2023艺术生新高考数学讲义 第17讲 数列求和（学生版+解析版）

第17讲数列求和

【知识点总结】

求数列前”项和的常见方法如下：

（1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前"项和公式.

（2）错位相减法：数列的通项公式为可也,或虫的形式，其中｛〃“｝为等差数列，｛包｝为等比数列.

bn

（3）分组求和法：数列的通项公式为4+”的形式，其中｛“"｝和｛2｝满足不同的求和公式.常见于｛4｝

为等差数列，｛2｝为等比数列或者｛凡｝与｛〃｝分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律.

（4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.

（5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和.

【典型例题】

1

例1.（2022•全国•高三专题练习）数列｛4｝的通项公式％=，它的前〃项和S“=9,则〃=（)

A.9B.10C.99D.100

例2.（2022•全国•高三专题练习）在公差大于0的等差数列｛4｝中，2%-%3=1，且4，%T，4+5

成等比数列，则数列[（-1）"'。"｝的前21项和为（）

A.12B.21C.11D.31

例3.（2022・全国•高三专题练习）已知数列｛诙｝满足:atl+\=an-an-\（论2,ai=l,02=2,S”为数

列｛〃〃｝的前〃项和,则S202]=（）

A.3B.2C.1D.0

、111

例4.（2022・全国•高三专题练习）已知等差数列｛%｝的前几项和为？=3,S4=10,贝”三+不+…+不二

例5.（2021・全国•高三专题练习）己知数列｛4｝的前〃项和S,=2"+2_4（〃eN.）,函数/*）对一切实数x

总有/(x)+/(l-x)=l,数列｛2｝满足bn=/(0)+/(-!-)+/(-)+.••+〃生口)+/⑴.分别求数列｛《｝、也｝的

nnn

通项公式.

例6.（2022・全国•高三专题练习）已知｛4｝为等差数列，｛"｝为等比数列，且满足

4=1,々=2,4=4(4-回=4(63-62).

（1）求｛q｝和色｝的通项公式；

（2）对任意的正整数n,设%=a„h,t,求数列｛%｝的前〃项和5,1.

例7.（2022・全国•高三专题练习）数列｛4｝的前"项和为S“，q=l,a“+i=2S“+l.

（1）求4,s,；

（2）设々尸内—，数列圾｝的前"项和为证明：

例8.（2021•福建・永安市第三中学高中校高三期中）已知数列｛4｝是前〃项和为5“=2向-2

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）令2=q,+log24，求数列｛〃｝的前"项和7；.

【技能提升训练】

一、单选题

1.（2021・全国•高三专题练习（文））已知函数/（x）=（x-iy+l,利用课本中推导等差数列的前"项和

的公式的方法，可求得f（—5）+/（T）+…+/（0）+…+/（6）+/（7）（）.

25

A.25B.26C.13D.—

2

2.（2022・全国•高三专题练习）已知函数y=/（x）满足+x）=l,若数列｛4｝满足

4=f（o）+/（：）+/（：］+・・・+j（F）+/a），则数列｛〃〃｝的前20项和为（）

A.100B.105C.110D.115

3.(2020•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=x+sinG-3,则

《康卜(嘉W募卜••+《端)的值为

A.4033B.-4033

C.8066D.-8066

4.(2021•全国•高三专题练习(文))已知等比数列｛m｝的前〃项和为S“若&=7,56=63,则数列｛〃斯｝

的前n项和为()

A.-3+(/7+1)x2"B.3+(〃+1)x2”

C.1+(〃+1)x2"D.1+(〃-1)x2"

5.(2022・全国・高三专题练习)化简5.=〃+(〃-1)*2+(〃-2»22+—+2、2"2+2"-1的结果是()

