单向方差分析

单向方差分析第一页，共二十一页，编辑于2023年，星期日一、问题的提出先看一个例子：某医生为研究一种降糖药的疗效，以统一的纳入标准和排除标准选择了39名II型糖尿病患者，随机将其分为两组进行双盲临床试验。其中试验组19人，对照组20人，对照组服用公认的降糖药物。治疗4周后测得其餐后2小时血糖的下降值(mmol/L)，结果如表1。问治疗4周后餐后2小时血糖下降值的两组总体水平是否不同？第二页，共二十一页，编辑于2023年，星期日表1II型糖尿病患者治疗4周后餐后2小时血糖的下降值(mmol/L)试验组对照组

－0.6 12.4

5.7 0.9

12.8 7.0

4.1 3.9

…

…

4.3 9.4

6.4 3.8

7.0 7.5

5.4 8.4

3.1 12.2

6.0第三页，共二十一页，编辑于2023年，星期日

显然，当两个样本来自正态总体，且两个总体方差相等时，我们可用两样本均数比较的t-检验来解决这个问题。其检验假设：为

其检验统计量为：其中：第四页，共二十一页，编辑于2023年，星期日

但在实际工作中，常常会遇到两个以上的样本均数的比较，如将上述问题改为：某医生为研究一种降糖药的疗效，以统一的纳入标准和排除标准选择了60名II型糖尿病患者，随机将其分为三组进行双盲临床试验。其中高剂量组21人，低剂量组19人，对照组20人，对照组服用公认的降糖药物。治疗4周后测得其餐后2小时血糖的下降值(mmol/L)，结果如表2。问治疗4周后餐后2小时血糖下降值的三组总体水平是否不同？第五页，共二十一页，编辑于2023年，星期日表2

II型糖尿病患者治疗4周后餐后2小时血糖的下降值(mmol/L)高剂量组低剂量组对照组

5.6－0.6 12.4

9.5

5.70.9

6.0

12.87.0

8.7

4.1 3.9

…

…

…

4.9

4.3 9.4

8.1

6.4 3.8

3.8

7.07.5

6.1

5.48.4

13.2

3.112.2

16.5

6.09.2第六页，共二十一页，编辑于2023年，星期日

如何解决这个问题呢？这里，先介绍几个概念：要考察的指标称为试验指标----本例即血糖的下降值；影响试验指标的条件称为因素（处理因素）----本例即药物；因素所处的状态称为该因素的水平----本例药物有3个不同的水平(三个不同的处理组)。

在一项试验中，如果影响试验指标的因素只有一个，则称该试验为单因素试验(本例)；如果影响试验指标的因素有多个，则称该试验为多因素试验。第七页，共二十一页，编辑于2023年，星期日

我们在因素(药物)所处的每一水平下进行了独立试验，其结果是一随机变量。如果将因素的每一水平分别视为一个总体，各总体的均值分别为，则表中数据可视为来自三个不同总体的样本值。如果三个总体都服从正态分布，且三个总体方差都相等（方差齐性），则本例的问题即为如下的检验假设问题：下面，我们把这个问题推广到更一般的情形。第八页，共二十一页，编辑于2023年，星期日

一般地，对于单因素试验，假设因素A有s个水平：A1，A2，…，As。在水平Aj(j=1,2,…,s)进行nj次独立试验，得到如下的试验结果：水平A1A2…As样本观测值…………样本总和T•1T•2…T•s样本均值…总体均值…表3单因素方差分析的资料格式第九页，共二十一页，编辑于2023年，星期日

假定各水平Aj均为正态总体，

j=1,2,…,s，且各水平下的样本之间相互独立.

