2021年湖南省长沙市宗一学校高三数学理下学期期末试题含解析

2021年湖南省长沙市宗一学校高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x年，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．参考答案：D考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：依题意，可得到绿化面积与原绿化面积之比的解析式，利用函数的性质即可得到答案．解答：解：设某地区起始年的绿化面积为a，∵该地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，∴经过x年，绿化面积g（x）=a（1+10.4%）x，∵绿化面积与原绿化面积之比为y，则y=f（x）==（1+10.4%）x=1.104x，∵y=1.104x为底数大于1的指数函数，故可排除A，当x=0时，y=1，可排除B、C；故选D．点评：本题考查函数的图象，着重考查指数函数的性质，考查理解与识图能力，属于中档题．2.已知{an}为等差数列，且a1+a3+a5+a7=6，则a2+a4+a6等于

(

)A．

B．3 C．

D．6参考答案：答案：C3.当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的最值及其几何意义；三角函数的化简求值．【分析】利用辅助角公式（和差角公式），可得y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），进而可得函数取最大值时，x的值．【解答】解：函数y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∵0≤x＜2π，∴当x﹣=，即x=时，函数取最大值，故选：B4.已知函数，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.若

的夹角为，则(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是减函数,则

（

）

A.

B.C.

D.参考答案：A略7.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x与相应的生产能耗y的几组对应数据：

x4235y49m3954

根据上表可得回归方程，那么表中m的值为A．27．9 B．25．5 C．26．9 D．26参考答案：D8.设集合，则

(

)A．｛1，3｝

B．｛2，4｝

C．｛1，2，3，5｝

D．｛2，5｝参考答案：A略9.已知集合，集合，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】集合及其运算A1B由=,则【思路点拨】先求出集合B再求出交集。10.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是(

) A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形，高为2的四棱锥，求出它的体积即可．解答： 解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的四棱锥P﹣ABCD，且底面为直角梯形ABCD，高为2；∴该四棱锥的体积为V四棱锥=××（2+4）×2×2=4．故选：D．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为

．参考答案：4【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出的b的值为31，确定跳出循环的a值，从而确定判断框的条件．【解答】解：由程序框图知：第一次循环b=2+1=3，a=2；第二次循环b=2×3+1=7，a=3；第三次循环b=2×7+1=15，a=4；第四次循环b=2×15+1=31，a=5．∵输出的b的值为31，∴跳出循环的a值为5，∴判断框内的条件是a≤4，故答案为：4．12.在中，是边中点，角，，的对边分别是，，，若，则的形状为

。参考答案：等边三角形13.我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是:如果两等高的几何体在同高处截得的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数取上的任意值时，直线被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为

．参考答案：

14.如图，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为__________．参考答案：解：设，∵为中点，，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，∴是三棱锥的高，，∴，，在中，，，∴，，∴．，当且仅当时取等号，∴三棱锥体积的最大值为．故答案为．15.设x，y满足约束条件，向量，且a∥b，则m的最小值为_______________．参考答案：-6略16.函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”，下列函数中存在“倍值区间”的函数有________（填序号）.①；

②；③；

④参考答案：①③④考点：新定义，命题真假判断．【名师点睛】本题考查新定义问题，对新概念“倍值区间”的理解与转化是解题的关键．对新概念的两个条件中单调性比较容易处理，因此在考虑问题时先研究单调性，然后在单调区间内再考虑区间，“倍值区间”实质就是方程在单调区间内有两个不等的实根，特别是④，还要通过研究函数的单调性来确定其零点的存在性，这是零点不能直接求出时需采用的方法：证明存在性．17.已知中，分别是角的对边，，那么的面积________

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.十九大报告提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫工作.某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售.为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间[1500,3000]内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在[1750,2000)，[2000,2250)的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有蜜柚均以40元/千克收购；B.低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250的以80元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.参考答案：（1）由题得蜜柚质量在和的比例为，∴分别抽取2个和3个.记抽取质量在的蜜柚为，，质量在的蜜柚为，，，则从这个蜜柚中随机抽取个的情况共有以下10种：，，，，，，，，，，其中质量小于2000克的仅有这1种情况，故所求概率为.（2）方案好，理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在的频率为，同理，蜜柚质量在，，，，的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，若按方案收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，于是总收益为（元），若按方案收购：∵蜜柚质量低于2250克的个数为，蜜柚质量低于2250克的个数为，∴收益为元，∴方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.

19.（本小题满分1４分）已知在R上单调递增，记△ABC的三内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且（1）求实数k的取值范围；（2）求角B的取值范围；（3）若不等式恒成立，求实数m的取值范围.参考答案：（1）恒成立（2）（3）略20.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AC为半圆D的直径，D为的中点，E为BC的中点．(I)求证：DE∥AB;(Ⅱ)求证：AC·BC=2AD·CD.参考答案：21.在等差数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn=n2．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若bn=，求数列{bn}中的最小项及取得最小项时n的值．参考答案：【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由Sn=n2，可得当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可得出an．（2）bn===，可得当n≤12时，数列{bn}单调递减；当n≥13时，数列{bn}单调递增．即可得出．【解答】解：（1）∵Sn=n2，∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．当n=1时，上式也成立．∴an=2n﹣1．（2）bn===，当n≤12时，数列{bn}单调递减；当n≥13时，数列{bn}单调递增．而b12==b13．∴当n=12或13时，数列{bn}取得最小项．【点评】本题考查了递推关系的应用、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2（n∈N*）．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=，试求{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】：数列递推式；数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）先由数列递推式求得首项，再取n=n﹣1得另一递推式，两式作差可得{an}是首项和公比都为2的等比数列，则其通项公式可求；（2）把数列{an}的通项公式代入bn=，整理后利用错位相