A.2'向+〃一2B.2向一〃+2

C.2"-n-2D.2n+1-«-2

6.（2022•全国•高三专题练习）根据预测，某地第〃（〃€乂*）个月共享单车的投放量和损失量分别为耳和

5/t4+151<«<3

"（单位：辆）,其中7。〃+47匣“'”…，则该地第4个月底的共享单车的保有量为（）

A.421B.451C.439D.935

二、填空题

7.（2022・上海•高三专题练习）已知数列｛/｝满足必+321+33%+…+3"a"=〃（〃eN,）,则数列

]

>的前〃项和S“为

log3a„-log3an+1

8.（2022.江苏.高三专题练习）已知数列a｝的通项公式为=sin?彳，nwN*,其前〃项和为邑，则52侬=

9.（2022・上海•高三专题练习）设数歹!!｛6｝有?Tog（“+i）2006,则一+—+_+」一=.

a\a2“2005

三、解答题

2

10.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛斯｝的前〃项和为S”,0=5,nSn+i-（n+1）Sn=n+n.

（1）求证：数列｛1｝为等差数列；

n

（2）令bn=2an,求数列｛仇｝的前〃项和Tn.

11.（2022•河北•高三专题练习）己知数列｛q｝的前"项和为S",且Se=S“+a,,+l,.请在①

4+%=13；②成等比数列；③兀=65,这三个条件中任选一个补充在上而题干中，并解答下面

问题.

（1）求数列｛。,,｝的通项公式；

（2）求数列｛墨｝的前〃项和却

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

12.（2022♦全国•高三专题练习）有一正项等比数列｛〃“｝的公比为％前〃项和为S“满足〃2〃4=64,S3=14.

设瓦=k）g2a“V）.

（1）求s,s的值，并求出数列｛小｝的通项公式；

（2）判断数列｛与｝是否为等差数列，并说明理由；

（3）记I=］一,求数列｛6｝的前n项和T,,.

13.（2022・全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足24+5的+8〃3+―+（3〃-1）4,=小詈.

（1）求数列｛。,,｝的通项公式；

（2）设"=2所忸+君；2），求数列帆｝的前〃项和4.

14.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝的前“项和为且满足2a,=$,+"（"€毛’）.

（1）求证：数列他”+1｝是等比数列；

⑵记+］）］-,求数列口的前〃项和小

15.（2022・全国•高三专题练习）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且满足2%-S“=1（W€N*）.

（1）求数列｛4｝的通项公式：

（2）设〃=（._麓，_］）,数列出｝的前”项和为7,，求证：|<7；,<1.

16.（2022•全国•高三专题练习）在①5“=24-2；②2%=4+4-4；③S,,邑+2,。成等差数列这三个

条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：数列｛。“｝是各项均为正数的等比数列，前“项和为

SntCl\=2,且___.

（1）求数列｛小｝的通项公式；

T

右'〃m-1+〃“一1（nwN*）,求数列｛6｝的前夕项和A.

17.（2022.全国.高三专题练习）设数列｛叫的前〃项和为S.,已知6=2且数列是以为公差的

等差数列.

（1）求数列｛见｝的通项公式；

2u

（2）设数列他,｝的前〃项和为7；,求证：Tn<n+^-.

12

18.（2022•全国•高三专题练习）已知等比数列｛4｝的前〃项和为S“，％=1,S,M+2S,I=3S“（"*2）.

（1）求数列｛。,,｝的通项公式：

（2）令2=襄~,求数列也,｝的前〃项和7；.

19.（2022・全国•高三专题练习）设等比数列｛a“｝的前〃项和为S“，已知邑=4q,且《+2,2%,%成等

差数列.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设数列｛，｝满足d=,求数列低｝的前〃项和7；.

20.（2022•浙江•高三专题练习）已知数列｛叫，色｝,满足勺=2"2,3T=4（keN）blk_x,砥,

%“成等差数列.

