用数学眼光看世界中学数学建模分析研究

余数教育创新工作室

余继光（正高）

学会用数学眼光欣赏风景学会用数学眼光探索内核学会用数学眼光回归本原学会用数学眼光探究奥秘1．提升学生实践能力之需

为什么设置这门选修课程？2．学生数学高考应试之需3．学生未来就业素质之需第一章什么是数学眼光？—漫谈数学应用意识

这门选修课程学些什么？第二章如何建立起自己的数学眼光？—漫谈中学数学建模方法第三章怎样用数学眼光观察大千世界？—中学数学应用问题第四章学会用数学眼光探索问题数学规律—数学研究性学习课题与教学案例第五章用数学眼光探究高考数学应用题—新课程区高考数学应用题特点一是看好书如何学好这门选修课程？二要听好课三要学会思四要动手练数学眼光是指应用数学的思想和方法去寻求对科学事实和现实世界现象的认识和理解的过程，是指用数学的知识去解决生产乃至学习中的各种实际问题的过程，它包括数式的运算、推理、分析、选择、制表、绘图、估计、符号变换、优化方案等诸多方面。

第一章什么是数学眼光？古代的田忌赛马、韩信点兵、诸葛亮布阵等都是运用数学眼光解决实际问题的典型范例，现代的股票分析、贷款购房、商业决策以及生活中乘车路线的选择等也都离不开用数学眼光去解决它。数学眼光实际上是一种意识，一种手段，一种思想方法，一种综合能力，一种思维习惯。用数学眼光看世界的“世界”是指大千世界，即可以是周围环境下的人与事，也可以是通过新闻媒介所接收的信息世界，只要是人们能接触的一切环境或能探知的领域。

第一章什么是数学眼光？1．古代数学应用范例

第一节古今中外数学应用意识范例国际象棋发明者的数学应用意识曹冲称象的数学应用意识

第一节古今中外数学应用意识范例2．现代数学应用范例哥尼斯堡的七桥问题富兰克林的合理遗嘱

第一节古今中外数学应用意识范例3．身边数学应用范例最佳路线问题——我们校园内的故事

柯桥中学每周一都有一个升旗仪式，某班学生要从教学楼到操场集合，行走途径是：学生下楼梯后有两个出口，楼梯距甲出口5米，距乙出口30米，经过出口后，有三个入口（A、B、C门）通向操场，已知甲出口距A门120米，B门50米，C门40米，乙出口距A门200米，B门70米，C门20米，而三个门距班级所站位置距离分别为40米，30米，70米，如图，试问该班学生升旗仪式时有多少条路线可走？最佳路线为哪一条？最短路程有几米？学生选课问题——选修课选择中的故事

柯桥中学从2012年9月起开设的大量的选修课程，抽取一个班了解选课情况，选择拓展课，实践课和兴趣学课的学生分别有28位，29位和24位，一些学生至少参加一门课，如图所示，从中随机选一位学生，求该学生所选课门数至少两门的概率是多少?其中图中给出的数据是选择一门课和三门课的学生人数，你能解决这一问题吗？学生宿舍问题——室温控制中的数学故事某幢宿舍有5层高，各房间的室内温度由在底楼的控制室统一调控，一位施工师傅发现控制室内仪表指示的温度与室内的实际温度有差异而始终调整不好，后来查出原因，是因为从高层房间到控制室的距离很长，三相电的三根电线因转弯处折转不同，有长有短，而造成三根电线的电阻不同，结果仪表上就出现了偏差，那么如何来测量这三根电线的电阻呢？对数值比较问题——课堂上发生的数学故事2009年的一天，高一（9）班的数学课堂上，老师让学生判断log67与log76的大小，学生甲作出判断：log67＞log66=1，log76＜log77=1，老师说，你能判断logn（n+1）与log（n+1）n，n＞1，n∈N的大小吗？学生甲说，前面的一个数大，logn（n+1）＞lognn=1，log（n+1）n＜log（n+1）（n+1）=1，对数值比较问题——课堂上发生的数学故事老师你能判断loga（a+1）与log（a+1）a（a＞0，a≠1）的大小吗？学生甲说，还是前面的一个数大，因为loga（a+1）＞logaa=1，log（a+1）a＜log（a+1）（a+1）=1，不一会儿，学生乙提出置疑，你的比较对于a＞1成立，对于0＜a＜1未必成立，如log0.81.8与log1.80.8，