在这个假定之下，方差分析的任务就是要检验如下的假设：其备择假设为：

如何来检验这个假设呢？英国统计学家R.A.Fisher从方差构成的角度对这个问题进行了探讨，并于1923年首次给出了如下的平方和分解定理。H0:μ1=μ2=

…=μs

H1:μ1，μ2，…，μs

不全相等第十页，共二十一页，编辑于2023年，星期日二、Fisher的平方和分解考虑总平方和

(totalsumofsquares)其中：是所有样本观测值的总平均；SS总又称为总变差，它反映了全部试验数据之间的差异。记水平Aj下的样本均值为第十一页，共二十一页，编辑于2023年，星期日对总平方和SS总可作如下的分解：注意到于是总平方和SS总可分解为第十二页，共二十一页，编辑于2023年，星期日其中：中的各项表示在水平Aj下，样本观测值与样本均值之间的差异，这种差异是由抽样所引起的，故SS组内

(Errorsumofsquares)称为组内离差平方和(又称为误差平方和)，且可以证明：SS组内的自由度为n－s。中的各项表示水平Aj下的样本均值与全部观测数据的总平均值之间的差异，这种差异是由水平Aj及随机误差所引起的，故称SS组间

(Modelsumofsquares)为组间平方和，且可以证明：SS组间的自由度为s－1。而第十三页，共二十一页，编辑于2023年，星期日于是，Fisher构造了如下的统计量：并证明了这个F统计量服从自由度为(s－1，n－s)的F分布。

由于分子MS组间是由各水平组不同所引起的差异及随机误差所构成的，而分母MS组内仅由随机误差所构成，故当F≈1，可以认为各水平组之间的差异不存在，即推断H0成立；F＞＞1，则认为各水平组之间存在差异，即推断H0不成立。注意：F值非负。其中：

MS组间＝SS组间/(s－1)称为组间均方(ModelMeanSquare)，

MS组间＝SS组内/(n－s)称为组内均方(ErrorMeanSquare)。第十四页，共二十一页，编辑于2023年，星期日

对于事先给定的检验水准若，则p<，拒绝H0若，则p≥，不拒绝H0

至于F值究竟要大到何种程度才能拒绝原假设，可由F分布的临界值来确定。通常可以通过查F分布的界值表来决定。第十五页，共二十一页，编辑于2023年，星期日三、方差分析的步骤1.建立检验假设，确定检验水准；2.按照表3的格式，整理并计算出相应的统计量；3.计算出各平方和、自由度及相应的均方；单因素试验方差分析表方差来源平方和自由度均方F值组间SS组间s－1MS组间组内SS组内n－sMS组内

总SS总n－1

5.查F界值表，确定p值，并作出统计学推断。4.列出如下形式的方差分析表：H0:μ1=μ2=

…=μs

H1:μ1，μ2，…，μs

不全相等第十六页，共二十一页，编辑于2023年，星期日

在方差分析的计算中，上述第2、3步计算量较大，在实际应用中，通常是利用统计分析软件来完成的。下面我们通过一个实例，介绍在SAS（StatisticsAnalysisSystem)软件中进行方差分析的方法。第十七页，共二十一页，编辑于2023年，星期日四、实例

考虑本章开头的例子。首先提出检验假设：

并取

为了进行方差分析，我们调用SAS系统，并执行如下的计算程序：第十八页，共二十一页，编辑于2023年，星期日Datafcfx;Inputx@@;If_n_<=20theng=1;If20<_n_<=39theng=2;If39<_n_theng=3;Cards;12.40.97.03.91.66.43.03.92.21.12.77.86.91.59.43.87.58.412.26.0-0.65.712.84.1-1.8-0.16.312.79.812.62.05.67.07.94.36.47.05.43.15.69.56.08.79.25.03.55.88.015.511.816.311.814.64.98.13.86.113.216.59.2;;;;Procanovadata=fcfx;Classg;Modelx=g;Run;这两段程序提交运行后，可得如下结果：第十九页，共二十一页，编辑于2023年，星期日TheANOVAProcedureDependentVariable:x

SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr>FModel2176.76497688.3824885.540.0063Error57909.87152415.962658CorrectedTotal591086.636500上述结果即