（1）证明：｛伪』是等比数列；

,、〃+2,、

（2）数列｛q｝满足c„=.（〃+［）（aJ，记数列｛c“｝的前n项和为S”，求5“•

21.（2022•全国•高三专题练习）在正项数列｛可｝中，4=1,…，且况乜=&士」（〃之2）.

%an+\。〃

（1）求｛叫的通项公式；

（2）求数列，一--1的前”项和S,.

IA+%J

22.（2022・全国•高三专题练习）设等差数列｛4｝的前八项和为S“，数列｛〃,｝为正项等比数列，其满足

q=4=2,S4=a5+b3,%+4=8.

（1）求数列｛q｝和色｝的通项公式：

（2）若,求数列｛q｝的前〃项和

在①%=」一+",,②c“=a”b”,③—这三个条件中任一个补充在第（2）问中；并对其求

解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

23.（2022•全国•高三专题练习）已知等差数列｛q｝满足公差d＞（）,前n项的和为S“，53=2a4,卬，%+2,

24成等比数列.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）若.二（二1）“（2〃+5）,求数列出｝的前100项的和7；0G.

—

+l

24.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足4=2,an+l=2an+2".

（1）证明：数列｛畀为等差数列；

a111c

（2）设4=才，证明:京+5+…+炉＜2.

25.（2021・全国•高三专题练习）设｛斯｝是等差数列，（"GM）；｛〃｝是等比数列，公比大于0,其前〃项

和为Sn（n用N*）.已知&=1,A=为+2,b5=a3+a5,67=04+206.

(1)求S“与a”；

(2)若.=同,求数列｛"｝的前”项和7；.

26.(2021•全国全国•模拟预测)已知数列｛%｝满足。“+%+2=2。,用，且4=1,as+a7=22.

(1)求数列｛〃,,｝的通项公式；

(2)记在区间(3"',3加")(〃?€*)上，｛4｝的项数为小求数列也“｝的前〃?项和.

27.(2021•海南二中高三阶段练习)递增等差数列｛%｝中，4%=T6,%+4=。.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛2"4+4｝前〃项和5“

28.(2021•河南♦高三阶段练习(文))已知-3,1,3,5中的3个数为等差数列｛6｝的前3项，且99不

在数列｛4,｝中，101在数列｛%｝中.

(1)求数列｛a,,｝的通项M；

(2)设包="」匚，求数列｛瓦｝的前”项和S”.

an+\an+2

29.（2021•全国•高三专题练习）设数列也,｝是公差大于零的等差数列，已知q=3,婿=a4+24.

（1）求数列的通项公式；

⑵设数列间满足海产”线鬻,求…+―

[cosa”;r（〃为偶数）

30.（2021・全国•高三专题练习（文））已知数列｛q｝中，％=2,a„tl=2a„.

（1）求％;

（2）若＞=〃+外,求数列优｝的前5项的和卜

第17讲数列求和

【知识点总结】

求数列前”项和的常见方法如下：

(1)公式法：对于等差、等比数列，直接利用前”项和公式.

(2)错位相减法：数列的通项公式为可也或%的形式，其中｛《,｝为等差数列，｛»｝为等比数列.

b“

(3)分组求和法：数列的通项公式为4+”的形式，其中｛“"｝和｛2｝满足不同的求和公式.常见于｛4｝

为等差数列，｛2｝为等比数列或者｛凡｝与｛"｝分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律.

(4)裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.

(5)倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和.

【典型例题】

例1.(2022•全国•高三专题练习)数列｛4｝的通项公式%=+，它的前”项和S“=9,则"=()

A.9B.10C.99D.100

【答案】C

【详解】

数列｛%｝的通项公式=Vrt+l-y/n则

Sn+---+l+l-1=9.解得〃=99.

故选：C.

