上海2023年高中数学考点梳理01：导数

上海高中数学考点梳理01导数1导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义：称函数＝()在＝处的瞬时变化率xxyfx0limf(xx)f(x)limy为函数＝()在＝处的导数，记作′()或′|＝，即xxfxyxx00000yfxxxx0f(x)limlimf(xx0yx)f(x)x.000xx0x02．函数f(x)的导函数f(x)limf(xx)f(x)称函数为()的导函数．fxxx0s83t2.例题一质点运动的方程为1（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）【小结】1.根据导数的定义求函数yf(x)在点x处导数的方法：0①求函数的增量yf(xx)f(x)；00yf(xx)f(x)②求平均变化率；00xxyf(x)lim，简记作：一x0③得导数差、二比、三极限.x02.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数f(x)＝xn(n∈Q*)f(x)＝sinx)f′(x)＝0f′(x)＝nxn－1f′(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf′(x)＝axlnaf(x)＝cosxf(x)＝axf(x)＝exf′(x)＝ex1lnaf(x)＝logaxf(x)＝lnxf′(x)＝x1xf′(x)＝2．导数的运算法则（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；f(x)'f'(x)g(x)g'(x)f(x)（3）g(x)g(x)2(g(x)≠0)．(4)复合函数的导数和函数y＝f(g(x))的导数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数xu与u对x的导数的乘积．复合函数例题2已知下列四个命题，其中正确的个数有（）①(2x)'x2x1，②(sin2x)'cos2x，③(logx)'axlna（a0aa1，且），④(ln2)'12A．0个B．1个C．2个D．3个．若f(1)eex例题3设函数f(x)4，则a=_________．xa3(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.()在点处的导数′()的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(，())处的切线的斜率(速度就是位移函数s(t)xfxxfxfxxx000处的切线方程为（）44C在点处的切线方程为，则（）B．C．D．A．【小结】：导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．混淆．切线，同样，直曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数()的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝′()(－)，并化简．fxxx0fx0yf(x)设出切点(x0，y0)，解方程组yy0f'(x)1xx000(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则(xy)得切点，，进而确定切线0010方程．4必考点2导数的几何意义--求切点坐标1(x0)上点处的切线垂直，则的坐标为_____．例题6设曲线ye在点（0,1）处的切线与曲线yxx例题7在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点（，为自然对数xOy=ln-e-1)(eAyxAA的底数），则点的坐标是____.必考点3导数的几何意义--求参数的值(范围)f(x)axlnx的图象上存在与直线x3y40垂直的切线，则实数的取值范围是（）8若函数例题a10[,)310(,)D．3A．[3,)B．(3,)C．2fxx3x2ax1上存在9【多选题】已知曲线3例题两条斜率为横坐标都大于3的不同切线，且切点的零，则实数a可能的取值（）19A．610C．39D．2B．3yax1ea________x在点处的切线的2，则例题10曲线0，1斜率为．巩固练习：fxyfx0，0()．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为a1x2ax1．设函数fxx3yx．yxD．A．y2x2B．Cyx152．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（）xB．y=2x+1C．y=x+11D．y=x+112A．y=2x+12223．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3D．14．曲线yxex1在点（1,1）处切线的斜率等于（）.2eA．B．eC．25与相切，则实数（）kx3B．41C．23D．2A．26．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=x2+f'（2）lnx，则f'（2）的值为（）D．9A．6B．7C．87.某物体运动规律是＝－4t＋5，若此物体的瞬时速度为st0，则t＝)(232.521C．___________．2，则A．B．D．8．曲线y3(x2x)ex在点处的切线方程为(0,0)9．曲线ylnxx1的一条切线的斜率为该切线的方程为________.10.在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.xycosx在点处的切线方程为0,111．曲线__________.212．曲线y3(x2x)ex在点处的切线方程为(0,0)___________．y2lnx在点1,0处的切线方程为13．曲线__________．14.在平面直角坐标系xoy中，点底数）上，且该曲线在点经过原点，A在曲线A处的切线yex（e为自然对数的则点A的坐标是______.yxax在处的切线与直线x1yx平行，则21___________．a的值为15．已知曲线3________.f(2)f(x)x2f(1)x3，则16.已知函数34e1x上，为曲线在点处的切线的取值17.已知点在曲线y倾斜角，则的范围是____PPyxy2lnxmm__________.相切，则18.直线与曲线19．已知函数f(x)aelnxlna．x1（1）当ae时，求曲线两坐标轴围成的三角形的面积；yfxf=（）在点（1，（1））处的切线与62.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.例题已知函数11()=sin2xsin2x.fx（1）讨论()在区间(0，π)的单调性；fx1fxx2axa1lnx，a1.例题已知函数122f(2)0，求（Ⅰ）若a的值；'fx（Ⅱ）讨论函数的单调性。.【小结】关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域1.利用导数研究函数的单调性的.2.当f(x)含参数时，对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的需依据参数取值标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内；(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小．7必考点5求函数的单调区间f(x)xebx，曲线yf(x)在点处的切线方程为(2,f(2))y(e1)x4，例题设函数13ax（1）求a，b的值；（2）求.f(x)的单调区间【小结】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)符号，从而确定单调区间．“∪”及“或”连接，“，”“和”字隔开．温馨提醒：所求函数单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集只能用8

