对数与对数运算

对数与对数运算第一页，共三十五页，编辑于2023年，星期日1．问题的提出：截止到1999年底，我们人口约13亿，如果今后能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过x年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

引入这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式中，已知a

和N,求b的问题。（这里a>0且a≠1

）问：哪一年的人口数可达到18亿，20亿？第二页，共三十五页，编辑于2023年，星期日

一般地，如果，那么数x

叫做以a为底N的对数，记作其中a叫做对数的底数，N叫做真数。对数新课教学第三页，共三十五页，编辑于2023年，星期日常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,N的常用对数简记作.自然对数：

在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。并且把简记作。新课教学第四页，共三十五页，编辑于2023年，星期日例如：

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a＞0，a≠1时，新课教学第五页，共三十五页，编辑于2023年，星期日1.是不是所有的实数都有对数？logaN＝x中的N可以取哪些值？负数与零没有对数，即：N>02.根据对数的定义以及对数与指数的关系，loga1＝?logaa＝?loga1＝0，logaa＝1

在ax＝N

中,x=logaN，则有3.对数恒等式(a＞0,a≠1)思考与探究第六页，共三十五页，编辑于2023年，星期日例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)解：范例第七页，共三十五页，编辑于2023年，星期日例2.求下列各式中x的值：

(1)(2)(3)(4)解：(1)因为所以(2)因为所以(3)因为所以于是(4)因为所以于是范例第八页，共三十五页，编辑于2023年，星期日思考：概念巩固第九页，共三十五页，编辑于2023年，星期日求log(1－2x)(3x＋2)中的x的取值范围．练习：第十页，共三十五页，编辑于2023年，星期日问题提出：对数源于指数，对数和指数式怎样互化的？指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，指数运算有一系列性质，那么对数运算有那些性质呢？第十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期日知识探究（一）：积与商的对数思考1:求下列三个对数的值：，，.你能发现这三个对数之间有哪些内在联系？思考2:将推广到一般情形有什么结论?思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，你能证明等式成立吗？思考4:若a＞0，且a≠1，均大于0，则

第十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期日(1)设由对数的定义可以得：∴MN=即证得证明：新课教学第十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期日(2)设由对数的定义可以得：即证得∴证明：新课教学第十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期日知识探究（二）:幂的对数思考1:和有什么关系?推广到一般情形呢?思考2:如果a>0，且a≠1，M>0，你有什么方法证明等式成立．思考3:

对任意实数恒成立吗？思考4:如果a>0，且a≠1，M>0，则等于什么？第十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期日(3)设由对数的定义可以得：∴即证得证明：新课教学第十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期日积、商、幂的对数运算法则：如果a>0，a1，M>0，N>0

有：上述证明是运用转化的思想：（1）先通过假设，将对数式化成指数式，（2）利用幂的运算性质进行恒等变形；（3）再根据对数定义将指数式化成对数式。（4）归纳小结：第十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期日上述关于对数运算的三个基本性质如何用文字语言描述？两数积的对数,等于各数的对数的和；两数商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数；幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．第十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期日其他重要公式2:由对数的定义可以得：证明：设即证得这个公式叫做换底公式新课教学第十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期日其他重要公式3:证明:由换底公式取以b为底的对数得：还可以变形,得新课教学第二十页，共三十五页，编辑于2023年，星期日(1)(2)解：例3.用表示下列各式：范例第二十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期日例4.计算：

（1）（2）（3）范例第二十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期日=5+14=19解：(1)(2)（1）（2）范例第二十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期日=3解：(3)（3）范例第二十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期日讲解范例例5计算：解法一：解法二：第二十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期日例5计算：讲解范例

解：

第二十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期日1.求下列各式的值：（4）（2）（3）（1）课堂练习第二十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式：（2）（1）＝lgｘ＋２lgｙ－lgｚ；＝lgｘ＋lgｙ＋lgｚ；（3）＝lgｘ＋３lgｙ－lgｚ；（4）（2）课堂练习第二十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期日课堂小结

(1)对数的概念：对数、底数、真数；

常用对数；

自然对数。

(2)对数的运算：积、商、幂的对数运算法则；

3个重要公式。第二十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期日

1999底我国人口为13亿,人口增长的年平均增长率为1%,则x年后，我国的人口数为；若问多少年后我国的人口达到18亿，即解方程，则而如果计算器只能求10,e为底的对数，那该怎么办？方法：进行换底，把底换成以10，或者换成以e为底．或者引入的问题第三十页，共三十五页，编辑于2023年，星期日例520世纪30年代,里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为

M=lgA-lgA0

其中，A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的振级(精确到0.1)(2)5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍?对数的应用第三十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期日解：(1)因此，这是一次约为里氏4.3级的地震。第三十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期日(2)由M=lgA-lgA0可得当M=7.6时，地震的最大振幅为当M=5时，地震的最大振幅为所以，两次地震的最大振幅之比是答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅是398倍.第三十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期日例6科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14,碳14的衰变极有规律,其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.动植物在生长过程中衰变的碳14,可以通过与大气的相互作用得到补充,所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物,停止了与外界环境的相互作用,机体中原有的碳14按确定的规律衰减,我们已经知道其“半衰期”为5730年.

湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.