例2.(2022•全国•高三专题练习)在公差大于。的等差数列｛q｝中，2%-q=1，且4，«3-1，&+5

成等比数列，则数列｛(-1)"'%｝的前21项和为()

A.12B.21C.IID.31

【答案】B

【详解】

由题意，公差”大于0的等差数列｛4｝中，2%-《3=1，

可得2q+12d—(q+1)=1,即q=1,

由q,a,-l,4+5成等比数列，可得(色—叶=《(%+5),

即为(1+24-1)2=1+54+5,解得"=2或d=-j(舍去)，

所以数列㈤｝的通项公式4=l+2(〃—l)=2wT〃eN+,

所以数列｛(-1广'的前21项和为：

S)]=4-火+%一/+・,•+%g-+〃2=(1―3)+(5-7)+・・・+(37-39)+41

=-2x10+41=21.

故选：B.

例3.(2022•全国•高三专题练习)已知数列｛小｝满足：an+\=an-an.\(n>2,nWW),a\=\,«2=2,S〃为数

列｛为｝的前n项和，则52021=()

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【详解】

•.•斯+1dl=l,42=2,a3=1,674=-1,6Z5=-2,676=-1,47=1,。8=2,

故数列｛外｝是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0,

故52021=336乂0+。2017+42018+・・・+12021=〃1+42+〃3+〃4+〃5=1+2+1+(-1)+(-2)=1.

故选：C.

,、111

例4.(2022•全国高三专题练习)已知等差数列｛《,｝的前〃项和为S,,,%=3』=10,则3+?+…+7=

J]d2，

【答案】3

【详解】

解：设公差为4,因为“3=3,54=10,所以匕‘解得所以4=〃，所以s=出②

\4a,+6J=10\a=12

例5.(2021•全国•高三专题练习)已知数列｛%｝的前"项和S"=2"2_45eM),函数例x)对一切实数x

总有〃x)+/(I-x)=1,数列也,｝满足b„=/(0)+f(-)+/(-)+..•+/(-)+/⑴.分别求数列｛6｝、｛2｝的

nnn

通项公式.

【详解】

当〃=1,4=S[=21*2—4=4

当〃22,a,,=S„-5„_,=（2"+2-4）-（2"+,-4）=2"+|

”=1时满足上式，故«„=2"+,（ne/V-）；

♦/（x）+C（I）=l.,.《）+/（?）=]

•・・々=〃0）+《J+僧+…+《争+/⑴①

.•.々=〃i）+f（F）+f（泪+…+/（1）+/（0）②

,7+1

.•.①+②，得2b“=〃+l.•也=

例6.（2022・全国•高三专题练习）已知｛%｝为等差数列，论,｝为等比数列，且满足

4=1,4=2吗=4（%一%）也=4他一8）.

（1）求｛4｝和｛2｝的通项公式；

（2）对任意的正整数〃，设g=。也，求数列｛%｝的前〃项和S”.

【详解】

（1）设等差数列｛q｝的公差为止等比数列｛2｝的公比为（?,

由4=1,%=4（6-42），则l+3d=4d,可得"=1,所以4,=1+〃一1=",

因为a=2也=4（4―么），所以2/=4（2/-2g）,整理得0-2）2=0,解得q=2,

所以〃,=2X2"T=2"；

(2)c„=n-2",

S„=1X2+2X22+3X23+L+n-2",25„=1X22+2X23+3X24+L+n-2"+l,

两式相减，得

2(1-2")

-S=1X2+22+23+24+L+2"-n-2"+l----^-n-2"+1=(l-n)-2,,+l-2

"1-2

所以S,,=("l)x2"“+2.

例7.（2022・全国•高三专题练习）数列｛a“｝的前"项和为S〃，«.=1,a„+l=2S„+l.

（1）求%,s“；

（2）设"=裳-，数列也,｝的前〃项和为，.证明：Tn<\.

