北京房山区长阳中学2021年高三数学理联考试卷含解析

北京房山区长阳中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量满足,向量满足若为的中点,且,则点在A.以为圆心,半径为1的圆上

B.以为圆心,半径为1的圆上C.以为圆心,半径为1的圆上

D.以为圆心,半径为1的圆上参考答案：D2.定义域为R的偶函数f(x)满足任意，有，且当时，.若函数至少有三个零点，则a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由题意可得的周期为2，当时，，令，则的图像和的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据，求得的取值范围.【详解】是定义域为R的偶函数，满足任意，，令，又，为周期为2的偶函数，当时，，当，当，作出图像，如下图所示：函数至少有三个零点，则的图像和的图像至少有3个交点，，若，的图像和的图像只有1个交点，不合题意，所以，的图像和的图像至少有3个交点，则有，即，.故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.3.高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为，它们的平均数为，方差为；其中扫码支付使用的人数分别为，，，，，它们的平均数为，方差为，则，分别为（

）A.， B.， C.， D.，参考答案：C【分析】由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案.【详解】由平均数的计算公式，可得数据的平均数为数据的平均数为：，数据的方差为，数据的方差为：故选C.【点睛】本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点A，B，，抛物线的准线l与x轴交于点C，AM⊥l于点M，则四边形AMCF的面积为().A.

B.

C.

D.参考答案：A设直线的方程为，与联立可得，，，，则，可得，四边形的面积为，故选A.

5.已知，若恒成立，则实数的取值范围是A．或 B．或

C．

D．【解析】因为，当且仅当，即时取等号，所以要使恒成立，则有，即，解得，选D.参考答案：因为，当且仅当，即时取等号，所以要使恒成立，则有，即，解得，选D.【答案】D6.若曲线在点处的切线方程是,则(

)A.B.

C.D.参考答案：A7.设向量，若,则(

)A. B. C.-1 D.-3参考答案：D分析：利用，即可求出，再利用两角和的正切公式即可得出．详解：∵，，即．

故选：B．点睛：利用，以及合理运用两角和的正切公式是解题的关键．8.记表示中较小的数，比如.设函数，若（互不相等），则的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A考点：函数的零点，数形结合思想．【名师点睛】在涉及到函数的零点，方程的解的范围，方程解的个数问题时通常采用数形结合法，把方程解转化为两函数图象的交点（较多是直线与函数图象交点），通过图象观察结论，寻找方法．9.在各项都为正数的等差数列{an}中，若a1+a2+…+a10=30，则a5?a6的最大值等于（）A．3 B．6 C．9 D．36参考答案：C【考点】等差数列的性质．【分析】利用a1+a2+…+a10=30，求出a5+a6=6，再利用基本不等式，求出a5?a6的最大值．【解答】解：由题设，a1+a2+a3+…+a10=5（a1+a10）=5（a5+a6）=30所以a5+a6=6，又因为等差数列{an}各项都为正数，所以a5a6≤=9，当且仅当a5=a6=3时等号成立，所以a5?a6的最大值等于9，故选C．10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（

）

（A）

（B） （C）

（D）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若tanα=，则=

．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数关系式求出sinα和cosα，再由=，能求出结果．【解答】解：∵tanα=，∴sinα=，cos，或，cos，∴=﹣sin2α===．故答案为：．12.＝___________.参考答案：2略13.设函数是定义在R上的奇函数，若当时，则满足的值域是 。参考答案：答案：14.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体内切球的体积为

.参考答案：

15.设函数,观察:,,根据以上规律,由归纳推理可得:当且时,_________________________.参考答案：16.已知命题，若为假命题，则的取值范围是参考答案：【知识点】全称量词与存在性量词【试题解析】若为假命题，则p为真命题。

设若对，

则

故答案为：17.设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为

.

参考答案：2．函数在点处的切线为，即.所以D表示的平面区域如图当目标函数直线经过点M时有最大值，最大值为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分13分)已知椭圆C：(a>b>0)的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为l时，坐标原点O到l的距离为。

(I)求椭圆C的方程；

(II)若P，Q，M，N椭圆C上四点，已知与共线，与共线，且=0，求四边形PMQN面积的最小值．参考答案：(I)；(II)19.已知函数（其中的最小正周期为.（Ⅰ）求的值,并求函数的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角中,分别是角的对边,若的面积为,求的外接圆面积.参考答案：的外接圆半径等于

则的外接圆面积等于

………（12分）20.（本小题12分）已知函数满足对任意实数都有成立，且当时，,.（1）求的值；（2）判断在上的单调性，并证明；（3）若对于任意给定的正实数，总能找到一个正实数，使得当时，，则称函数在处连续。试证明：在处连续．参考答案：（1）；（2）设，则在上单调递增；（3）令，得

对任意

又

要证

对任意1

当时，取，则当即时，由单增可得即；2

当时，必存在使得

取，则当即时，有而

综上，在处连续．21.函数的图像在点处的切线与轴交点的横坐标为（为正整数），其中．设正整数数列满足：，当时，有．