变形及刚度计算

变形及刚度计算第一页，共八十五页，编辑于2023年，星期日§8—1轴向拉伸杆的变形§8—2圆轴扭转时的变形和刚度计算§8—3梁的变形及刚度计算§8—4简单超静定问题目录第二章轴向拉伸和压缩第二页，共八十五页，编辑于2023年，星期日§8-1轴向拉压杆的变形§8-1轴向拉压杆的变形FF一、轴向拉压的变形分析FF轴向拉伸：纵向伸长、横向缩短纵向伸长量：横向缩短量：轴向压缩：纵向缩短、横向伸长纵向缩短量：横向伸长量：注：绝对变形量不足以描述变形的程度，尤其对于长度不一的杆件，因此引入应变的概念。第三页，共八十五页，编辑于2023年，星期日FFFF1、纵（轴）向变形量：2、横向变形量：二、线应变轴向线应变：线应变：将绝对伸长量除以杆件的初始尺寸，即得单位伸长，称之为线应变。横向线应变：3、线应变的符号约定：与变形量的正负号一致，即拉应变为正，压应变为负。§8-1轴向拉压杆的变形第四页，共八十五页，编辑于2023年，星期日

上式表明，在线弹性范围内轴向拉、压杆件的伸长或缩短量

l，与轴力

FN和杆长

l成正比,与EA成反比。EA——抗拉（压）刚度§8-1轴向拉压杆的变形由胡克定律且轴向线应变：第五页，共八十五页，编辑于2023年，星期日E——弹性模量EA——抗拉（压）刚度l表示长为

l的杆件在轴力

FN的作用下的伸长量或缩短量条件：杆件在

l长范围内EA和FN均为常数。当EA和FN在杆长范围内分段为常数时–++FN图当EA和FN在杆长范围内为位置的函数时§8-1轴向拉压杆的变形第六页，共八十五页，编辑于2023年，星期日三、泊松比

当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆件受压缩沿纵向缩短时，横向则伸长。FFbh横向线应变：纵向线应变：实验表明，对于同一种线弹性材料，存在如下关系：——称为泊松比，量纲为一——负号表示纵向与横向变形的方向总是相反§8-1轴向拉压杆的变形第七页，共八十五页，编辑于2023年，星期日40KN20KN10KN–+–50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m解：用直接法画轴力图分析：多力作用下，整个杆长范围内轴力分段为常数，只能分段求变形，再求和。

又因为BD段内虽然轴力为常数，但截面面积又分两段，所以要分4段求变形。FN图§8-1轴向拉压杆的变形第八页，共八十五页，编辑于2023年，星期日40KN20KN10KN–+–50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m解：用直接法画轴力图FN图§8-1轴向拉压杆的变形第九页，共八十五页，编辑于2023年，星期日40KN20KN10KN–+–50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m解：用直接法画轴力图FN图即杆被压短了1.572mm§8-1轴向拉压杆的变形第十页，共八十五页，编辑于2023年，星期日解：把自重简化为沿着轴线均匀分布的线荷载，集度q＝γA任意取一个截面1－1，画受力图。轴力在1－1截面处取出一微段dy作为研究对象，受力如图。由于取的是微段，dFN(y)可以忽略，认为在微段dy上轴力均匀分布（常数）§8-1轴向拉压杆的变形第十一页，共八十五页，编辑于2023年，星期日§8-1轴向拉压杆的变形第十二页，共八十五页，编辑于2023年，星期日结论：等直杆由自重引起的变形量等于把自重当作集中力作用在杆端所引起的变形量的一半。G令取一根相同的杆件，把它的自重作为一个集中力作用在自由端，此时杆件的伸长量为§8-1轴向拉压杆的变形第十三页，共八十五页，编辑于2023年，星期日§8—2圆杆扭转时的变形和刚度计算一、扭转变形——扭转角——抗扭刚度扭率：单位长度扭转角（扭率）描述了扭转变形的剧烈程度扭转角：单位：rad第十四页，共八十五页，编辑于2023年，星期日一、扭转变形——扭转角扭转角：当在杆长l内扭率为常数时单位：rad当在杆长l内扭率分段为常数时，用求和公式§8—2圆杆扭转时的变形和刚度计算第十五页，共八十五页，编辑于2023年，星期日二、刚度条件以度每米为单位时以弧度每米为单位时许用单位长度扭转角三、刚度条件的应用（1）校核刚度（2）设计截面（3）确定荷载§8—2圆杆扭转时的变形和刚度计算第十六页，共八十五页，编辑于2023年，星期日例题：圆轴如图所示。已知d1=75mm，d2=110mm。材料的许用切应力[]=40MPa，轴的许用单位扭转角