【详解】

⑴-：an^=25„+1

=2s_“1+1(〃>2)

①一②得:

%=3”“522)

令〃=1时,

%=2q+1=3=3q满足上式

•・•数列｛%｝是为为首项，3为公比的等比数列.

a„=ax-q'''=y-'

q(iw)1-3"3"-1

S.

i-q1-32

（2）证明：由①得：。“=3T5'='1

4・3°T2

；也=SB,”一(3"-1)(3e-1)一313"-13,,+|-1

:.Tn=b,+b2+---+bn

2MJ」111

3l2-8+8-26+'+3"-l-3,,+l-l

12

~3~3"+2-3

：.T<-

"n3

又・・・7;为递增数列

4.3°1

"7'=(3-1)(9-1)=4

.•.-<?；<-

4"3

例8.(2021,福建・永安市第三中学高中校高三期中)己知数列｛%｝是前〃项和为5,=2"”-2

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)令d=a“+log2a“，求数列｛"｝的前〃项和7“.

【详解】

(1)V5„=2n+'-2

当〃22时，an=S„-S„_,=2"-2-(2"-2)=2"

当〃=1时，q=2满足上式，

所以数列｛〃〃｝的通项公式为例=2”.

(2)由(1)得,4=2"+log2(2")=2"+〃,

则/=(2+1)+(22+2)+(23+3)+.・・+(2"+〃)

=(2+2~+2,+•••+2〃)+(1+2+3+…+〃)

2(1—2”)〃(1+几)

=------------1-----------

1-22

【技能提升训练】

一、单选题

1.(2021・全国•高三专题练习(文))已知函数〃x)=(x-l)3+l,利用课本中推导等差数列的前"项和

的公式的方法，可求得〃-5)+/(T)+…+/(0)+…+〃6)+〃7)().

A.25B.26C.13D.—

2

【答案】C

【分析】

先根据已知条件求出/(x)+/(2-x)=2,再利用倒序相加法求和即可.

【详解】

解：=

:.f(2-x)=[(2-x)-l]?+l=(l-x)3+l,

BP/(X)+/(2-X)=2,

设，=/(—5)+〃T)+/(—3)+…+〃0)+…+〃6)+〃7),①

则f=/■⑺+/⑹+〃5)+…+/(0)+…+/(T)+〃—5),②

则①+②得：2r=/(-5)+/(7)+/(^)+/(6)+-+/(7)+/(-5)=2xl3=26,

故£=13.

故选：C.

2.(2022•全国•高三专题练习)己知函数y=/(x)满足/。)+/(1-幻=1,若数列｛%｝满足

4="。)+/(£)+/月+…+/(汩+/M则数列｛4｝的前20项和为()

A.100B.105C.110D.115

【答案】D

【分析】

根据函数y=f(x)满足/(x)+/(l-幻=1,利用倒序相加法求出耳，再求前20项和.

【详解】

因为函数y=/(x)满足“x)+/(i-x)=i,

4,=八0)+巾)+/电+……+/(筌|+削①，

••.可=阿+/呼)+/(一卜……+《卜/(0)②，

由①+②可得勿〃=〃+1,an=---,

(2o+n

所以数列｛4｝是首项为1,公差为■的等差数列，其前20项和为戈二=][5，

2-,

故选：D.

【点睛】

本题上要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题.

3.(2020•全国•高三专题练习)己知函数/(x)=x+sin;rx—3,则

4033

的值为

2017

A.4033B.-4033

C.8066D.-8066

【答案】D

【详解】

试题分析：/(x)+/(2-x)=x+sin^x-3+2-x+sin(2^--^x)-3=-4,所以原式=(-4>^^=-8066.

考点：函数求值，倒序求和法.

【思路点晴】本题主要考查函数求值与倒序相加法.注意到原式中第一个自变量加上最后一个自变量的

值为2,依此类推，第二个自变量加上倒数第二个自变量的值也是2,故考虑/(力+/(2-力是不是定值.

通过算，可以得到，(x)+/(2—x)=T,每两个数的和是其中〃l)+〃l)=TJ(l)=—2,所以原式等

价于4033个-2即-8066.