问题拓展类似地比较aa+1与（a+1）a（a＞0，a≠1）的大小

第一节古今中外数学应用意识范例4．国外数学应用范例麦当劳标记问题——标记制作中的数学故事

走在柯中校园处的大街上，华灯初上的晚上，麦当劳的标记十分醒目，那个大大的，富于艺术性的“m”，饱满而又圆润，形成现代都市里一道靓丽的风景线，读过二次函数的人也许会觉得这个标记眼熟，它似乎与二次函数的图象相似，一位有心人用数码相机摄下麦当劳的商标，在“照片编制器”中选取86个点的坐标，将这些点坐标输入计算机，利用计算机软件技术，很快求出这两个二次函数

第一节古今中外数学应用意识范例本节思考与动手实践问题柯桥中学的校标是一只类似”和平鸽”的图案,你能用上述类似方法建立一个函数关系去模拟这一图案吗？

第二节在观察思考中建立自己的应用意识1．在观察中培养自己的问题意识

第二节在观察思考中建立自己的应用意识2．在观察中培养自己的探究意识

第二节在观察思考中建立自己的应用意识3．在观察中养成提出问题的意识

第二节在观察思考中建立自己的应用意识4．在观察中提升自己的数学应用兴趣

第三节在实践中培养起数学应用意识1．从解数学应用题开始培养自己的应用意识

第二章如何建立起自己的数学眼光？第一节什么是中学数学建模方法？

第二章如何建立起自己的数学眼光？一、中学数学建模方法的一般步骤1．读懂问题整体理解局部理解分析关系领悟实质

第二章如何建立起自己的数学眼光？二、具体的中学数学建模方法1．关系分析法：

通过寻找问题中的关键词和关键量之间数量关系来建立问题的数学模型的方法．它需要具有一定的数量关系量化经验和常识，要善于寻找其中的关键词和关键的数量关系．例１．（水塔供水问题）某工厂有容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂生活和生产用水．已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量w（吨）与时间t（单位：小时，定义早上6时t=0）的函数关系为w=100，水塔进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量增加10吨，若某天水塔原有水100吨，在供水同时打开进水管．

（1）设进水量选用第n级，写出在t时刻水的存有量；

（2）问进水量选择第几级，既保证该厂用水（水塔中水不空）又不会使水溢出。数学模型：

∵存有量=进水量－用水量+原有量，

用水量=生活用水量+工业用水量=10t+100，

∴在第n级的进水量时，

t时刻水的存有量为y=10nt－10t－100+100（0＜t≤16，要使水塔中水不空不溢，则0＜y≤300，

问题转化为确定n，使0＜10nt－10t－100+100≤300，在0＜t≤16上恒成立．

第二章如何建立起自己的数学眼光？2、列表分析法

通过列表的方式探索问题的数学模型的方法．它在一张纵横交错的图表中将各种数量列在其中，这样直观地分析问题中各种量之间数量关系，便于建立数学模型．例2.（服装的降价幅度问题）某种服装原来以高于成本价的40%出售，根据市场调查，原价每降低1个百分点，月销售件数将增加10个百分点，为使月毛利润（月毛利润=月销售总额—月成本总额）比原来增加幅度不小于30%，问降价至多多少个百分点？读懂问题：从整体上看，这是一个服装销售过程中计算毛利润问题，涉及服装的成本价、原价、月销售件数、月销售总额、月成本总额、降价等概念，从局部来看，关键是处理好上述各量之间关系，选准基准量后，应分析降价前后服装销售毛利润。

第二章如何建立起自己的数学眼光？3、图象分析法通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法例３.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图2.1.3.1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2.1.3.2的抛物线段表示，