[]=0.8°/m，剪切弹性模量G=80GPa。试校核该轴的扭转强度和刚度。d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m第十七页，共八十五页，编辑于2023年，星期日d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m+8KN.m3KN.m解：强度校核MT图12满足强度条件分析：虽然MTAB<MTBC，但BC段的截面面积也大于AB段的截面面积，所以要分段分别校核。[]=40MPa第十八页，共八十五页，编辑于2023年，星期日+8KN.m3KN.m刚度校核MT图满足刚度条件[]=40MPa，[]=0.8°/m，G=80GPa第十九页，共八十五页，编辑于2023年，星期日例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大切应力是原来的

倍？圆轴的扭转角是原来的

倍？816第二十页，共八十五页，编辑于2023年，星期日例：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？（按强度计算）。解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一倍后内外径分别变为d1、

D1，最大许可扭矩为Ｔ1第二十一页，共八十五页，编辑于2023年，星期日一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为x轴，横截面的铅垂对称轴为y轴，xy平面为纵向对称平面§8—3梁的变形及刚度计算BxyA第二十二页，共八十五页，编辑于2023年，星期日yABx1、挠度（

y）:横截面形心C(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移，称为该截面的挠度。y挠度度量梁变形后横截面位移的两个基本量C'C一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）挠度方程：一般各横截面的挠度是不相同的，是位置x的函数，称为挠度方程，记做y=y（x）第二十三页，共八十五页，编辑于2023年，星期日yABx2、转角（）：横截面对其原来位置的角位移（横截面绕中性轴转动的角度）,称为该截面的转角。转角y挠度C'C度量梁变形后横截面位移的两个基本量一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）转角方程：一般各横截面的转角是不相同的，是位置x的函数，称为转角方程，记做=

（x）第二十四页，共八十五页，编辑于2023年，星期日3、挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。挠曲线方程为式中，x为梁变形前轴线上任一点的横坐标，y为该点的挠度。yABx转角y挠度C'C挠曲线一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）——挠度方程第二十五页，共八十五页，编辑于2023年，星期日yABx转角y挠度C'C挠曲线4、挠度和转角的关系即该式表明，某截面的转角等于挠曲线在该截面处的一阶导数第二十六页，共八十五页，编辑于2023年，星期日挠度：向下为正，向上为负。转角：自x转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。yABx转角y挠度C'C挠曲线5、挠度和转角的符号约定第二十七页，共八十五页，编辑于2023年，星期日剪力弯曲时,M和都是x的函数。略去剪力对梁的位移的影响,则推导公式纯弯曲时曲率与弯矩的关系为二、挠曲线的近似微分方程由几何关系知,平面曲线的曲率可写作由以上两式，得第二十八页，共八十五页，编辑于2023年，星期日MMoxyMMM>0M<0在规定的坐标系中,x轴水平向右为正,

y轴竖直向下为正；而弯矩是下侧受拉为正。曲线向上凸时：y''>0,M<0曲线向下凸时：

y''<0,M>0因此,

M

与

y''的正负号相反oxy推导公式二、挠曲线的近似微分方程第二十九页，共八十五页，编辑于2023年，星期日此式称为梁的挠曲线近似微分方程近似原因:(1)略去了剪力的影响;(2)略去了

y'2

项。与1相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为推导公式二、挠曲线的近似微分方程第三十页，共八十五页，编辑于2023年，星期日三、用积分法求梁的变形梁的挠曲线近似微分方程（一）、公式推导再积分一次,得挠度方程上式积分一次得转角方程式中C、D称为积分常数，可通过梁挠曲线的位移边界条件和变形连续光滑条件来确定。第三十一页，共八十五页，编辑于2023年，星期日ABAB在简支梁中，左右两铰支座处的挠度yA和yB都应等于零（边界）；C左、C右截面的饶度、转角相等（变形连续光滑）。在悬臂梁中，固定端处的挠度yA和转角A都应等于零。（二）、位移边界条件和变形连续条件位移边界条件：yA＝0，yB＝0位移边界条件：yA＝0，A＝0注意：位移边界条件在支座处变形连续条件中间在分段点变形连续条件：CyC1＝yC2

