功平衡法和上限法及其应用

功平衡法和上限法及其应用第一页，共十三页，编辑于2023年，星期日§9.1

功平衡法功平衡法是利用塑性变形过程中的功平衡原理来计算变形力的一种近似方法，又称变形功法。功平衡原理是指：塑性变形过程外力沿其位移方向上所作的外部功（WP）等于物体塑性变形所消耗的应变功（Wd）和接触摩擦功（Wf）之和，即WP=Wd+Wf对于变形过程的某一瞬时，上式可写成功增量形式dWP=dWd+dWf苏州贷款第二页，共十三页，编辑于2023年，星期日

极值原理包括上限定理和下限定理，它们都是根据虚功原理和最大塑性功耗原理得出的，但各自分析问题的出发点不同。上限定理是按运动学许可速度场（主要满足速度边界条件和体积不变条件）来确定变形载荷的近似解，这一变形载荷它总是大于（理想情况下才等于）真实载荷，即高估的近似值，故称上限解；下限定理仅按静力学许可应力场（主要满足力的边界条件和静力平衡条件）来确定变形载荷的近似解，它总是小于（理想情况下才等于）真实载荷，即高低的近似解，故称下限解。§9.2

极值原理及上限法

第三页，共十三页，编辑于2023年，星期日

稳定平稳状态的变形体中，当给予变形体一几何约束所许可的微小位移（因为该位移只是几何约束所许可，实际上并未发生，故称虚位移）时，则外力在此虚位移上所作的功（称虚功），必然等于变形体内的应力在虚应变上所作的虚应变功，其表达式为：

实际应用常用功率形式表达

虚功原理第四页，共十三页，编辑于2023年，星期日虚功原理式中，左边为外力所作虚功或虚功率，右边第一项为虚应变功耗或虚应变功率消耗，第二项为接触摩擦与刚性界面上剪切功耗或功率消耗等。（为所在界面上的相对滑动速度）。第三项为裂纹形成等的功耗或功率消耗。虚功原理对于弹性变形、弹塑性变形或塑性变形力学问题都是适用的。第五页，共十三页，编辑于2023年，星期日

到目前为止，上限法中虚拟的运动学许可速度场模式大体有三种模式：（1）Johnson模式，通常称为简化滑移线场的刚性三角形上限模式，主要适用于平面应变问题。（2）Avitzur模式，通常称为连续速度场的上限模式，它既可适用平面应变问题、轴对称问题，也可用于某些三维问题，用途比较广泛。（3）上限单元技术（UBET），目前比较实用的是圆柱坐标系的圆环单元技术。它可用于解轴对称问题，以及某些非对称轴的三维问题。具体实例在硕士阶段将详细分析。

虚拟的运动学许可速度场模式第六页，共十三页，编辑于2023年，星期日§9.3速度间断面及其速度特性(1)(2)Av2v1xxABCDφH图9-4速度间断面上的速度间断a）物理平面b）速度图

第七页，共十三页，编辑于2023年，星期日§9.4Johnson上限模式及应用

基本思路是设想塑性变形区由若干个刚性三角形构成，塑性变形时完全依靠三角形场间的相对滑动产生，变形过程中每一个刚性块是一个均匀速度场，块内不发生塑性变形，于是块内的应变速度。因此，式（9-6）的能量基本方程中，若不计附加外力及其他功率消耗的话，其塑性变形功率消耗部分也为零，则上限功率表达式变为：

第八页，共十三页，编辑于2023年，星期日Johnson上限模式求解的基本步骤根据变形的具体情况，或参照该问题的滑移线场，确定变形区的几何位置与形状，再根据金属流动的大体趋势，将变形区划分为若干个刚性三角形块；根据变形区划分刚性三角形块情况，以及速度边界条件，绘制速端图；第九页，共十三页，编辑于2023年，星期日Johnson上限模式求解的基本步骤3.根据所作几何图形，计算各刚性三角形边长及速端图计算各刚性块之间的速度间断量，然后计算其剪切功率消耗；4.求问题的最佳上限解，一般划分的刚性三角形块时，几何形状上包含若干个待定几何参数，所以须对待定参数求其极值，确定待定参数的具体数值以及最佳的上限解。第十页，共十三页，编辑于2023年，星期日§9.5Aviztur上限模式及应用

基本思路：B.Avitzur上限模式为连续速度场模式，其基本思路是把整个变形区内金属质点的流动用一个连续速度场vi=fi(x,y,z)来描述。同时考虑塑性区与刚性区界面上速度的间断性及摩擦功率的影响。因此Avit－zur上限模式的基本能量方程与式（9-4）是一致的，常简化为N=Nd+Nt+Nf+Nq第十一页，共十三页，编辑于2023年，星期日式中，为塑性变形功率消耗为速度间断面上剪切功率消耗为接触面上摩擦功率消耗为附加外力消耗的（取“+”号）或向系统输入的附加功率（取“-”号）第十二页，共十三页，编辑于2023年，星期日应用范围一、直角坐标平面应变问题