初中数学-7.4 勾股定理的逆定理教学设计学情分析教材分析课后反思

[教学设计]7.4勾股定理逆定理一、教学目标1、通过计算、作图、度量发现由边长判定直角三角形的方法，类比勾股定理发现这个方法就是勾股定理的逆定理。2、通过分析定理内容、题组训练，熟用勾股定理的逆定理。3、通过具体题目识别勾股数组，能举例说明。4、通过类比分析勾股定理与其逆定理，能区别两者，并能综合应用。二、教学重点与难点重点：1、掌握勾股定理的逆定理。2、掌握勾股定理逆定理的简单应用。难点：勾股定理的逆定理的证明及简单应用。三、突破措施通过计算和尺规作图，让学生在此过程中自己发现由边长判定直角三角形的方法，将此方法与勾股定理对比，得出由边长判定直角三角形的方法即为勾股定理的逆定理，通过适当练习加强勾股定理的逆定理解决问题的能力，同时培养“数形结合”思想。四、教学准备勾股定理逆定理课件，三角板、量角器和圆规。五、教学过程（一）引疑----问题引入，探勾股定理逆定理多媒体展示问题：1、三角形△ABC的三边长度分别为AC=6，BC=8，AB=10。（1）计算一下，△ABC的边长满足AC²+BC²=AB²吗？（2）利用尺规作图作△ABC，度量△ABC的各个内角的度数，判断△ABC的形状。2、三角形△ABC的三边长度分别为AC=5，BC=12，AB=13，重复（1）（2）两个步骤。要求：学生计算、操作、度量后，判断三角形的形状。意图：让学生体验三角形的形状从怎样的三边数量关系中，演变而来。问题深化：以上这两个问题的提出和结论有什么相同点？（1）已知三角形的三边长；（2）通过计算发现：三角形中两短边的平方和等于最长边的平方；(3)利用尺规作图作出三角形，度量内角发现：最长边对的角是直角，三角形是直角三角形；要求：学生先独立思考展示思维结果，出现的异议，再交流讨论。师剖析：引导学生发现围成三角形的三边边长满足a2+b2=c2，三角形的形状是直角三角形，得出了由边长判定直角三角形的方法刚好是勾股定理的逆命题。这个逆命题是正确的，从而确定由边长判定直角三角形的方法是勾股定理的逆定理。引出课题---勾股定理的逆定理意图：通过学生问题总结，逐步发现规律，掌握规律，引出勾股定理，加强了学生对知识的理解，培养了学生数形结合思想。（二）释疑---解释勾股定理逆定理的三种语言1、师问：请同学们用自己的语言总结勾股定理逆定理内容，即由边长判定直角三角形的方法。2、多媒体展示准确的勾股定理逆定理内容：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。3、引导学生将文字语言转化成数学、图形语言三角形三边关系特殊三角形各部分名称c²+b²=a²b,c是直角边，a是斜边，a对的∠A是直角c²+a²=b²a,c是直角边，a是斜边，b对的∠B是直角b²+a²=c²b,a是直角边，a是斜边，c对的∠C是直角意图：学生经历勾股定理逆定理的探索过程后，能从自己理解的基础上，用自己的语言描述其内容，锻炼了学生由具体到抽象的概括能力；再转化为具体的数学语言和图形语言，进一步加深了对勾股定理逆定理的理解，为其应用做好了铺垫。（三）用疑—用勾股定理的逆定理解决问题第一层：怎么用勾股定理的逆定理判定直角三角形勾股定理逆定理内容：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。问题：（1）命题的“条件”和“结论”分别是什么?（2）具体问题中如何实现“条件”？要求：第（1）问学生独立回答，第（2）问交流合作。师引导：静心聆听学生的回答后，继续问您能继续凝练您的结果吗？顺势引出，“找—算—看”三步法，“找”即找最长边，“算”即算出较短两边的平方和，最长边的平方，“看”即看两个结果，若相等是直角三角形，若不相等就不是直角三角形。意图：以问题为导向，细化定理内容，指引学生思维将定理转化成实用的口诀，便于使用。第二层：题组训练，用勾股定理的逆定理判定直角三角形A层：（口答）1、a、b、c分别是△ABC的三条边的长，判断△ABC是不是直角三角形（1）a=1，b=，c=；（2）a=2，b=3，c=4.B层2、一个三角形三边长为a，b，c，且a²-b²=c²，此三角形是直角三角形吗？3、设x>0，如果三角形的三边长分别为3x，4x，与5x，判断这个三角形的形状。要求：A层题中数字计算简单，采用口答，锻炼学生的快速反应能力，B层笔答题，锻炼学生的做题步骤。第三层：纵向加深勾股定理逆定理的应用，识别勾股数组。问题：在题目“设x>0，如果三角形的三边长分别为3x，4x，与5x，判断这个三角形的形状”中，x分别取正整数时，对应的三角形的三边长分别是什么数？学生很容易回答出正整数，由此引出勾股数组的概念。