2022-2023学年湖南省长沙市培粹实验中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年湖南省长沙市培粹实验中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，且，则向量与的夹角为（）A．

B．

C.

D．参考答案：B2.若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值（）A．2 B．3 C．6 D．9参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，由极值的概念得到f′（1）=0，即有a+b=6，再由基本不等式即可得到最大值．【解答】解：函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2的导数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，由于函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则有f′（1）=0，即有a+b=6，（a，b＞0），由于a+b≥2，即有ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3取最大值9．故选D．3.多面体MN—ABCD的底面ABCD为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则AM的长为A

B

C

D2参考答案：C【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2如图所示，E，F分别为AD，BC的中点，则MNEF为等腰梯形．由正（主）视图为等腰梯形，可知MN=2，AB=4，

由侧（左）视图为等腰三角形，可知AD=2，MO=2∴ME==在△AME中，AE=1，∴AM=【思路点拨】取E，F分别为AD，BC的中点，则MNEF为等腰梯形，利用正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，求出ME，AE的长，即可求AM的长．4.若全集为实数R，集合A={x||2x﹣1|＞3}，B={x|y=}，则（?RA）∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|1≤x≤2} D．?参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：2x﹣1＞3或2x﹣1＜﹣3，解得：x＞2或x＜﹣1，即A={x|x＜﹣1或x＞2}，∴?RA={x|﹣1≤x≤2}，由B中y=，得到x﹣1＞0，即x＞1，∴B={x|x＞1}，则（?RA）∩B={x|1＜x≤2}，故选：B．5.已知满足不等式，则函数取得最大值是（A）12（B）9（C）6（D）3参考答案：A6.已知集合，，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略7.已知O为坐标原点，F1、F2分别是双曲线C：﹣=1的左右焦点，A为C的左顶点，P为C上一点，且PF1⊥x轴，过点A的直线l与线段PF1交于点M，与y轴交于点E，若直线F2M与y轴交点为N，OE=2ON，则C的离心率为（）A． B．2 C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件求出直线AE的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：∵PF1⊥x轴，∴设M（﹣c，t），则A（﹣a，0），B（a，0），AE的斜率k=，则AE的方程为y=（x+a），令x=0，则y=，即E（0，），∵N（0，），∵|OE|=2|ON|，∴2||=||，即c=2a，则离心率e==2，故选：B8.奇函数f（x）、偶函数g（x）的图象分别如图1、2所示，方程f（g（x））=0、g（f（x））=0的实根个数分别为a、b，则a+b=（）A．14 B．10 C．7 D．3参考答案：B【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】先利用奇函数和偶函数的图象性质判断两函数的图象，再利用图象由外到内分别解方程即可得两方程解的个数，最后求和即可【解答】解：由图可知，图1为f（x）图象，图2为g（x）的图象，m∈（﹣2，﹣1），n∈（1，2）∴方程f（g（x））=0?g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1?x=﹣1，x=1，x=m，x=0，x=n，x=﹣2，x=2，∴方程f（g（x））=0有7个根，即a=7；而方程g（f（x））=0?f（x）=a或f（x）=0或f（x）=b?f（x）=0?x=﹣1，x=0，x=1，∴方程g（f（x））=0有3个根，即b=3∴a+b=10故选Baa【点评】本题主要考查了函数奇偶性的图象性质，利用函数图象解方程的方法，数形结合的思想方法，属基础题9.已知函数，函数若存在，使得成立，则实数的取值范围是（

）[A.

B.

C.

D.参考答案：B10.正项等比数列中，，，则公比的值是（

）A．

B．

C．1或

D．-1或参考答案：A试题分析：因,所以,解之得.故应选A.考点：等比数列的通项和前项和及运用.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知的三个角、、成等差数列，对应的三边为、、，且、、成等比数列，则

．参考答案：12.已知等差数列的前项和为，且，则________.参考答案：44略13.（5分）（2015?万州区模拟）要得到函数y=2sin2x的图象，需将函数y=sin2x+cos2x的图象向右平移至少m个单位（其中m＞0），则m=．参考答案：【考点】：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由三角函数公式化简可得y=sin2x+cos2x=2sin2（x+），由三角函数图象的变换可得．【解答】：∵y=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2（sin2xcos+cos2xsin）=2sin（2x+）=2sin2（x+），∴要得到函数y=2sin2x的图象只需将上面函数的图象向右平移2kπ+，k∈Z个单位即可，∴只需当k=0时图象向右平移个单位即可，即m=故答案为：【点评】：本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数图象的变换，属中档题．14.函数f（x）=3+xlnx的单调递减区间是

