双曲线的简单几何性质

2.3.2双曲线的简单几何性质第二章

§2.3双曲线学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.了解直线与双曲线相交的相关问题.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一双曲线的性质标准方程图形

性质范围____________________________对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a性质渐近线_______________________离心率e＝

，e∈(1，＋∞)，其中c＝a，b，c间的关系c2＝

(c>a>0，c>b>0)a2＋b2知识点二等轴双曲线实轴和虚轴

的双曲线，它的渐近线方程是

，离心率为

.等长y＝±x思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU4.椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.(

)5.双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.(

)√×√××2题型探究PARTTWO一、由双曲线方程研究其几何性质例1

求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，延伸探究求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.解把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)反思感悟由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.跟踪训练1

求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；二、由双曲线的几何性质求标准方程例2根据以下条件，求双曲线的标准方程.解若双曲线的焦点在x轴上，若双曲线的焦点在y轴上，同理有a2＝b2，

③由③④得a2＝b2＝－4(舍去).反思感悟(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0).⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).跟踪训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为

；代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，由①②联立，无解.由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.∵A(2，－3)在双曲线上，三、双曲线的离心率解析

不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，反思感悟求双曲线离心率的两种方法√解析因为MF1的中点P在双曲线上，所以|PF2|－|PF1|＝2a，因为△MF1F2为正三角形，边长都是2c，(2，＋∞)解析如图，因为AO＝AF，F(c,0)，(2)如果双曲线

右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是____________.3随堂演练PARTTHREE1.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为A.4 B.－4

C.－ D.√12345解析由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，123452.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4√解析

令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，12345√解析由题意得，a2＝1，b2＝m>0，∴c2＝m＋11234512345解析易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2<k<2.5.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为________.(－2,2)1.知识清单：(1)双曲线的几何性质.(2)双曲线的离心率的求法.2.方法归纳：定义法、函数与方程、数形结合.3.常见误区：忽略双曲线中x，y的范围.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR基础巩固12345678910111213141516√1718√解析

双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1,0)，(－1,0)，2.双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于123456789101112131415161718√123456789101112131415161718123456789101112131415161718√123456789101112131415161718则P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条.123456789101112131415161718√123456789101112131415161718又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20，故选A.1234567891011121314151617186.过双曲线x2－

＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于________.1234567891011121314151617187.已知双曲线方程为8kx2－ky2＝8(k≠0)，则其渐近线方程为_____________.解析

由已知令8kx2－ky2＝0，123456789101112131415161718解析

易得双曲线的左焦点F1(－2,0)，3与双曲线方程联立，得8x2－4x－13＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，1234567891011121314151617189.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；解由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，123456789101112131415161718(2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.123456789101112131415161718解设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，123456789101112131415161718123456789101112131415161718又直线l过右焦点F(c,0)，因为点P的横坐标为2a，123456789101112131415161718123456789101112131415161718综合运用√123456789101112131415161718解析不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，所以a2＝1，b2＝3，123456789101112131415161718√123456789101112131415161718整理得3e4－16e2＋16＝0，123456789101112131415161718解析设F2为右焦点，连接P2F2(图略)，由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.13.如图，双曲线C：

的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是A.3 B.4 C.6 D.8√12345678910111213141516171814.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是√123456789101112131415161718因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c，由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m，12345678910111213141516171815.已知F为双曲线C：

的左焦点，P，Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________.44解析由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点，且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16，点P，Q在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6.∴|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝28，∴△PQF的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.12345678910111213141516171816.设双曲线x2－

＝1上有两点A，B，AB中点M(1,2)，则直线AB的方程为_________.y＝x＋1123456789101112131415161718解析方法一(用根与系数的关系解决)显然直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0，当Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，123456789101112131415161718所以k＝1，满足Δ>0，所以直线AB的方程为y＝x＋1.方法二(用点差法解决)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，123456