单调性与最大值一

1.3.1函数的基本性质------函数的单调性数与形,本是相倚依焉能分作两边飞数无形时少直觉形少数时难入微数形结合百般好隔离分家万事休切莫忘,几何代数统一体永远联系莫分离

——

华罗庚问题提出

德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8-9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.123tyo20406080100函数的单调性思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识?思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？tyo20406080100123知识探究（一）yxo考察下列两个函数:

（1）；

(2)xyo思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？ 思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？思考3:如图为函数在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当时，与的大小关系如何？xyox1x2思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数在区间D上是增函数”？对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当<时，都有<

,则称函数在区间D上是增函数.知识探究（二）考察下列两个函数:

（1）；

(2)xyoxoy思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？ 思考2:我们把具有上述特点的函数称为减函数，那么怎样定义“函数在区间D上是减函数”？xyox1x2对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当<

时，都有>

,则称函数在区间D上是减函数.思考3:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当

时，都有

,则函数在区间D上是增函数还是减函数？

思考4：如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数的单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗？函数的单调区间如何？1、函数单调性是对于定义域内的某个子区间而言的。是函数的局部性质2、理解函数单调性的时候注意三点：①x1、x2是在同一个区间上②任意取的两个实数，具有任意性③一般都不妨设为一大一小。3、函数单调性反映的是函数在相应区间上函数值随x而变化的趋势。注意：理论迁移-5-3136oxy例1

如图是定义在闭区间

[-5，6]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.练习：填表函数单调区间k>0k<0k>0k<0增函数减函数减函数增函数单调性函数单调区间单调性增函数增函数练习2：填表（二）减函数减函数课堂练习:1.若在为增函数，则k的取值范围为_______2.下列函数在(0,2)是增函数的是()A.B.C.D.C例2

已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的增区间是［３，＋∞），求实数a的值。变式1

已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在［３，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围。变式2

已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在［1，3]上具有单调性，求实数a的取值范围。3.函数f(x)=2x+1,(x≥1)5－x,(x＜1)则f(x)的递减区间为()A.[1,＋∞)B.(－∞,1)C.(0,＋∞)D.(－∞,1]B一、选择题1.若函数y=ax与在(0,+∞)上都是减函数，则y=ax2+bx在（0，+∞）上是（）

A.增函数B.减函数

C.先增后减D.先减后增解析∵y=ax与在(0,+∞)上都是减函数,∴a<0,b<0，∴y=ax2+bx的对称轴方程

∴y=ax2+bx在（0，+∞）上为减函数.B定时检测思考？例题2：画出反比例f(x)=1/x函数的图象．

1这个函数的定义域是什么？

2它在(0，+∞)上单调性怎样？在(-∞,0)上呢?证明你的结论．

单调递增区间：单调递减区间：xy21o判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－