2022-2023学年广东省梅州市千顷中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年广东省梅州市千顷中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设复数z满足z+3i=3﹣i，则|z|=（）A．3﹣4i B．3+4i C． D．5参考答案：D【考点】复数求模．【分析】求出z，再求出z的模即可．【解答】解：∵z+3i=3﹣i，∴z=3﹣4i，则|z|==5，故选：D．2.在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的(

)A.预报变量在轴上，解释变量在轴上

B.解释变量在轴上，预报变量在轴上C.可以选择两个变量中任意一个变量在轴上

D.可以选择两个变量中任意一个变量在轴上参考答案：B略3.设双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为(A)2

(B)

(C)

(D)参考答案：B4.设实数x，y满足，则的最大值是（

）A.－1 B. C.1 D.参考答案：D由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A（），的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率，由图可知，最大．故答案为：．

5.设全集U=R，集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|y=log2（x2﹣1）}，则（?UA）∩B=（）A．[1，2） B．（1，2） C．（1，2] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，2]参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求解一元二次不等式化简A，求函数的定义域化简B，然后利用交、并、补集的混合运算得答案．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，∴?UA={x|0＜x＜2}，由x2﹣1＞0，得x＜﹣1或x＞1．∴B={x|y=log2（x2﹣1）}={x|x＜﹣1或x＞1}，则（?UA）∩B={x|0＜x＜2}∩={x|x＜﹣1或x＞1}=（1，2）．故选：B．6.设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°且|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率等于

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B7.若则实数的取值范围是（

）A．；B.；C.；D.参考答案：B8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何?”其意思为:“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（

）A．142π平方尺

B．140π平方尺

C．138π平方尺

D．128π平方尺参考答案：C9.下列函数既是奇函数又是减函数的是

A．

B．

C．

D．参考答案：DA,B,D为奇函数，排除C.A为增函数，B在R上不单调，所以选D.10.如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（

）A． B．C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________（用数字作答)．参考答案：解析：本小题主要考查排列组合知识。依题先排除1和2的剩余4个元素有种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有种插法，∴不同的安排方案共有种。12.已知数列{an}的前n项和公式为，则数列{an}的通项公式为___．参考答案：【分析】由题意，根据数列的通项与前n项和之间的关系，即可求得数列的通项公式．【详解】由题意，可知当时，；当时，.又因为不满足，所以.【点睛】本题主要考查了利用数列的通项与前n项和之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13.函数的最小正周期为

，

．参考答案：14.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为．参考答案：3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a，b，k的方程，再求出在点（1，3）处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最后解方程组即可得．从而问题解决．【解答】解：∵直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），∴…①又∵y=x3+ax+b，∴y'=3x2+ax，当x=1时，y'=3+a得切线的斜率为3+a，所以k=3+a；…②∴由①②得：b=3．故答案为：3．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．15.设函数的定义域为，如果对于任意的，存在唯一的，使（为常数）成立，则称函数在上的均值为。下列五个函数：①；②；③；④；

⑤，满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是

．参考答案：②③⑤16.已知实数，满足约束条件，若目标函数仅在点取得最小值，则的取值范围是

．参考答案：不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为,∴，，．∴，解得．17.三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某皮革公司旗下有许多手工足球作坊为其生产足球，公司打算生产两种不同类型的足球，一款叫“飞火流星”，另一款叫“团队之星”．每生产一个“飞火流星”足球，需要橡胶100g，皮革300g；每生产一个“团队之星”足球，需要橡胶50g，皮革400g．且一个“飞火流星”足球的利润为40元，一个“团队之星”足球的利润为30元．现旗下某作坊有橡胶材料2.5kg，皮革12kg．（1）求该作坊可获得的最大利润；（2）若公司规定各作坊有两种方案可供选择，方案一：作坊自行出售足球，则所获利润需上缴10%方案二：作坊选择由公司代售，则公司不分足球类型，一律按相同的价格回收，作坊每个球获得30元的利润．若作坊所生产的足球可全部售出，请问该作坊选择哪种方案更划算？请说明理由．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】（1）设该作坊生产“飞火流星”足球x个，“团队之星”足球y个，作坊获得的利润为z元．则即，目标函数z=40x+30y，（x，y∈N）．由图可求该作坊可获得的最大利润．（2）分别求出两种方案的利润即可．【解答】【解析】（1）设该作坊生产“飞火流星”足球x个，“团队之星”足球y个，作坊获得的利润为z元．

则，即，目标函数z=40x+30y，（x，y∈N）．…由图可知，当直线l经过点（16，18）时，z取得最大值1180，即该作坊可获得的最大利润为1180元．…（2）若作坊选择方案一，则其收益为1180×（1﹣10%）=1062元；…若作坊选择方案二，则作坊生产的足球越多越好，设其生产的足球个数为t，则t=x+y，（x，y∈N），由（1）知，作图分析可知，当x=16，y=18时，t取得最大值，此时作坊的收益为（16+18）×30=1020元，故选择方案一更划算．…19.（12分）如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．（Ⅰ）求证：A1B⊥AD；（Ⅱ）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．参考答案：【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）通过已知条件易得=、∠DAB=∠DAA1，利用=0即得A1B⊥AD；（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系O﹣xyz，平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值即为平面ABB1A1的法向量与平面DCC1D1的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．

（Ⅰ）通过条件可知=、∠DAB=∠DAA1，利用=即得A1B⊥AD；（Ⅱ）解：设线段A1B的中点为O，连接DO、AB1，由题意知DO⊥平面ABB1A1．因为侧面ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B，故可分别以射线OB、射线OB1、射线OD为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．设AD=AB=2BC=2a，由∠A1AB=60°可知|0B|=a，，所以=a，从而A（0，a，0），B（a，0，0），B1（0，a，0），D（0，0，a），所以==（﹣a，a，0）．由可得C（a，a，a），所以=（a，a，﹣a），设平面DCC1D1的一个法向量为=（x0，y0，z0），由?=?=0，得，取y0=1，则x0=，z0=，所以=（，1，）．又平面ABB1A1的法向量为=D（0，0，a），所以===，故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．【点评】：本题考查二面角，空间中两直线的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．20.（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知lga﹣lgb=lgcosA﹣lgcosB，（Ⅰ）若，求角A；（Ⅱ）若，求cosB的值．参考答案：考点：余弦定理；对数的运算性质；正弦定理．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）由题意可得A、B∈（0，），tanA=tanB，从而有A=B；又c=b，由余弦定理可求角A；（Ⅱ）由cosC=，利用余弦定理可得c=a，再利用正弦定理将该式转化为角的正弦，利用三角函数间的关系式即可求得cosB的值．解答： 解：∵lga﹣lgb=lgcosA﹣lgcosB，∴lg=lg，A、B∈（0，），∴=，∴acosB=bcosA，由正弦定理可得sinAcosB=sinBcosA，sin（A﹣B）=0，∵A、B∈（0，），∴A=B，即a=b，△ABC为等腰三角形．又c=b，由余弦定理得：c2=3b2=b2+a2﹣2abcosC=2b2﹣2b2cosC，∴cosC=﹣，又C∈（0，π），∴C=，又A=B，A+B+C=π，∴A=．（Ⅱ）∵cosC=，∴sinC=，∴由余弦定理c2=b2+a2﹣2abcosC=2a2﹣2a2×=a2，∴c=a，∴sinC=sinA，而sinC=，∴sinA=，又A、B∈（0，），A=B，∴cosB=cosA=．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，得到tanA=tanB，是解题的关键，考查学生综合运用三角知识解决问题的能力，属于难题．21.时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式，其中，为常数.已知销售价格为4元/套时，