．参考答案：（0，）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用．【分析】首先求函数f（x）的定义域，x＞0，求f（x）的导数，利用f′（x）＜0，解出x的范围；【解答】解：∵函数f（x）=3+xlnx，（x＞0）∴f′（x）=lnx+1＞0，得x＜，∴f（x）=3+xlnx的单调递减区间是（0，），故答案为（0，）；【点评】利用导数研究函数的单调性，本题的易错点的忘记函数f（x）的定义域，是一道基础题；15.已知二元一次方程组的增广矩阵是，若该方程组无解，则实数的值为__________参考答案：-216.数列{an}满足a1+a2+a3+…an=2n﹣an（n∈N+）．数列{bn}满足bn=，则{bn}中的最大项的值是．参考答案：

【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式可得，数列{an﹣2}构成以为公比的等比数列，求出其通项公式后代入bn=，再由数列的函数特性求得{bn}中的最大项的值．【解答】解：由a1+a2+a3+…an=2n﹣an，得Sn=2n﹣an，取n=1，求得a1=1；由Sn=2n﹣an，得Sn﹣1=2（n﹣1）﹣an﹣1（n≥2），两式作差得an=2﹣an+an﹣1，即（n≥2），又a1﹣2=﹣1≠0，∴数列{an﹣2}构成以为公比的等比数列，则，则bn==，当n=1时，，当n=2时，b2=0，当n=3时，，而当n≥3时，，∴{bn}中的最大项的值是．故答案为：．17.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知成等差数列，则等比数列{an}的公比为__________．参考答案：【详解】由，，成等差数列得，即则所以或（舍），故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2016秋?台州期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为BB1，B1C1的中点．（Ⅰ）求证：直线EF∥面ACD1；（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣D的平面角的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结BC1，则EF∥BC1，从而EF∥AD1，由此能证明直线EF∥面ACD1．（Ⅱ）连结BD，交AC于点O，连结OD1，则OD⊥AC，OD⊥AC，∠DOD1是二面角D1﹣AC﹣D的平面角，由此能求出二面角D1﹣AC﹣D的平面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结BC1，则EF∥BC1，∵BC1∥AD1，∴EF∥AD1，∵EF?面ACD1，AD1?面ACD1，∴直线EF∥面ACD1．解：（Ⅱ）连结BD，交AC于点O，连结OD1，则OD⊥AC，OD⊥AC，∴∠DOD1是二面角D1﹣AC﹣D的平面角，设正方体棱长为2，在Rt△D1DO中，OD=，OD1=，∴cos∠DOD1===，∴二面角D1﹣AC﹣D的平面角的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查利用二面角的余弦值的求法；考查逻辑推理与空间想象能力，运算求解能力；考查数形结合、化归转化思想．19.在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．参考答案：解：（Ⅰ）由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，，又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，那么，根据题意，点落在上，∴，易求得，…………4分∴四边形是平行四边形，∴，∴平面（Ⅱ）解法一：作，垂足为，连接，∵⊥平面，∴，又，∴平面，∴，∴就是二面角的平面角．中，，，．∴．即二面角的余弦值为.解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，可知平面的一个法向量为设平面的一个法向量为则，可求得．所以，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为．略20.（选修4-5：不等式选讲）（本小题满分10分）设函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ），恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ），即，即，------2分，-----3分解得或，-------4分所以不等式的解集为或.------5分（Ⅱ）------6分故的最大值为，------7分因为对于，使恒成立.所以，-----9分即，解得或，∴.------10分21.已知是递增的等差数列，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.参考答案：（Ⅰ）解：设等差数列的公差为ks5u，………3分得：

………………5分代入：，得：

………………6分（Ⅱ）

………………7分………9分

………11分ks5u ………………12分略22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数，），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）设P是曲线C上的一个动眯，当时，求点P到直线l的距离的最小值；（2）若曲线C上所有的点都在直