高中数学总复习第二轮专题一.函数的图象

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§1.2函数的图象考点核心整合1.要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.2.函数图象的作法有两种：一种是描点法;另一种是图象的变换法。（1)描点法作图:一般要考虑定义域,化简解析式，描出能确定图象伸展方向的几个关键点.(2)利用图象变换法作图：①平移变换：y=f(x)y=f(x—h)；y=f（x)y=f(x）+k.②对称变换:y=f(x)y=-f(x)，y=f（x）y=f（-x）；y=f（x）y=f（2a—x);y=f（x）y=f—1（x）;y=f(x）y=-f(-x）.③翻折变换:y=f(x）y=f(｜x|)；y=f（x)y=|f（x)｜.④伸缩变换:y=f（x)y=f（ax）；y=f(x）y=af（x）。考题名师诠释【例1】已知函数y=xf′（x）的图象如右图所示〔其中f′(x）是函数f(x）的导函数〕，下面四个图象中y=f(x)的图象大致是()解析：由图象知当0〈x〈1时,f′(x)〈0，x〉1时，f′(x)>0,即f（x）在（0,1）上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，否定A、B、D.故选C。答案：C【例2】已知f(x)=2x-1，g（x)=1-x2，规定：当｜f（x）｜≥g(x）时,h(x）=|f(x）｜;当|f(x）|<g（x）时，h(x）=—g（x）.试讨论h（x）是否有最大值或最小值，并说明理由.解：画出y=｜f（x)|=｜2x—1|与y=g（x）=1—x2的图象，它们交于A、B两点.由“规定”，在A、B两侧,｜f（x）|≥g(x）,故h(x）=|f（x)｜；在A、B之间，｜f(x)|〈g(x),故h(x）=-g（x）.综上可知,y=h（x)的图象是图中的实线部分，因此h（x）有最小值-1，无最大值。【例3】设函数f(x）在(-∞，+∞)上满足f（2-x）=f（2+x），f（7—x）=f（7+x）,且在闭区间［0,7］上,只有f（1）=f（3)=0。(1）试判断函数y=f（x）的奇偶性；(2)试求方程f(x)=0在闭区间［—2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。解析:(1)由f(2—x）=f(2+x）得函数y=f(x）的对称轴为x=2,∴f(-1)=f（5）.而f(5)≠0f(1)≠f(-1)，即f（x)不是偶函数。又∵f（x)在［0，7]上只有f（1)=f(3)=0，∴f(0）≠0。从而知函数y=f（x)不是奇函数.故函数y=f(x）是非奇非偶函数.（2）f(4—x）=f(14—x）f（x)=f(x+10),从而知函数y=f（x）的周期为T=10。又f(3）=f（1）=0，∴f(11）=f(13)=f（—7）=f（—9）=0，故f（x)在［0，10]和［-10，0]上均有2个根，从而可知函数y=f（x）在[0,2000］上有400个根,在[2000，2005］上有2个根,在［—2000，0］上有400个根,在［-2005，—2000］上没有根.所以函数y=f(x）在[-2005，2005］上有802个根。【例4】已知函数f(x）和g(x)的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x。(1)求g（x)的表达式;(2）解不等式g(x)≥f(x）-|x-1｜；(3）若h(x）=g（x）—λf（x)+1在［—1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围.解：（1)设y=f(x）的图象上任意一点Q(x0,y0）关于原点的对称点为P(x,y)，则∵Q(x0,y0)在y=f（x)的图象上,∴—y=x2-2x，即y=—x2+2x。故g（x)=-x2+2x.（2）由g(x)≥f(x)—|x-1｜可得2x2—|x—1｜≤0。当x≥1时,2x2-x+1≤0，此不等式无解；当x〈1时，2x2+x-1≤0，解得—1≤x≤.因此原不等式的解集为[-1,]。(3)h（x）=—（1+λ）x2+2（1—λ)x+1。①当λ=-1时，h(x）=4x+1在［-1,1]上是增函数,∴λ=-1。②当λ≠—1时，对称轴方程为x=.(ⅰ）当λ<—1时，≤—1，解得λ<-1；(ⅱ）当λ>-1时，≥-1，解得-1〈λ≤0.综上，λ≤0。【例5】已知函数f（x)=x3+3ax—1，g(x）=f′（x）—ax-5,其中f′(x）是f(x)的导函数.（1）对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x)<0,求实数x的取值范围；(2)设a=-m2,当实数m在什么范围内变化时，函数y=f(x）的图象与直线y=3只有一个公共点.解：（1）由题意,g(x）=3x2-ax+3a-5.令φ(a)=（3—x)a+3x2-5,-1≤a≤1.对-1≤a≤1，恒有g(x）<0，即有φ(a)〈0。∴即解得-〈x〈1.故x∈(—，1)时，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x)〈0。（2)f′（x)=3x2-3m2.①当m=0时，f′（x)=x3—1的图象与直线y=3只有一个公共点；②当m≠0时，列表:x（—∞，-|m｜)-｜m｜(—｜m｜，｜m|）｜m｜(|m｜,+∞)f′(x）+0—0+f（x)↗极大↘极小↗f(x）极小=f（|m｜）=-2m2|m|-1〈-1。又因为f（x）的值域是R，且在(｜m|，+∞）上单调递增,所以当x>|m｜时，函数y=f（x)的图象与直