（1）写出图2.1.3.1表示市场售价与时间函数关系式P=f（t）；

写出图2.1.3.2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

第二章如何建立起自己的数学眼光？4．数据分析法

第二章如何建立起自己的数学眼光？第二节掌握中学数学建模方法要突破三关第一关事理关第二关文理关第三关数理关

第二章如何建立起自己的数学眼光？第三节中学数学建模的类型1.函数模型例4.分段函数问题——个人所得税“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的，（1）2006年1月1日前，月总收入不超过800元的，免征个人工资、薪金所得税，超过800元部分需征税，设全月应纳税所得额为x，x=全月总收入－800元，税率见下表级数全月应纳税所得额税率1不超过500元部分5%2超过500元而不超过2000元部分10%3超过2000元而不超过5000元部分15%4超过5000元而不超过20000元部分20%5超过20000元而不超过40000元部分25%6超过40000元而不超过60000元部分30%7超过60000元而不超过80000元部分35%8超过80000元而不超过100000元部分40%9超过100000元部分45%（1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示纳税额f（x）的计算公式；

（2）某人2000年12月份工资总收入为3000元，试计算此人12月份应缴纳个人所得税多少元？（2）2006年1月1日至2008年3月1日起征点为1600元，税率没有变化，（3）2008年3月1日至2011年9月1日起征点为2000元，税率没有变化，（4）2011年9月1日起起征点为3500元，个人所得税税率也发生了变化

国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的，月总收入不超过3500元的，免征个人工资、薪金所得税，超过3500元部分需征税，设全月应纳税所得额为x，x=全月总收入－3500元，

税率见下表级数全月应纳税所得额税率1不超过1500元部分3%2超过1500元而不超过4500元部分10%3超过4500元而不超过9000元部分20%4超过9000元而不超过35000元部分25%5超过35000元而不超过55000元部分30%6超过55000元而不超过80000元部分35%7超过80000元部分45%（3）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示1—7级纳税额f（x）的计算公式；

（4）某人2011年9月份工资总收入为5000元，按照新旧个人所得税计算方法，此人9月份缴纳个人所得税节省了多少？

（5）某人2012年1月份工资总收入为8000元，试计算此人1月份应缴纳个人所得税多少？

第二章如何建立起自己的数学眼光？2.数列模型

例5.德比的故事这是发生在德国的一个真实故事，一个9岁的孤儿德比为了寻找母亲，表达他对母亲的爱，他每帮助一个人，就请求他去帮助另外10个人，假设每个人都以这种方式将爱心传递下去，且被帮助的人不重复，总有一天自己的母亲也会成为被帮助的对象．如果德比每天帮助一个人，被帮助的人第二天去帮助另外10个人，而德国人有8220万人，（2）设被帮助的人的总和为Sn，试写出Sn的关系式；（3）最多第几天，德比母亲成为被帮助的对象？（1）列表建立这一问题的数学模型； 123n112131n1123n111+101+10+1021+10+102++10n-1211+10+102++10n-2311+10+102++10n-3n1（2）根据列表可知S1=1，S2=1+（1+10），S3=1+（1+10）+（1+10+103），…，Sn=Sn-1+1+10+102+…+10n-1，于是Sn=n+（n－1）10+…+2×10n-2+10n-1（3）Sn=n+（n－1）10+…+2×10n-2+10n-110Sn=10n+（n－1）102+…+2×10n-1+10n两式相减得－9Sn=n－（10+…+10n-2+10n-1）－10n