4.(2021・全国•高三专题练习(文))已知等比数列｛3｝的前“项和为S”若S3=7,&=63,则数列｛〃跖｝

的前n项和为()

A.-3+(〃+1)x2"B.3+(〃+1)x2”

C.1+(〃+1)x2"D.1+(”-1)x2”

【答案】D

【分析】

利用已知条件列出方程组求解即可得4,4,求出数列｛小｝的通项公式，再利用错位相减法求和即可.

【详解】

设等比数列(3｝的公比为g,易知#1,

“1-7)

53=4~~1=7

1一q

所以由题设得，

4(1-力

S一-=63

i-q

两式相除得1+/=9,解得q=2,

进而可得41=1，

nln

所以an=a\q-=2-',

所以〃““=〃X2"T.

设数例」｛〃m｝的前〃项和为7；,

1

则Tn=1x20+2x2+3x2^...+/ix2«-',

24=1x21+2x22+3x23+…+”x2",

1-2"

两式作差得-A=1+2+22+…+2"-L〃X2"=二--〃x2"=-1+(1-〃)x2",

1-2

故T„=l+(n-l)x2".

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题.

5.(2022・全国•高三专题练习)化简5“=〃+5-1)*2+(〃-2»22+—+2、2"2+2"-1的结果是()

A.2"+'+n-2B.2"+'-n+2

C.2"-n-2D.2n+'-w-2

【答案】D

【分析】

用错位相减法求和.

【详解】

S“=〃+(〃-1)X2+(“-2)X22+…+2X2"-2+2"T,(1)

2S“=〃x2+(”-1)x22+("-2)x23+...+2x2"i+2”,(2)

(2)-(1)得：

S„=-n+2+22+---+2"-'+2n=-n+2(l~2)=-/7+2"+l-2=2"t'-n-2.

"1-2

故选：D.

6.(2022・全国•高三专题练习)根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为%和

5/+151<«<3

”(单位：辆)，其中s7-Jd=〃+5,则该地第4个月底的共享单车的保有量为()

-10/?+470,n>4

A.421B.451C.439D.935

【答案】D

【分析】

根据题意求出前四个月的共享单车投放量，减去前四个月的损失量，即为第四个月底的共享单车的保

有量.

【详解】

由题意可得该地第4个月底的共享单车的保有量为

(4+/+%+4)-(4+匕2+4+a)

=(20+95+420+430)-(6+7+8+9)

=965-30

=935

故选：D.

二、填空题

7.(2022・上海•高三专题练习)已知数列｛/｝满足％+3%+33。3+…+3&=〃(〃eN*),则数列

]-------\------的前n项和S„为______.

[log3t7„.log3a„+lJ

【答案】

【分析】

2

由3q+3a2+33a3+…+3"。“=〃(”eN*)与3q+32%+33%+…+a„.｝=n-\两式相减，得出为=",

进而得出,；------\----------1的通项公式，再由裂项相消法求和即可.

[log3«„-log3a„+1J

【详解】

当—>2时,由+3~d+3，%+•••+3〃a“=eN),得3al+3~4+3%3+…+3"।=n—1,

两式相减，得q="，又4=g，适合，所以

故答案为：S=----

nn+\

2

8.(2022・江苏•高三专题练习)已知数列｛a,,｝的通项公式4=sineN”,其前〃项和为S“，则S2()2()=

【答案】1010

【分析】

计算前4项，结合周期得出§202。.

【详解】

1〃兀T2几A

1-COS——1k11=—=4

21WT1,周期un71

a=--------一一cos—+-

〃22222

.2万1.、_兀，.o37r1.2八

4=s\n~—=—,a2=sin—=l,a3=s\n~~=—,a4=sirr万二0

52O2o=54x5O5-505^+l+1+0p0l0

故答案为：1010

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键在于推理得出数列｛。,J是周期数列，再由周期性得出$2020.

