讲课提纲第四次1Cauchy列概念又称为基本

§1.3BolzanoCauchyP40Ex1.35，6（1（3，9四、CauchyCauchy列的概念（Cauchy列又称为基本列定义：设an是一个数列，若对于任意的0N，当mNnNan

q1时，qnCauchyqnqm

qn1qm

2qn（m，

qn0，所以对任意的0N，当mnan

CauchyCauchy设k

A0，由于anCauchyN1，当mN1nN1an

；又因为

k

A，所以存在正整数K，当k

ANmaxN1K}nNkNanAan

A2即n

anAan发散存在00，对任意的N0，总存在nN,m

，使得anam0n（1）

lim2nkn“0 kn

1 k n

limknk11“ kn1

1

12若数列ana2a1a3

n

an“bna2a1a3

an

由an1an

Note：例（3）an

n

a2。

a3a2§1.4P60Ex1.4

x

f(x)A00，当0

x

f(xA（1）0

x

f(xf(x0（3）与x0

x

f(x)A

x24

sinx0f1f1

x

x

f(x)A0

x

A定理：若

u

f(u)A

x

g(x)

，且xx0

g(x)u0x

f(g(x))A证明：0f(u)A

u

f(uA10，当0u

1时，对于上述10

x

g(x)u0xx0g(x)u0，所以0当0

x

时，有0g(x

1

f(g(xAf(xx0的左侧附近单调增加（减少）且有上（下）f(xx0的左f(xx0的右侧附近单调减少（增加）且有上（下）f(xx0

x

f(x)A

n

xnx0(xnx0，都

n

f(xn)Ax

f(x)A0

，

，满足

0

x0f(xA0特别地，取

1，得到xn满足0n

xn

1n

f(xn)A0 （1）

x

f(x)

xppq互素）

f(x

Note：两个整数互素（互质）指的是它们之间除了1x0是一个无理数，只要证明对任意的 f(zn0

n

znx0(znx0)n

znk

k

f(xk)0

yk

pk。对于任意的0

f(yk)

k

1qN0kNkkfyk)0

f(yk)

n

f(zn0Notef(x

xppq互素NoteRiemannf(x

Cauchy

x

f(x存在0，0，当0

x1

，0x2

有f(x1f(x2)

f(x1)f(x2)

f(x1)A

f(x2ACauchy设xn

xnx0(xnx0的任意数列（先证数列f(xn)是一个

x

f(x)

f(xn)0，根据条件可知，00

x

，0

x

时，有f(xf(x)对于上述0

xnx0(xnx0N0，当nNm0xn

，0

xm

，从而

f(xnf(xm)。这说明数列A

n

f(xn)0，存在N1

，当nN1时，有f(xnA取n0maxNN1

0

x0

f(xn0)A

0xx0

时，有

f(x)A

f(x)f(xn0)

f(xn0A2，故x

f(xx

f(x)不存在的Cauchy准则：000x,x，满足0x

，0

x

f(xf(x)0Cauchy

x0“取010，对01，取x,x2

，则0

x

，且2f(x)f(x)

11

112020

“不妨设

x11x30，取

0

x1，0

x1时，x x1

4x1x18 L’Hospitalf(x),g(x)（1）x0g(x)

x

g(x)

x

f(x)A()g则x

f(x)g(x)

x

f。g

x

g(x)Cauchy

0xx0

f(x)g(x)

f0

0xx0

g(x)

，所以存在10,M0x(x0x0ff

A

Mfgxx1(x0fgfg(xfg(x)fg(x)

f(x)fg(x)f(x)f(x)fg(x)f(x)fg(x)g(x)[g(x)f(x1)g(x1)f(x)g(x1)f(x1)g(x)fg(x)[g(x)

f()

f()Ag()

g(x)g(x)

fgfg(x)Mfg(x)

0xx0

g(x)，所以存在20x(x0x02MMffg(x)取min1,2}x(x0xfg(x)

A2

0xx00xx0

f(x)g(x)f(x)g(x)

ffg(x)

f(x)f(x1)fg(x)g(x)fg(x)

f(x)fg(x)f(x)g(x1)f(x1)g(x)g(x)[g(x)

f