一般地，把能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数组。辩一辩：1、0.3,0.4和0.5是勾股数吗？你能说出几组勾股数吗？2、请同学们走进史海里漫游，找一找还存在哪些勾股数组的形式，并验证？要求：第1题，能够辨出来，第2题找出来，能进行验证。意图：从题目中引出特殊的勾股数组，再回到题目1中辨别，体会特殊性，走进史海找出勾股数组，能进行验证，加深勾股定理逆定理的应用能力。第四层：勾股定理与逆定理的综合应用求一求一个机器零部件形状如图示，∠A=90°，AB=4，AD=3DC=12，BC=13，按规定∠BDC=90°，请你检测一下该零件33412BADC1313要求：学生分析后，试着自己写出过程。意图：通过做题分清勾股定理与逆定理的使用条件，相互结合使用，解决实际问题。（四）测疑—巩固检测学生的目标达成度巩固检测（A）层1、△ABC中，如果BC²=AB²+AC²,则△ABC的直角是（）。A、∠AB、∠BC、∠CD、不确定2、一个三角形的三边长为15cm，20cm，25cm，则这个三角形的面积是。（B）层3、若△ABC的三边a、b、c满足∣a-6∣++（c-10）²=0则△ABC是。4、一个三角形三边长为a，b，c，且a²-b²=c²，此三角形是直角三角形吗？(C)层5、如图，∠A=∠D=90°，AB=CD=12cm，AD=BC=25cm，E是AD上一点，，且AE=16cm。试判断∠BEC是否为直角，并说明理由。要求：A、B层采用抢答，小组一名同学展示，C层采用笔答，推荐一名较好的学生展示。意图：分层出题，由易到难，满足学生不同层次学生的思维（五）拓疑—拓展学生的探究三角形形状的通法拓展提升动手操作：1、△ABC的三边长为a、b、c，（1）a=6，b=8，c=9，比较a²+b²与c²的大小；(2）作出△ABC，度量内角度数，判定△ABC的形状2、（1）a=6，b=8，c=11，比较a²+b²与c²的大小；（2）作出△ABC，度量内角度数，判定△ABC的形状。要求：让学生继续通过“找—算—看”三步，得到相应的数量关系，再尺规作图、度量发现三角形的形状。意图：从探究勾股定理逆定理的思路引入，继续由边长判定锐角三角形、钝角三角形，发展研究数学问题方法的通性，继续渗透数形结合思想。课堂小结请同学们数一数自己的知识百宝箱里又添入了哪些知识宝贝？布置作业A、必做题1、总结直角三角形的判定方法；2、习题7.4A组题；B、选做题习题7.4B1、2题。[学情分析]7.4勾股定理逆定理知识能力储备互逆逆命题、互逆定理的定义与组成，真假命题的定义，勾股定理，无理数，尺规作图。能说出一个命题的逆命题，能判断真假命题，会用勾股定理，能进行无理数的运算，会尺规作图。发展勾股定理的逆定理的探索与应用，以及勾股定理与其逆定理的综合应用。发展从特殊到一般的概括能力，学会了由边长判定直角三角形的方法和步骤，发展了由数到形的转化思想。延伸由边长判定直角三角形延伸到由边长判定锐角三角形和钝角三角形延伸边长判定直角三角形的方法和步骤，变化边长，数量关系相应变化，对应出现锐角三角形和钝角三角形，发现了由边长判定三角形形状的通法，学会了代数法判定几何图形的方法。[效果分析]7.4勾股定理逆定理较好（A）良好（B）一般（C）探究勾股定理逆定理过程，即计算、作图、度量，类比发现总结过程。A（熟练计算、作图、度量，准确类比发现由边长判定直角三角形的方法）总结由边长判定直角三角形的方法，描述勾股定理逆定理内容凝练准确程度。A（准确用语言描述勾股定理逆定理的内容）用图表分析具体的勾股定理逆定理图形语言和数学语言的准确程度A（能清晰准确呈现勾股定理逆定理图形语言和数学语言）讨论交流由边长判定直角三角形的步骤，交流状态和交流结果。A（能全面准确总结由边长判定直角三角形的步骤）用勾股定理的逆定理判定直角三角形的A、B组训练A（A组做题速度快，准确率较高）B（B组做题速度需提高,需加强变式训练。）识别勾股数组的题目训练第1题和第2题A（A组做题速度快，准确率较高）与勾股定理的综合应用B（解题思路正确，解题过程，步骤欠规范。）拓展提升A（熟练计算、作图、度量发现相应的结论）[教材分析]7.4勾股定理逆定理内容分析方法分析第一部分先引导学生说出勾股定理的逆命题，然后通过实验、操作等活动，由边长分别为3,4,5和5,12,13的三角形具体例子出发，通过计算发现三边的长都满足a2+b2=c2，通过检验发现它们都是直角三角形，利用“同一法”给出一般性的证明，得到勾股定理的逆定理。整个过程是由特殊到一般的方法，发展了学生合情推理到演绎推理的过程。第二部分在计算检验操作后，学生发现了由边长判定一个三角形是直角三角形，用三角形的数量关系，判断三角形的性质。