第二章如何建立起自己的数学眼光？3.不等式模型

第二章如何建立起自己的数学眼光？4.模型

第二章如何建立起自己的数学眼光？5.模型

第二章如何建立起自己的数学眼光？6.模型

第二章如何建立起自己的数学眼光？7.模型

第二章如何建立起自己的数学眼光？8.模型

第二章如何建立起自己的数学眼光？9.模型6．函数概念问题——报童卖报的故事问题

2011年10月15号，正值柯桥中学成立60周年之际，一位报童手持100份“柯中新报”在大街上叫卖，“卖报，卖报，一块五一份柯中新报”，试建立报童所卖报纸的份数（销售量）与所得款数（销售额）之间的函数关系．思考设报童对学生集体批量买报（10份起批）给予九折优惠，试建立报童一次所卖报纸的份数与报纸单价（销售价）之间的函数关系．探究报童在辛苦一天后，想要统计一下一天所卖报纸的份数，他除了可以数一下剩余报纸的份数外，还可以数一下钱，来计算一天的销售量．试建立报童卖报的销售额与销售量之间的函数关系，并探讨此函数与原函数的定义域与值域之间的关系以及函数图象之间的关系．例1．如果不考虑随机因素，报童从报社订购“钱江晚报”的价格是每份1元，销售价是每份1.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.20元的价格退回报社。在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报童从报社订购的份数必须相同，试问报童应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？7．函数模拟问题——小孔喷水的故事夏令营期间，一位同学所带的装满饮料的可口可乐瓶子底部突然被扎了一个小孔，瓶子里的液体喷射而出，形成一个水流，此时瓶子里的液体在不断地下降，面对这一现象，有同学提出一个问题，通过什么方法可以测算出小孔所流液体的水流速度？思考面对这一个问题，你能设计一个实验来模拟这一现象吗？实验器材一只截面周长为27.5cm塑料瓶，在接近底部的A处凿有一个面积为0.1平方厘米小孔，一个带有刻度的直尺，秒表等；在瓶上固定一个如图所示高度标尺．盖住小孔，并注水到瓶中，直到标尺顶部的B处；实验指导打开小孔，用秒表记下当水面下降到刻度9cm，8cm，…1cm，0cm时间，重复这一过程三次以上，并记录时间数据，然后计算平均时间．填写下表：8．分段函数问题——小班化引起的故事2009年是大学生就业最困难的一年，也是基础教育改革纲要修订的一年，面对师范生就业的困难情况，有人提出来一个基础教育小班化的建议，这样不仅可以提供更多的就业岗位，而且可以提供更加优质的教育环境．当班级人数从60人减少到x≥30人的过程中，投资的最优化问题摆在人们面前，由于学生人数的变化是一个整标变量，产生的是一个与数列有关问题或至少难以处理变量取整问题，于是想到学生的人均教室占有面积问题，身处教学三尺讲台，教室内拥挤的环境也是促使问题转向面积的一根导线，除了提升学生的生存环境的面积，增加更多的教师，一定会带来另一个问题，教师办公环境问题，为了节约资源，教师的办公室面积在减少．思考为了提供更加优质的教育，增加大学生就业岗位，某地区准备逐步实现小班化教育，将学生人均教室面积由1m2提升至xm2，x≤2，调整教师人均办公室面积为y=f（x）=如图，（1）确定a，b的值及函数f（x）值域；（2）实行小班化，对教室改造投资中，投资额P（万元）与x之间的关系是P=10f（x）+35lnx，探求教室改造投资的最大值；（3）实行小班化，对办公室改造的投资中，投资额Q（万元）与y之间的关系是Q=5y3－3cy2+180，c为正常数，探求办公室改造投资的最小值及相应c的范围．4x(m2)y(m2)O121.5310．分段函数问题——出租车计费的故事（1）北京出租车收费方式

1、每公里2元，基价为3公里，起价10元；

2、单程15公里以上的部分加收50%空驶费；

3、时速低于12公里/小时，每累计5分钟加收1公里费用；

4、等候乘客，每累计5分钟，加收1公里费用；

5、晚23时至早5时，每公里租价加收20%（此时起价11元）；

6、不同乘客合租，按合乘里程各收60%；

7、电话租车，每次加收3元电话租车费；

8、出北京市，由双方议定收费；

9、过路过桥费由乘客支付。

10、还有个燃油附加税1元（2）2007年上海出租车的计费方式

每天早上7点到晚11点，起步价11元3公里，3公里至10公里之内每超1公里2.1元，超过10公里按3.1元计算，等候时间为5分钟算作一公里，

晚间则起步价14元，3公里至10公里之内每超1公里2.7元，超过10公里按4元计算，

郊区起步价9元，

（3）绍兴出租车的计费方式

起步价8元3公里（含燃油费），每超1公里1.5元思考与体验1（价格补贴问题）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克。根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000（x+t－8）（x≥8，t≥0）Q=500（8≤x≤14），当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？2．宾馆床位出租问题某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出；当床价高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲。为了获得较好的效益，该宾馆给床位定一个合适的价格，条件是：（1）要方便结帐，床价应为1元的正整数倍；（2）该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好。若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）（1）把y表示成x的函数，并求出其定义域；（2）试确定，该宾馆将床价定为多少元时，既符合上面两个条件，又能使净收入最多？3．