x2+b为偶函数，当b=﹣1，a≠0时，f（x）=x2+a﹣1为偶函数，但a=0不成立，即“a=0”是“f（x）为偶函数”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的性质和定义是解决本题的关键．4.如图是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（

）A.

B.1

C.

D.参考答案：D5.某学校共有老、中、青职工200人，其中有老年职工60人，中年职工人数与青年职工人数相等.现采用分层抽样的方法抽取部分职工进行调查，已知抽取的老年职工有12人，则抽取的青年职工应有（

）A．12人

B．14人

C．16人

D．20人

参考答案：B6.直线（3a+1）x+2y﹣4=0与直线2x+2ay﹣1=0平行，则实数a的值为（）A．﹣1 B．﹣1或 C．﹣ D．参考答案：B7.已知数列的前项和，第项满足，则

(

)A．9

B．8

C．7

D．6参考答案：B8.观察下列不等式：.据此你可以归纳猜想出的一般结论为(

)A. B.C. D.参考答案：D【分析】把各不等式化成统一的形式后可猜想一般结论.【详解】即为，即为，即为，即为，故可以归纳猜想出的一般结论是：，故选D.【点睛】本题考查归纳推理，要求从具体的不等式关系得到一个一般性结论，此类问题我们一般要去异求同方可找到一般性结论，同时还应该注意变量的范围.9.函数处的切线方程是（

）A． B．

C．

D．参考答案：D略10.圆C1：x2+y2=a2与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2相切，则等于（）A．1 B．2 C．4 D．16参考答案：C【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；转化思想；直线与圆．【分析】利用圆心距等于半径和，得到关系式，即可求出表达式的值．【解答】解：圆C1：x2+y2=a2与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2相切，可得：，即b2+c2=4a2，∴=4．故选：C．【点评】本题考查圆与圆的位置关系的应用，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则b=

．参考答案：试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y?y0＝f′（x0）（x?x0）．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．12.定义在R上的函数f（x）=﹣x﹣x3，设x1+x2≤0，下列不等式中正确的序号有

．①f（x1）f（﹣x1）≤0

②f（x2）f（﹣x2）＞0③f（x1）+f（x2）≤f（﹣x1）+f（﹣x2）④f（x1）+f（x2）≥f（﹣x1）+f（﹣x2）参考答案：①④

略13.如图所示，已知正方体，分别是正方形和的中心，则和所成的角是

▲

.参考答案：连接DC1,E,F分别是正方形和的中心,所以E,F分别为的中点，故DC1//EF,则DC1与CD所成的角即为EF和CD所成的角，大小为.故答案为.

14.已知实数1，m，4构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为．参考答案：或【考点】椭圆的简单性质；等比数列的性质；双曲线的简单性质．【分析】利用等比数列的性质求出m，然后利用椭圆以及双曲线的性质求出离心率即可．【解答】解：实数1，m，4构成一个等比数列，可得m=±2，m=2时，圆锥曲线+y2=1，它的离心率为：e==．m=﹣2时，圆锥曲线y2﹣=1，它的离心率为：e==．故答案为：或．【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，等比数列的性质的应用，考查计算能力．15.函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是

．参考答案：116.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为

．参考答案：105【考点】程序框图．【专题】计算题；阅读型；定义法；算法和程序框图．【分析】根据条件，进行模拟运行，找到满足条件i≥4时即可．【解答】解：第一次循环，S=1，i=1，T=3，S=1×3=3，i=2不满足条件，第二次循环，S=3，i=2，T=5，S=3×5=15，i=3不满足条件，第三次循环，S=15，i=3，T=7，S=15×7=105，i=4不满足条件，第四次循环，i=4，满足条件，输出S=105，故答案为：105【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据程序条件进行模拟是解决本题的关键．17.在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为n，则n的最大值是

．参考答案：12【考点】棱柱的结构特征．【分析】P应是椭圆与正方体与棱的交点，满足条件的点应该在棱B1C1，C1D1，CC1，AA1，AB，AD上各有一点满足条件，由此能求出结果．【解答】解：∵正方体的棱长为1，∴BD1=，∵点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD1|=m，∴点P是以2c=为焦距，以2a=m为长半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点满足条件．∴满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数n的最大值是12，故答案为12．【点评】本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题，解题时要注意空间思维能力的培养．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1).(Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。参考答案：（Ⅰ）证明：连接BD，由底面是正方形可得ACBD。

SD平面ＡＢＣＤ，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得ACBE.(II)解析：SD平面ABCD，ＣＤ平面ＡＢＣＤ，

