2023学年完整公开课版探究型问题

第2课时探究型问题

提出问题： (1)如图2－2－1①，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上．若AE⊥DH于点O，求证：AE＝DH；

类比探究： (2)如图②，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上．若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；

图2－2－1综合运用：(3)如图③，在(2)条件下，HF∥GE，已知BE＝EC＝2，OE＝2OF，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：如答图①，在正方形ABCD中，AD＝AB，∠B＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∵AE⊥DH，∴∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠3，∴△ADH≌△BAE(AAS)，∴AE＝DH；例1答图(2)EF＝HG.理由：如答图②，作DH′∥HG，AE′∥FE分别交AB，BC于点H′，E′.∵AF∥EE′，AE′∥FE，∴四边形AE′EF是平行四边形，∴EF＝AE′，同理，HG＝DH′.由(1)可知，DH′＝AE′，∴EF＝HG；(3)如答图③，延长FH，交CB于P，过点F作FQ⊥BC交BC于Q.∵AD∥BC，∴∠AFH＝∠P，∵HF∥GE，∴∠GEC＝∠P，∠HFO＝∠GEO，∴∠AFH＝∠GEC，又∵∠A＝∠C＝90°，∠FOH＝∠GOE，∴△AFH∽△CEG，△OFH∽△OEG，[2016·临沂]如图2－2－2①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连结DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连结FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是____________，位置关系是_____________；(2)如图②，若E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图③，若E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．FG＝CEFG∥CE

图2－2－2【解析】(1)只要证明四边形CEGF是平行四边形即可得出FG＝CE，FG∥CE；(2)如答图，构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG＝CE，FG∥CE；(3)证明△CBF≌△DCE，即可证明四边形CEGF是平行四边形．解：(2)成立．如答图，过点G作GH⊥CB的延长线于点H.∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°，∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE，在△HGE与△CED中，变式跟进答图∴△HGE≌△CED(AAS)，∴GH＝CE，HE＝CD，∵CE＝BF，∴GH＝BF，∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE.∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝EC，∴FG＝CE；(3)成立．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°，∴△CBF≌△DCE(SAS)，∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE，∵EG＝DE，∴CF＝EG，∵DE⊥EG，∴∠DEC＋∠GEC＝90°，∵∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠CDE＝∠GEC，∴∠BCF＝∠GEC，∴CF∥EG，∴四边形CEGF是平行四边形，∴FG∥CE，FG＝CE.【点悟】常见探究型问题有两种：(1)存在性探究型问题：一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理的结论，则可肯定假设；(2)规律探究型问题：一般思路是通过对所给的具体结论进行全面而细致的观察、分析、比较，从中发现其变化规律，从而达到解决问题的目的． [2017·义乌]已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β. (1)如图2－2－3，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．

①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝______°，β＝______°；

②求α，β之间的关系式； (2)是否存在不同于以上②中的α，β

之间的关系式？若存在，求出这个关系

式(求出一个即可)；若不存在，请说明

理由．图2－2－32010【解析】(1)①∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C＝60°，∠ADE＝∠AED＝70°，在△DEC中，∠CDE＝∠AED－∠C＝70°－60°＝10°，在△ABD中，∠CDE＋∠ADE＝∠B＋∠BAD，∴10°＋70°＝60°＋∠BAD，∴∠BAD＝20°.例2答图②设∠B＝x，∠ADE＝y，再利用①的解题思路即可．(2)当点E在CA延长线上，点D在线段BC上时，分别在△DEC和△ABD中，利用三角形内角和定理及三角形外角的性质得出x，y，α，β的关系，最后确定出α，β之间的关系式．解：(1)②设∠B＝x，∠ADE＝y，则∠C＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β＋x，在△ABD中，α＋x＝y＋β，∴α＝2β；(2)如答图，点E