2022年江西省宜春市石中学高三数学理模拟试题含解析

2022年江西省宜春市石中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+1，当x=θ时函数y=f（x）取得最小值，则=（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【分析】将函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+1化解求解最小值，求出θ，带入化解计算即可．【解答】解：函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+1=sin2x+cos2x+=sin（2x+φ）+，其中tanφ=，可得cot=2．当x=θ时函数y=f（x）取得最小值，即2θ+φ=，那么：2θ=φ+2kπ．则====．故选D．2.下列函数中，与y=x相同的函数是（）A．

B．y=lg10x

C． D．参考答案：B【考点】32：判断两个函数是否为同一函数．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，y==|x|（x∈R），与函数y=x的对应法则不同，不是同一函数；对于B，y=lg10x=x（x∈R），与函数y=x的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数；对于C，y==x（x≠0），与函数y=x的定义域不同，不是同一函数；对于D，y=+1=x（x≥1），与函数y=x的定义域不同，不是同一函数．故选：B．3.已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.定义A-B={x|x∈A,且x?B},若A={1,3,5,7,9},B={2,3,5},则A-B=(

)(A)A (B)B

(C){1,2,7,9} (D){1,7,9}参考答案：D略5.已知等差数列的前n项和为，若M、N、P三点共线，O为坐标原点，且（直线MP不过点O），则S20等于

（

）A、10

B、15

C、20

D、40参考答案：A6.为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的2000名居民进行模排，各年龄段男、女生人数如下表.已知在小区的居民中随机抽取1名，抽到20岁~50岁女居民的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全小区抽取64名居民，则应在50岁以上抽取的女居民人数为（

）

1岁—20岁20岁—50岁50岁以上女生373XY男生377370250

A.24 B.16 C.8 D.12参考答案：C【分析】先根据抽到20岁~50岁女居民的的概率是0.19，可求出20岁~50岁女居民的人数，进而求出50岁以上的女居民的人数为250，根据全小区要抽取64人，再根据分层抽样法，即可求出结果．【详解】因为在全小区中随机抽取1名，抽到20岁~50岁女居民的概率是0.19即：，∴．50岁以上的女居民的人数为，现用分层抽样的方法在全小区抽取64名居民，应在应在50岁以上抽取的女居民人数为名．故选：C.【点睛】本题考查分布的意义和作用，考查分层抽样，属于基础题．7.i是虚数单位，若，则(

) (A)(B)(C) (D)参考答案：B试题分析：由题根据所给复数化简求解即可；.考点：复数的运算8.已知t为常数，函数有两个极值点a、b(a＜b)，则（

）A． B．C． D．参考答案：A设为对称轴为，开口向上的抛物线则在上有两个相异实根a、，∴∴，∴在上为增函数．9.已知集合若则实数的取值范围是（）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.函数的零点所在的区间是

（）A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中,,,,那么的长度为

．参考答案：12.已知a＞b＞0，那么a2+的最小值为

．参考答案：4【考点】基本不等式．【分析】先利用基本不等式求得b（a﹣b）范围，进而代入原式，进一步利用基本不等式求得问题答案．【解答】解：因为a＞b＞0，，所以，当且仅当，即时取等号．那么

的最小值是4，故答案为：4．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．解题的时候注意两次基本不等式等号成立的条件要同时成立．13.在区间上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=

．参考答案：3考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：画出数轴，利用x满足|x|≤m的概率为，直接求出m的值即可．解答： 解：如图区间长度是6，区间上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m=3．故答案为：3．点评：本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键．14.若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P、Q都在函数f(x)的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P、Q)是函数f(x)的一个“友好点对”（点对(P、Q)与点对(Q、P)看作同一个“友好点对”）.已知函数，则f(x)的“友好点对”的个数是

．参考答案：215.已知等差数列{an}的公差不为0，且a1，a3，a9成等比数列，则=

参考答案：答案：

16.已知实数、满足，那么Z=的最大值为

参考答案：417.已知向量，且，则角的值为

．（用反三角函数形式表示）参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列是各项均为正数的等比数列，且，.(I）求数列的通项公式；(II）设求数列的前n项和Sn.参考答案：（I）∵