9.(2022・上海.高三专题练习)设数列｛4｝有4=1。&川)2006,则一+—+…+——=.

aa

\2“2005

【答案】log2M62006!

【分析】

根据对数性质化简计算即可.

【详解】

a„=1。&向,2006—=-----—=log(n+1)

41。&,旬20062006

所以‘+'+…+~~~=l°gzoos2+Iog20063+---+log20062006

a

42。2005

=l°g2006(2x3x…x2006)=log20062006!

故答案为：Iog2oo62006!

【点睛】

本题考查利用对数性质进行化简，考查基本分析化简能力，属基础题.

三、解答题

10.(2022•全国•高三专题练习)已知数列｛为｝的前〃项和为S”0=5,，S+1-(n+1)S,产层+〃.

(1)求证：数列为等差数列；

(2)令bn=2"a„,求数列｛瓦｝的前n项和T,,.

【答案】(1)证明见解析；(2)T“=(2«+1)2"+|-2.

【分析】

(1)利用等差数列的定义证明即可.

(2)利用错位相减法即可求解.

【详解】

(1)证明：由〃S“+i-(〃+1)SA=〃+〃得一四;--=1>又*~=5,

n+\n1

所以数列是首项为5,公差为1的等差数列.

(2)由(1)可知&~=5+(止1)=〃+4,所以S尸层+4几

n

22

当〃N2时，an=Sn-Sn-1=n+4n-(n-1)-4(〃-1)=2/7+3.

又0=5也符合上式，所以〃产2〃+3(〃£"),

所以瓦=(2〃+3)2”,

所以4=5x2+7x22+9x23+…+⑵+3)2〃，①

2r,,=5x22+7x23+9x24+...+(2〃+1)2〃+(2〃+3)-2,,+1,②

所以②•①得

w+,

Tn=(2,1+3)2-10-(23+24+…+2用)

=(2〃+3)2用-10-2'(1-2"|)

1-2

=(2〃+3)2«+,-10-(2"+2-8)

=(2/7+1)2n+l-2.

11.(2022・河北•高三专题练习)己知数列｛4“｝的前”项和为5“，且S“M=S“+4+1,.请在①

“+%=13；②卬4，%;成等比数列；③品＞=65,这三个条件中任选一个补充在上而题干中，并解答下面

问题.

(1)求数列｛a,,｝的通项公式；

(2)求数列仔)的前“项和I.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

〃+3

【答案】(1)答案见解析；(2)4=3-夕.

【分析】

根据S.与an的关系可得｛a,,｝为等差数列，

(1)选①，利用等差数列的通项公式基本量的计算即可求解；选②，利用等比中项以及等差数列的通

项公式即可求解；选③，利用等差数列的前"项和公式即可求解.

(2)利用错位相减法即可求解.

【详解】

因为5m=S“+4+l,所以S向-S“=a“+1,即1=4+1,

所以数列｛%｝是首项为％,公差为1的等差数列，其公差d=l.

(1)选①.

由〃4+%=13,得q+3d+q+6d=13,即2q=13-9d,

所以2q=13-9x1=4,解得q=2.

所以。〃=ax+(〃—l)d=2+(n-l)x1=n+\,

即数列｛4｝的通项公式为4="+1.

选②.

由4，4，ai，成等比数列，得(q+2d)2=q((7,+6d),

则+4qd+4d2+6々/，所以q=2,

所以=4+(〃-l)d=2+(/2—l)xl=A2+l.

选③.

10x9

因为E0=1+号一xd=1Oq+45d,

所以104+45x1=65,所以4=2,

所以=a\=2+(〃-l)xl=〃+l.

⑵由题可知圻*,所以(=|+捻+摄+—+竽,

所以;q=最+5+假+…+/+黑",

两式相减，得=1+*+/+上■+…

J2+2L(U22422+3…+

i-X

1IH+13〃+3

=—+—X2"

221--

2

所以刀,=3-展.

