充要条件 市赛获奖

1.2.2充要条件

高中数学选修2-1·精品课件第一章常用逻辑用语学习目标1．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．会分析四种命题的相互关系．预习导学基础梳理1．命题“若p则q”为真时，就记作p⇒q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假．2．若A⇒B且B⇒A，则称A是B的充要条件．也称A等价于B，即A⇔B.预习导学自测自评

A

预习导学自测自评2．不等式x2－3x＋2＜0成立的充要条件是

.1＜x＜2

3．条件p：|x|>1，条件q：x<－2，则￢p是￢q的(

)A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件又不是必要条件A

例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件.(1)p：△ABC中，b2＞a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.(1)p是q的充分不必要条件．(2)p是q的必要不充分条件．(3)p是q的充要条件．典例精析题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判断解：1.在下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：a＞b，q：a2＞b2；(2)p：两直线平行，q：内错角相等；(3)p：直线l与平面α所成角大小为90°，q：l⊥α；(4)函数f(x)＝logax(a＞1)，p：f(x1)＞f(x2)，q：x1＞x2＞0.解：在(1)中，p⇏q，q⇏p，∴(1)中的p不是q的充要条件．在(2)(3)(4)中，p⇔q，所以(2)(3)(4)中的p是q的充要条件．跟踪训练典例精析题型二：充要条件的证明例2试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

证明：跟踪训练2.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充要条件是4a＋2b＋c＝0.证明：先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，∴x＝2满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a·22＋b·2＋c＝0，即4a＋2b＋c＝0，∴必要性成立．跟踪训练再证充分性：∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－4a－2b＝0，即(x－2)(ax＋2a＋b)＝0.故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，∴充分性成立．因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充要条件是4a＋2b＋c＝0.当堂训练1．a＝1是两直线x＋ay＝2a＋2与ax＋y＝a＋1平行的(

)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件A

当堂训练

A归纳小结1．判断充要条件的三种方法(1)定义法：首先分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件；归纳小结(2)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若B⊆A，则A是B的必要条件或B是A的充分条件；若A＝B，则A、B互为充要条件；(3)等价法：即利用等价关系“A⇒B⇔￢B⇒￢A”判断，对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题，一般运用等价法．2．理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语“等