SDCD.又底面ＡＢＣＤ是正方形，

ＣDＡD，又ＳＤAD=D，CD平面SAD。过点D在平面SAD内做DFAE于F，连接CF，则CFAE，故CFD是二面角C-AE-D的平面角，即CFD=60°在Rt△ADE中，AD=,DE=，AE=

。于是，DF=在Rt△CDF中，由cot60°=得，

即=3，解得=19.已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设点M（x，y），通过KAM?KBM=﹣，即可求出所在的曲线C的方程．（2）求出，设直线PQ的方程，与椭圆方程联立消去y，通过x=1是方程的一个解，求出方程的另一解，求出直线RQ的斜率，把直线RQ的方程代入椭圆方程，求出|PQ原点O到直线RQ的距离，表示出面积S△OQR，求解最值．【解答】解：（1）设点M（x，y），∵KAM?KBM=﹣，∴，整理得点所在的曲线C的方程：．（2）由题意可得点，直线PQ与直线PR的斜率互为相反数，设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立消去y，得：（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（4k2﹣12k﹣3）=0，由于x=1是方程的一个解，所以方程的另一解为，同理，故直线RQ的斜率为，把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得x2+bx+b2﹣3=0，所以|PQ|==原点O到直线RQ的距离为，S△OQR==≤=．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．20.（12分）已知函数f（x）是定义在[﹣e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈[﹣e，0）时，f（x）=ax-ln(-x)．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）是否存在实数a，使得当x∈（0，e]时，f（x）的最大值是-3．如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）设x∈（0，e]，则﹣x∈[﹣e，0），∴f（﹣x）=﹣ax-lnx，又f（x）为奇函数，f（x）=﹣f（﹣x）=ax+lnx.∴函数f（x）的解析式为……………4分（Ⅱ）假设存在实数a符合题意，则当x∈（0，e]时，f（x）的最大值是-3，当x∈（0，e]时，①当a=0时，∴函数f（x）=ax+lnx是（0，e]上的增函数，∴f（x）max=f（e）=ae+1=1，不合题意，舍去．②当时,由于x∈（0，e]．则．∴函数f（x）=ax+lnx是（0，e]上的增函数，∴f（x）max=f（e）=ae+1=-3，则（舍去）．③当时，在上，在上.则f（x）=ax+lnx在上递增，上递减，∴,解得a=﹣e2，④当时，由于x∈（0，e]．则∴函数f（x）=ax+lnx是（0，e]上的增函数，∴f（x）max=f（e）=ae+1=-3，则（舍去）．综上可知存在实数a=﹣e2，使得当x∈（0，e]时，f（x）的最大值是-3．……………12分

21.已知函数f（x）=2x3﹣ax2+8．（1）若f（x）＜0对?x∈恒成立，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数g（x）=f（x）+4ax2﹣12a2x+3a3﹣8在区间（0，1）上存在极小值，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）分离参数，得到a＞2x+，设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可．【解答】解：（1）由f（x）＜0得：a＞=2x+，设，则，∵x∈，∴h′（x）≤0，则h（x）在上是减函数，∴h（x）max=h（1）=10，∵f（x）＜0对?x∈恒成立，即对?x∈恒成立，∴a＞10，则实数a的取值范围为（10，+∞）．…（2）∵g（x）=2x3+3ax2﹣12a2x+3a3，∴g′（x）=6x2+6ax﹣12a2=6（x﹣a）（x+2a），②a=0时，g′（x）≥0，g（x）单调递增，无极值．②当a＞0时，若x＜﹣2a，或x＞a，则g′（x）＞0；若﹣2a＜x＜a，则g′（x）＜0．∴当x=a时，g（x）有极小值．∵g（x）在（0，1）上有极小值，∴0＜a＜1．③当a＜0时，若x＜a或x＞﹣2a，则g′（x）＞0；若a＜x＜﹣2a，则g′（x）＜0．∴当x=﹣2a时，g（x）有极小值．∵g（x）在（0，1）上有极小值，∴0＜﹣2a＜1，得．由①②③得，不存在整数a，使得函数g（x）在区间（0，1）上存在极小值．…22.从某学校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组．第二组；…第八组，右图是按上述分组方法得到的条形图.

(1)根据已知条件填写下面表格：组别12345678样本数241010

4

2(2)估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数；参考答案：解:（Ⅰ）由条形图得第七组频率为

∴第七组的人数为3人……（2分）

0.3∴第五组的人数为15人……（4分