大二概率论第二章5节

§2.5

常用连续分布正态分布、均匀分布、指数分布、伽玛分布、贝塔分布。2.5.1

正态分布本书第四章的中心极限定理表明：一个变量如果是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，那么这个变量一定是正态变量。因此很多随机变量可以用正太分布描述或近似描述，譬如测量误差、产品重量、人的身高、年降雨量等都可用正态分布描述。记为X

~

N(m,s2),122s(x-m)2

p(x)

=exp-2ps,

-¥

<

x

<¥其中s

>0，m

是任意实数.m

是位置参数.s

是尺度参数.一、正态分布的密度函数和分布函数yxOμp(x)x0

μσ小σ大

p(x)关于m

是对称的.在m

点p(x)取得最大值.若s

固定,m

改变,p(x)左右移动,形状保持不变.(3)

若m

固定,s

改变,s

越大曲线越平坦;s

越小曲线越陡峭.正态分布的性质：p(x)x02(1)

F

(0)

=

1

,x-xF

(-x)1

-F

(

x)二、标准正态分布N(0,

1)密度函数记为j(x),分布函数记为F

(x).(2)

F

(

-

x)

=

1

-

F

(x)F

(x)的计算x

‡

0

时,

查标准正态分布函数表.x

<

0时,

用F

(x)

=

1

-

F

(

-

x).若

X

~

N(0,

1),

则P(X

£

a)

=

F

(a);P(X>a)

=1-F

(a);P(a<X<b)

=

F

(b)-F

(a);若a

‡

0,

则P(|X|<a)

=

P(-a<X<a)

=

F

(a)-F

(-a)=

F

(a)-

[1-

F

(a)]

=

2F

(a)-1例2.5.1

设

X

~

N(0,

1),

求P(X>-1.96)

,

P(|X|<1.96)解:

P(X>-1.96) =

1-

F

(-1.96)=

1-(1-

F

(1.96)) =

F

(1.96)=0.975

(查表得)P(|X|<1.96)

=

2

F

(1.96)-1=

2

·0.975-1 =

0.95三、一般正态分布的标准化s定理2.5.1

设

X

~

N(m,

s

2),

Y

=

X

-m

,则Y

~

N(0,

1).推论:

若

X

~

N(2m,s

),

则sx-mF(x)

=F

设X

~

N(10,

4),求

P(10<X<13),P(|X-10|<2).解:

P(10<X<13)

=

F

(1.5)-F

(0)=

0.9332

-

0.5 =

0.4332P(|X

-10|<2)

=

P(8<X<12)=

2F

(1)-1

=

0.6826例2.5.3设

X

~

N(m

,

s

2),

则随s

的增大，概率P{|

X-m

|<s

}①单调增大③保持不变(

③

)②单调减少④增减不定课堂练习五、正态分布的3s

原则设

X

~

N(m,

s2),

则P(

|

X-m

|

<

s

)

=

0.6828.P(

|

X-m

|

<

2s

)

=

0.9545.P(

|

X-m

|

<

3s

)

=

0.9973.记为X

~

U(a,b)1a<x<bp(x)

=

b-a

,

0,其它0,1,x

<aa

£

x

<bb

£

x

x

-aF

(

x)

=

b

-a

,2.5.2

均匀分布2.5.3

指数分布0,x>0x£0l

e-l

x

,p(x)

=

0,x>0x£01-

e-l

x

,F

(x)

=

记为

X

~

Exp(l),

其中l

>0.特别：指数分布具有无忆性，即：P(

X

>

s+t

|

X

>

s

)=P(

X

>

t

)例2.5.5

如果某设备在任何长度为t的时间[0，t]内发生故障的次数N（t）服从参数λt的泊松分布，则相继两次故障之间间隔T服从参数为λ的指数分布2.5.4

伽玛分布记为X

~

Ga(a,l),laxa

-1e-lx

,p(x)

=x

‡

0G(a

)其中a

>0，l

>0.为伽玛函数.0e

dxa

-1

-x+¥G(a

)

=

x称2.5.5

贝塔分布1B(a,b)p(x)

=xa-1(1-

x)b-1,

0

<

x

<1记为

X

~

B(a,

b),

其中a

>0，b

>0.称10B(a,

b)

=xa

-1(1-x)b

-1dx为贝塔函数.常用连续分布的数学期望正态分布N(m,s2):均匀分布U(a,b):指数分布Exp(l):伽玛分布Ga(a,l):贝塔分布Be(a,b):E(X) =

mE(X)

=

(a+b)/2E(X)

=

1/lE(X)

=

a/lE(X)

=

a/(a+b)常用连续分布的方差正态分布N(m,s2)的方差=s2均匀分布U(a,b)的方差=(b

-a)2/12指数分布Exp(l)的方差=1/l2设E(X)=μ，Var(X)=σ2，则对任意常数C，必有（

④）.E[(

X

-C)2

]

=

E(

X

2

)