数列各项均为正数，

∴

∴

∴

又

∴

∴(II）∵

∴

∴

19.(本题满分14分)已知函数(其中),为f(x)的导函数.(Ⅰ)求证:曲线y=在点(1,)处的切线不过点(2,0);(Ⅱ)若在区间中存在,使得,求的取值范围;(Ⅲ)若,试证明:对任意,恒成立.参考答案：(Ⅰ)由得,,所以曲线y=在点(1,)处的切线斜率为,,曲线y=切线方程为,假设切线过点(2,0),代入上式得:,得到0=1产生矛盾,所以假设错误,故曲线y=在点(1,)处的切线不过点(2,0)…………4分(Ⅱ)由得,,所以在(0,1]上单调递减,故…………7分(Ⅲ)令,当=1时,,所以..因此,对任意,等价于.…………9分由,.所以.因此,当时,,单调递增;时,,单调递减.所以的最大值为,故.

…………12分设,,所以时,单调递增,,故时,,即.所以.因此,对任意,恒成立

…………14分20.（本小题满分12分）如图，在长方体中，，，为的中点，为的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．参考答案：解：（1）以点为原点，分别以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

………………1分依题意，可得

．………………3分，，∴

，即，∴．

………………6分

（2）设，且平面，则

，即，∴解得，取，得，所以与平面所成角的正弦值为

．

………………12分略21.已知函数f（x）=lnx+ax2+1．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的极值；（2）当a＞0时，证明：存在正实数λ，使得||≤λ恒成立．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）运用求解导数得出f′（x）=+2ax，x＞0，判断（0，）单调递增，（，+∞）单调递减，得出f（x）极大值=f（）=ln+，无极小值．（2）构造g（x）=，当a＞0时g（x）的定义域为R，g′（x）=，g′（x）==0，x1=1，x2=1，判断得出g（x）在（﹣∞，x1）（x2，+∞）单调递增，（1，2）单调递减，求解得出极值，得出存在常数M，得出不等式恒成立．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx+ax2+1，f′（x）=+2ax，x＞0，当a=﹣1时，函数f（x）=lnx﹣x2+1，f′（x）=﹣2x，x＞0，∴x∈（0，）时，f′（x）＞0，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0；∴（0，）单调递增，（，+∞）单调递减，∴f（x）极大值=f（）=ln+，无极小值．（2）证明：令g（x）=，当a＞0时g（x）的定义域为R，g′（x）=，g′（x）==0，x1=1，x2=1，g′（x）=＞0，x1＜1，x2＞1，∴g（x）在（﹣∞，x1）（x2，+∞）单调递增，（1，2）单调递减，g（1）=0，当x＜1时，g（x）＞0，当x＜1时，0＜g（x）＜g（x1）∴当x＞1时，0＜g（x）＜g（x2）记M=max||g（x1）|g（x2）|，a＞0时，当λ∈[M，+∞），使得||≤λ恒成立．22.如图所示的茎叶图记录了华润万家在渭南城区甲、乙连锁店四天内销售请客的某项指标统计：（1）求甲、乙连锁店这项指标的方差，并比较甲、乙该项指标的稳定性；（2）每次都从甲、乙两店统计数据中随机各选一个进行对比分析，共选了3次（有放回选取），设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为X，求X的分布列及数学期望．参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）先根据茎叶图写出甲乙连锁店各自的数据，容易求得这两组数据的平均数都为8，从而可带入求方差的公式求出甲乙连锁店这项指标的方差，方差小的便稳定性好；（2）先求出从甲乙两种数据中各随机选一个，甲的数据大于乙的数据的概率为，这种选取方式是有放回的选取，从而便知道X服从二项分布B（3，），X可取0，1，2，3，求出每个数对应的概率从而列出X的分布列，根据二项分布的数学期望公式即可求出E（X）．解答： 解：（1）由茎叶图