，C1＝C2三、用积分法求梁的变形第三十二页，共八十五页，编辑于2023年，星期日注意

当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线方程也随之而异。ABFDab三、用积分法求梁的变形第三十三页，共八十五页，编辑于2023年，星期日1、正确分段，分别列弯矩方程；2、分段列近似微分方程，一次积分得转角方程，再此积分得挠度方程；3、由位移边界条件和变形连续条件求得积分常数。步骤注意：1、位移边界条件在支座处，变形连续条件在中间分段点处；2、分n段，就要列n个弯矩方程，就有n个转角方程和n个挠度方程，因此就有2n个积分常数，就必须列出2n个补充方程（边界条件和变形连续条件）三、用积分法求梁的变形第三十四页，共八十五页，编辑于2023年，星期日CDAFB例题：用积分法求位移时，图示梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程？试分别列出确定积分常数时需用的边界条件和变形连续条件。3m3m2mq解：分AC、CB、BD三段1位移边界条件：变形连续条件：yA＝0yC1＝yC2

，C1＝C223应该列6个补充方程yB2＝yB3

，B2＝B3A截面：x1=0时，C截面：x1=x2=3m时，B截面：x2=x3=6m时，B截面：x2=x3=6m时，yB＝0x第三十五页，共八十五页，编辑于2023年，星期日例题：图示一抗弯刚度为EI

的悬臂梁,在自由端受一集中力P

作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度ymax

和最大转角max。yABxP第三十六页，共八十五页，编辑于2023年，星期日弯矩方程为解：挠曲线的近似微分方程为xyABxP对挠曲线近似微分方程进行积分第三十七页，共八十五页，编辑于2023年，星期日边界条件为：C1=0C2=0将边界条件代入(3)(4)两式中,可得xyABxP第三十八页，共八十五页，编辑于2023年，星期日C1=0C2=0梁的转角方程和挠度方程分别为xyABxP第三十九页，共八十五页，编辑于2023年，星期日max及ymax都发生在自由端截面处（）yABxP（）ymax第四十页，共八十五页，编辑于2023年，星期日例题：图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度ymax和最大转角max。ABq第四十一页，共八十五页，编辑于2023年，星期日ABq解:由对称性可知，梁的两个支反力为FRAFRB弯矩方程为挠曲线的近似微分方程为xx第四十二页，共八十五页，编辑于2023年，星期日ABqFRAFRB挠曲线的近似微分方程为对挠曲线近似微分方程进行积分x(c)(d)x第四十三页，共八十五页，编辑于2023年，星期日ABqFRAFRBx边界条件为：x

梁的转角方程和挠度方程分别为第四十四页，共八十五页，编辑于2023年，星期日

xABq在x=0

和x=l处转角的绝对值相等且都是最大值，AFRAFRB

梁的转角方程和挠度方程分别为第四十五页，共八十五页，编辑于2023年，星期日由对称，在梁跨中点l/2

处有最大挠度值

xABqA

梁的转角方程和挠度方程分别为FRAFRB第四十六页，共八十五页，编辑于2023年，星期日例题：图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力P的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求D截面的挠度和A、B截面的转角ABPDab第四十七页，共八十五页，编辑于2023年，星期日解：梁的两个支反力为ABPDabFRAFRB12xx1、分两段分别列弯矩方程第四十八页，共八十五页，编辑于2023年，星期日2、两段梁的挠曲线方程分别为12挠曲线方程转角方程挠度方程(0xa)(ax)可见，梁分两段，就有4个积分常数第四十九页，共八十五页，编辑于2023年，星期日D点的连续条件：在x1＝x2=a处边界条件在处，在X=0

处，ABPDab12FRAFRB3、边界条件和变形连续条件第五十页，共八十五页，编辑于2023年，星期日代入方程可解得：12挠曲线方程转角方程挠度方程(0xa)(ax)在处，在X=0

处，在x1＝x2=a处第五十一页，共八十五页，编辑于2023年，星期日12挠曲线方程转角方程挠度方程(0xa)(ax)12第五十二页，共八十五页，编辑于2023年，星期日12将x=0

和x=l

分别代入转角方程，左右两支座处截面的转角当a>b

时,右支座处截面的转角绝对值为最大ABPDab12FRAFRB第五十三页，共八十五页，编辑于2023年，星期日12ABPDab12FRAFRBD截面的挠度：把x=a代入y1或者y2，得第五十四页，共八十五页，编辑于2023年，星期日叠加原理：梁在小变形、弹性范围内工作时，梁在几项荷载（可以是集中力,集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。

当每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿y轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时,则叠加就是代数和。四、用叠加法求梁的变形力的独立作用原理——在线弹性及小变形条件下，梁的变形（挠度y和转角θ）与荷载始终保持线性关系，而且每个荷载引起的变形与其他同时作用的荷载无关。第五十五页，共八十五页，编辑于2023年，星期日叠加法的分类直接叠加——梁上荷载可以化成若干个典型荷载，每个典型荷载都可以直接查表求出位移，然后直接叠加；间接叠加——梁上荷载不能化成直接查表的若干个典型荷载，需将梁进行适当转换后才能利用表中结果进行叠加计算。四、用叠加法求梁的变形第五十六页，共八十五页，编辑于2023年，星期日例题：一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度yC和支座处横截面的转角A、B