12.(2022・全国•高三专题练习)有一正项等比数列｛飙｝的公比为g,前〃项和为S”满足"2四=64,S3=14.

设bn=10g2斯(”6N*).

(1)求0,S的值，并求出数列｛小｝的通项公式；

(2)判断数列｛d｝是否为等差数列，并说明理由；

(3)记，,=/,求数列｛的｝的前〃项和7k

。典+1

【答案】(1)0=2,42=4,a„=2x2«-'=2«(«eV)；(2)｛瓦｝是以1为首项，1为公差的等差数列,理由

见解析；(3)T„=—.

〃+1

【分析】

(1)利用等比中项以及等比数列的通项公式即可求解.

(2)利用等差数列的定义即可证明.

(3)利用裂项求和法即可求解.

【详解】

(1)由〃2〃4=64,得a；=64.又*.*斯＞0,/.“3=8.

;S3=aI+。2+〃3，/.«i+42+8=14,，〃।+。同二6，

8.

即m(1+q)=6,,•/(1+夕)=6,BP3^2-4^-4=0»

2

解得1=2或行下(舍去).

/.t/i=2,«2=4,〃〃=2x2""=2".

（2）数列｛为｝为等差数列,理由如下:

/,

由（1）知斯=23/./?/j=log2«/?=log22=n,

••bn+1=〃+1i••bn+1~bn=1..又b]—1>

・・・｛瓦｝是以1为首项，1为公差的等差数歹Ij.

1111

（3）由（2）口]■知，bn=n,/.c=——=—7—==----~7

wb也用〃（几+1）nn+1,

n

〃+1

13.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛/｝满足24+5%+86+…+（3〃-1）凡=当由.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

（2）设％=2（"忸+丽3〃石,求数列｛"｝的前〃项和7；.

i14

【答案】⑴7⑵1,=2向-五*-万

【分析】

（1）由2al+54+&4+…+（3九_1）。〃=九（九+1）,可得当〃之2时，

24+54+8%+-+（3〃-4）1=也二0,两式相减化简可得（〃22）,再验证是否满足,

23/2—12

（2）由（1）得然后利用分组求和和裂项相消求和法求「

【详解】

解：（1）数列｛为｝满足24+54+8%+…+（3”-1”"=叫少①

''1〃22时，2q+54++84+…+（3"-4"“_]=——,②

八-/、n（n+\]n（n—]]

①一②，得：（3〃-1"〃=—~-——\~-=n,

故见=舟（〃叫；

当〃=1时，解得q=；,首项符合通项,

n

3"-1

3ali

由（1）得：b,=2^+-

（3n+2）

311

=2"+-----------r=2"+

（3〃-1）（3〃+2）3〃-13〃+2

所以7；=(2i+22+…+2")+(g

―《+厂1+…+3/?-l3n+2

2x(21)J

2-123〃+2

3

3〃+22

14.(2022.全国♦高三专题练习)已知数列｛为｝的前〃项和为S“,且满足2a“=S“+〃(〃eN,).

(1)求证：数列区+1｝是等比数列；

⑵记%g式-+1),求数列匕，｝的前〃项和小

32n3

【答案】(1)证明见解析；(2)---~——T7.

42("+1)(〃+2)

【分析】

(1)先求出q=1,然后当"..2时，4“=S,-S,I化简可得4,=2q_1+1,两边加1可得4+1=求％+1),

从而可证得数列｛《,+1｝是等比数列；

⑵由⑴得%+1=2",则可得勃==(5)1二+广五->)，然后利用裂项相消求和法

可求得(

【详解】

(1)证明：由2q,=S“+"(neN*),

可得2q=S|+1=4+1,解得q=l,

”..2时,q,=S“-511T=2a„-n-2a„_t+n-\,

可得q=2%+1,

则为+1=2(%+1),

所以数列,+1｝是