感受数学内数与形的转化，体验对图形的研究可以借助代数的方法实现，实质是运用代数的方法解决几何问题。第三部分例1是勾股定理逆定理的直接运用。第（1）问满足a2+b2=c2，是直角三角形，第（2）问a2+b2≠c2，不是直角三角形，反面应用勾股定理逆定理。第（3）题把边长为3,4,5的直角三角形各边同时扩大（或缩小）相同的倍数，还是直角三角形，可以理解为边长之比3:4:5的三角形是直角三角形。在第（2）题中，通过勾股定理的逆定理的反面说明解答依据。在第（3）题中，通过倍数的扩大，蕴含相似三角形的观点。第四部分例2勾股定理与其逆定理的综合应用，先用勾股定理求出BD的长，再用其逆定理判断⊿BCD为直角三角形。勾股定理是从形（直角三角形）到数（两边之和等于第三边的平方），而其逆定理是从数到形。继续锻炼数形结合思想。第五部分“史海漫游”介绍勾股数组的历史发展进程，使学生了解勾股数的一般表达形式。让学生学会从形式上看是不是正整数，利用勾股定理逆定理检验是否满足较小两数的平方和等于较大数的平方。评测练习一、用勾股定理的逆定理判定直角三角形A层：（口答）1、a、b、c分别是△ABC的三条边的长，判断△ABC是不是直角三角形（1）a=1，b=，c=；（2）a=2，b=3，c=4.B层2、一个三角形三边长为a，b，c，且a²-b²=c²，此三角形是直角三角形吗？3、设x>0，如果三角形的三边长分别为3x，4x，与5x，判断这个三角形的形状。二、纵向加深勾股定理逆定理的应用，识别勾股数组。1、0.3,0.4和0.5是勾股数吗？你能说出几组勾股数吗？2、请同学们走进史海里漫游，找一找还存在哪些勾股数组的形式，并验证？三、横向拓宽勾股定理与逆定理的综合应用求一求一个机器零部件形状如图示，∠A=90°，AB=4，AD=333412BADC符合要求吗？四、巩固检测（A）层1、△ABC中，如果BC²=AB²+AC²,则△ABC的直角是（）。A、∠AB、∠BC、∠CD、不确定2、一个三角形的三边长为15cm，20cm，25cm，则这个三角形的面积是。（B）层3、若△ABC的三边a、b、c满足∣a-6∣++（c-10）²=0则△ABC是。4、一个三角形三边长为a，b，c，且a²-b²=c²，此三角形是直角三角形吗？(C)层5、如图，∠A=∠D=90°，AB=CD=12cm，AD=BC=25cm，E是AD上一点，，且AE=16cm。试判断∠BEC是否为直角，并说明理由。五、拓展提升动手操作：1、△ABC的三边长为a、b、c，（1）a=6，b=8，c=9，比较a²+b²与c²的大小；(2）作出△ABC，度量内角度数，判定△ABC的形状2、（1）a=6，b=8，c=11，比较a²+b²与c²的大小；（2）作出△ABC，度量内角度数，判定△ABC的形状。[课后反思]7.4勾股定理逆定理数学喜欢思考，学数学需要思考，教数学更等待思考，因此我在实际数学教学中不断反思琢磨改进，期待着反思之花长开，反思之果香甜。带着这份美好的期待，我反思了我的《勾股定理的逆定理》教学。教学设计的反思，以问题为纲领，问题的联系为纽带，纵向由浅入深，横向拓宽知识联系，形成了问题网络。本节课的问题设置，从两个简单的数字计算、尺规作图和度量引入，门槛低，大多数学生都能积极参与，容易发现相同的结论，特殊到一般的结论应运而生。问题的深化，从以上探究问题的条件和结论过程，凝练概括概念，牵引学生寻找问题重点，加以润色加工，形成严谨的数学概念，，做到了具体到抽象。问题的浅显化，将文字语言转化为相应的数学符号和图形语言，为应用做好了铺垫。在应用过程中，问题从怎么用，到具体单方面用，特殊用，横向拓综合用。学生学习过程的反思，学生在问题的引领启发下，从简单的问题思考、操作检验，能主动发现结论；在问题的具体剖解下，学生能找到问题的导向，学会了如何应用；在不同深度的题目中，学生熟用了定理；在问题的变化中，学生找到了变化规律，发现了问题通法。以上是我满意的反思，我下面有待改进的反思。我的预设与生成有差距。原因我高估了学生的能力，安排的题量较多，在课堂处理上速度较快，没能照顾到学生的实际做题结果，需要根据实际相应删减，增加检查学生的实际掌握情况。其次，教学方法的有待改进。特别是C层综合性题目，需要先让学生思考解题策略，积极发言，在写出解题步骤，再回答解题过程会事半功倍，而我因为时间关系，让学生直接写出解题步骤，再回答解题过程会事倍功半。我会在反思后改进，期待多的收获。[课标分析]7.4勾股定理逆定理课标要求：探索勾股定理逆定理，能用勾股定理逆定理解决实际问题。课标分析：探索勾股定理逆定理过程 直角三角形（a、b直角边，c斜边）a2+b2=c2类比猜想三角形（a、b、c为三边）猜想直角三角形类比猜想（a2