。ABmCq第五十七页，共八十五页，编辑于2023年，星期日解：将梁上荷载分为两项简单的荷载，如图b、c所示(b)ABmCqBACqBAmC(C)第五十八页，共八十五页，编辑于2023年，星期日ABmCqACqAmC()()查表，得第五十九页，共八十五页，编辑于2023年，星期日例题：试利用叠加法，求图所示抗弯刚度为EI

的简支梁跨中点的挠度yC

和两端截面的转角A,B

。ABCq第六十页，共八十五页，编辑于2023年，星期日解：可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加。ABCqABCq/2CAB第六十一页，共八十五页，编辑于2023年，星期日（1）正对称荷载作用下ABCq/2第六十二页，共八十五页，编辑于2023年，星期日（2）反对称荷载作用下可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为l/2

的简支梁在跨中C截面处，挠度yc

等于零

，但转角不等于零且该截面的弯矩也等于零CAB第六十三页，共八十五页，编辑于2023年，星期日CABCAB（2）反对称荷载作用下第六十四页，共八十五页，编辑于2023年，星期日将相应的位移进行叠加,即得ABCq（）（）第六十五页，共八十五页，编辑于2023年，星期日例题：一抗弯刚度为EI

的外伸梁受荷载如图所示,

试按叠加原理并利用附表,求截面B的转角B

以及A端和BC中点D的挠度yA

和yD

。

ABCDaa2a2qq第六十六页，共八十五页，编辑于2023年，星期日解：将外伸梁沿B截面截成两段，将AB段看成B端固定的悬臂梁，BC段看成简支梁。ABCDaa2a2qq第六十七页，共八十五页，编辑于2023年，星期日2qABB截面两侧的相互作用力为：2qa2qa2qaBCDqABCDaa2a2qq第六十八页，共八十五页，编辑于2023年，星期日2qaBCDq简支梁BC

的受力情况与外伸梁AC的BC

段的受力情况相同由简支梁

BC求得的B，yD，就是外伸梁AC的

B，yDABCDaa2a2qq第六十九页，共八十五页，编辑于2023年，星期日2qaBCDq简支梁BC的变形就是MB和均布荷载q分别引起变形的叠加。qBCDBCD第七十页，共八十五页，编辑于2023年，星期日(1)求B，yDqBCDBCD由叠加原理得第七十一页，共八十五页，编辑于2023年，星期日2qAB(2)求yA由于简支梁上B截面的转动，代动AB段一起作刚体运动，使A端产生挠度y1

悬臂梁AB本身的弯曲变形，使A端产生挠度y22qa2qaABCDqABCDq第七十二页，共八十五页，编辑于2023年，星期日因此，A端的总挠度应为查表，得2qAB2qa2qaABCDqABCDq第七十三页，共八十五页，编辑于2023年，星期日式中：ymax

为梁上最大的挠度；l为梁的跨长；[f/l]

为梁的许可挠度与的跨长比值。五、梁的刚度校核刚度条件（一般只校核挠度）注意：1、建筑结构即要满足强度条件，同时也要满足刚度条件；2、一般情况下，强度条件起控制作用，所以，在设计梁的截面时，用强度条件选择梁的截面，选好后再代入刚度条件进行校核。第七十四页，共八十五页，编辑于2023年，星期日一、超静定的概念§8-4简单超静定问题§8-4简单超静定问题静定问题：单个物体或物体系未知量的数目正好等于它的独立的平衡方程的数目，全部未知量均可求出，这样的问题称为静定问题，相应的结构称为静定结构。

超静定或静不定：未知量的数目多于独立的平衡方程的数目，未知量不可全部求出，这样的问题称为超静定问题，相应的结构称为超静定结构。超出几个未知量，就是几次超静定问题。通常超静定问题需要建立补充方程，方可求解。在超静定结构中，若不考虑强度和刚度而仅针对维持结构的平衡而言，有些约束是可以去掉的，这些约束称为多余约束，与其相应的支座反力称为多余支反力。第七十五页，共八十五页，编辑于2023年，星期日独立的平衡方程数：2×3＝6未知力数：2+1+2+1＝6独立的平衡方程数=未知力数独立的平衡方程数：2×3＝6未知力数：3+1+2+1＝7未知力数>独立的平衡方程数静定问题超静定问题§8-4简单超静定问题第七十六页，共八十五页，编辑于2023年，星期日

例题：两端固定