安徽省六安市张冲乡中学高三数学理测试题含解析

安徽省六安市张冲乡中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设a大于0，b大于0.A.若2a+2a=2b+3b，则a＞b

B.若2a+2a=2b+3b，则a＞bC.若2a-2a=2b-3b，则a＞b

D.若2a-2a=ab-3b，则a＜b

参考答案：A

若，必有．构造函数：，则恒成立，故有函数在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．故选A2.已知函数f（x）=lnx﹣x2与g（x）=（x﹣2）2+﹣m（m∈R）的图象上存在关于（1，0）对称的点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1﹣ln2） B．（﹣∞，1﹣ln2] C．（1﹣ln2，+∞） D．[1﹣ln2，+∞）参考答案：D【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由题意可知f（x）=﹣g（2﹣x）有解，即m=lnx+在（0，+∞）有解，求导数，确定函数的单调性，可知m的范围．【解答】解：∵数f（x）=lnx﹣x2与g（x）=（x﹣2）2+﹣m（m∈R）的图象上存在关于（1，0）对称的点，∴f（x）=﹣g（2﹣x）有解，∴lnx﹣x2=﹣x2﹣+m，∴m=lnx+在（0，+∞）有解，m′=，∴函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴m≥ln+1=1﹣ln2故选D．【点评】本题考查利用导数求最值，考查对称性的运用，关键是转化为m=lnx+在（0，+∞）有解，属于中档题．3.角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P，且tanα＝－；角β的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点Q，且tanβ＝－2．对于下列结论：①P（－，－）；②＝；③cos∠POQ＝－；④△POQ的面积为，其中正确结论的编号是A．①②③

B．②③④

C．①③④

D．①②④参考答案：D略4.如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm),则此几何体的表面积是(

)A.

B.21

C.

D.24参考答案：A5.已知复数z1=2+i，z2=a-3i(i为虚数单位，a∈R)．若z1z2为实数，则a的值为

(A)3

(B)4

(C)5

(D)6参考答案：D略6.已知函数，若，且，则的取值范围是()A．

B.C．

D.参考答案：B略7.若是空间三条不同的直线，是空间中不同的平面，则下列命题中不正确的是（

）A.若，，则B.若，，则C.当且是在内的射影，若，则D.当且时，若，则参考答案：D略8.已知集合，N={﹣3，﹣1，1，3，5}，则M∩N=（）A．{﹣3，﹣1，1，3，5} B．{﹣1，1，3，5} C．{1，3，5} D．{﹣3，﹣1，1，3，}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合M，根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合={x|﹣1＜x≤5}，N={﹣3，﹣1，1，3，5}，则M∩N={1，3，5}．故选：C．9.在给定程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：据程序框图得到事件“能输出数对（x，y）”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用定积分求出事件A构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率．解答： 解：是几何概型，所有的基本事件Ω=，设能输出数对（x，y）为事件A，则A=，S（Ω）=1，S（A）=∫01x2dx=x3=．故选：B．点评：本题考查程序框图与概率结合，由程序框图得到事件满足的条件、考查利用定积分求曲边图象的面积；利用几何概型概率公式求出事件的概率．10.已知集合，，则A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，若=﹣7，则的值是

．参考答案：9【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用?=（+）?（+）求出||=||=4；再利用?=（+）?（+）求出运算结果．【解答】解：平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，∴+=；若?=﹣7，则（+）?（+）=+?+?+?=+?（+）﹣=32﹣=﹣7；∴=16，∴||=||=4；∴?=（+）?（+）=?+?+?+=﹣+?（+）+=﹣42+0+52=9．12.已知幂函数的图象过点，则________________.参考答案：3略13.已知数列是正项等比数列，若，，则数列的前n项和的最大值为

．参考答案：1514.已知抛物线的弦过焦点，若，且中点的横坐标为3，则抛物线的方程为

．参考答案：

15.若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是________。参考答案：16.若的展开式中的系数是,则实数的值是__________.参考答案：答案：解析：的展开式中的系数=x3，则实数的值是－2.17.如果执行右面的流程图，那么输出的

．参考答案：10000三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）函数的图象经过怎样的变换可以得到的图象？

参考答案：解：(1)

=

=

=

…6分

最小正周期

单调递增区间

，

………………9分

(2)向左平移个单位；向下平移个单位

………………13分19.（本题满分12分）现有8名语、数、外成绩优秀者，其中语文成绩优秀，数学成绩优秀，外语成绩优秀，从中选出语、数、外成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛。(1)求被选中的概率。(2)求和同时被选中的概率。参考答案：20.已知数列是递增的等比数列，满足，且是、的等差中项，数列满足，其前项和为，且.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）设等比数列的公比为，则，，∵是的等差中项，∴，即.∵，∴，∴.依题意，数列为等差数列，公差，又，∴，∴，∴（Ⅱ）∵，∴.不等式化为，∵，∴对一切恒成立.而，当且仅当即时等号成立，∴.21.已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求实数m的值；（2）若不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）求得不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集，再结合不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求得m的值．（2）由题意可得g（x）=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+，再利用绝对值三角不等式求得g（x）的最小值为4，可得4≤2y+恒成立，再利用基本不等式求得2y+的最小值为2，可得2≥4，从而求得a的范围．【解答】解：（1）∵不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），即|2（x+）﹣1|≤2m+1的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．由|2x|≥2m+1，可得2x≥2m+1，或2x≤﹣2m﹣1，求得x≥m+，或x≤﹣m﹣，故|2（x+）﹣1|≤2m+1的解集为（﹣∞，﹣m﹣]∪[m+，+∞），故有m+=2，且﹣m﹣=﹣2，∴m=．（2）∵不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，∴|2x﹣1|≤2y++|2x+3|恒成立，即|2x﹣1|﹣|2x+3|≤2y+

恒成立，故g（x）=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+．∵|2x﹣1|﹣|2x+3|≤|2x﹣1﹣（2x+3）|=4，∴4≤2y+恒成立，∵2y+≥2，∴2≥4，∴a≥4，故实数a的最小值为4．22.如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．

（1）求证：BD⊥FG；

（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由．

（3）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

参考答案：方法一：（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形，

其对角线BD，AC交于点E，∴PA⊥BD，AC⊥BD

∴BD⊥平面APC，平面PAC，∴BD⊥FG

…………4分

（II）当G为EC中点，即时，FG//平面PBD，

…………5分

理由如下：

连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE，

而FG平面PBD，PB平面PBD，

故FG//平面PBD．

…………8分

（III）作BH⊥PC于H，连结DH，

∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，

∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，

∴△PCB≌△PCD，

∴DH⊥PC，且DH=BH，

∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，

…………10分

即

∵PA⊥面ABCD，

∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角

………12分

连结EH，则

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是

…………14分

方法二解：以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）

D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,

（I）

…………4分

（II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，

而，

由可得，解得

…Ks5u……7分

故当时，FG//平面PBD

…………8分

设平面PBC的一个法向量为

则，而

，取z=1，得，

同理可得平面PBC的一个法向量

设所成的角为0，

则