必考点6利用函数的单调性解不等式例题【多选题】设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′（x），g'（x）为其导函数，当x＜014fxgxfxgxfxgx时，′（）（）+（）'（）＜0且g（﹣3）＝0，则使得不等式（）（）＜0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞,﹣3）B．（﹣3,0）C．（0,3）D．（3,+∞）fx的导函数为f'xfxf'x2，f02020，则不等式，若例题设定义在R上的函数15exfx2ex2018（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．0,B．2018,C．2020,D．,02018,【小结】比较大小或解不等式的思路方法(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．必考点7利用函数的单调性比较大小，且函数yfx2的图象关于直线x2对称，当x0,例题已知函数yfx的定义域为,161aflog3,blog9,cf时，fxlnxf'sinx（其中f'xfx是的导函数），若，3213则a,b,c的大小关系是（）A．bacC．cbaD．bcaB．abc2)上的函数f(x)，f(x)是f(x)的导函数，且恒有cos()sinxf(x)0成xfx0,例题【多选题】已知定义在(17立，则（）A．f()＞2f()B．3f()＞f()C．f()＞3f()D．2f()＞3f()64636364fxfx的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将fx，1【小结】在比较fxfx，，，12nfx通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．fx，，2n9f(x)x2alnx1在内不是单调函数，则实数18已知函数,28,2,8C．D．2,8B．fxexae=________x（为常数）．若（）为奇函数，则；若（）是上的增函数，Rafxafx例题af′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转区间，实际上就是从而转化为不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从yx4x22的图像大致为20（2018·全国高考真题（例题文））函数A．B．C．D．yf(x)的导函数yf，(x)的图像如图所示，则函数f(x)的图像可能是A．B．C．D．【小结】函数图象的(1)从函数的判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的(3)从函数的奇(4)从函数的辨识主要从以下方面入手：定义域，变化趋势；偶性，判断图象的对称性；特征点，排除不合要求的图象.10(1)函数的极小值：x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．f(x)(x2ax1)e的极值点，则f(x)的极小值为（x1B．2eC．5e3D3例题设函数23在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.11fxfx，有极值，且导函数的极值点是的零点。（极值fx=xax2bx1(a0,bR)例题已知函数324点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b²>3a;这两个函数的之和不小于-72，求a的取值范围。所有极值fxfx（3）若，，【小结】1.两点说明：充要条件是（1）可导函数y＝f(x)在点x处取得极值的f′(x)＝0，且在x左侧与右侧f′(x)的符号不同；000（2）若f(x)在(a，b)有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减函数没有极值．2.求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；符号，大值，如果左负右正，(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的如果左正右负，那么f(x)在x0处取极那么f(x)在x0处取极小值．3.由函数极值求参数的值或范围．讨论极值点有无(个数)．然后由已知)问题，转化讨论f′(x)＝0根有无(个数条件列出方程或不等式求出参数值或范围，特别注意：极值点处导数为0，而导数为0点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号12必考点11利用导数研究函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．f(x)2x3ax22.例题25已知函数（1）讨论f(x)的单调性；（2）当时，记0<a<3fx在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围0,1()MmMm.f(x)excosxx．例题26已知函数（Ⅰ）求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程；π[0,]f(x)在区间上的最大值（Ⅱ）求函数和最小值．2【小结】1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值(a，b)内的极值；端点处的函数值f(a)，f(b)；将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2．求函数在(或开区间)上的最值，和最小值的步骤：第一步，求函数在第二步，求函数在区间第三步，无穷区间不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．13必考点12函数极值与最值的综合问题f(x)(xk)ex（）．R例题27已知函数k（1）求f(x)的单调区间和极值；x1,2（2）求f(x)在上的最小值．f(x)(xa)(xb)(xc),a,b,cR，()为（）的导函数．例题28设函数f'xfx（1）若==，（4）=8，求的值；abcfa{3,1,3}（2）若abbc≠，=，且（）和fxf'(x)的零点均在集合中，求f（x）的极小值；4a0,0b1,c1，且（）的极大值为，求证（3）若fxM:≤．M27【小结】求解函数极值与最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小范围．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．141．函数fx的图像大致为()x2B．C．D．2．函数f(x)(x2)ex的单调递增区间是（）A．(,3)(0,3)B．(3,0)C．D．(3,)2,3在区间内单调递增，则实数的取值范围是（）bfxx33bx23．若函数b4A．B．b4C．b4D．b4＞f(0)f(x)f(x)10(x)为其导函数，且，=2019，则不等式4．已知fx()为定义在R上的可导函数，fexf(x)ex＞2020(其中为自然对数的底数e)的解集为()A．(0.+∞)B．(-∞，0)∪(0，+∞)C．(2019，+∞)D．(-∞，0)∪(2019，+∞)fx有fxxf'x0恒成立，则x0时，f'x5.已知为函数的导函数，当下列不等式成立的是（）1111f2f1Bf2f1．C2ff1．D2ff1．A．2222fxx2mln1x有两个极值6．设函数m()点，则实数的取值范围是1111(1,)(0,)(0,](1,]A．B．C．D．2222fx3xxa5,2a17．若函数3在区间a上有最小值，则实数的取值范围是（）111,1,41,41,A．B．C．D．228．已经知道函数f(x)x32x在上，则下列说法不正确的是()．．．2[1,3]3B．最小值为A．最大值为90D．x是它的极大值点[1,3]f(x)在区间上单调递增C．函数15）13A．是函数fx的极小值点B．是函数fx的极小值点C．函数fx在区间3,1上单调递增fx在x0处切线的斜率小于零D．函数10.【多选题】已知函数fxex，则（）lnxA．x0,1时，fxB．fx有且仅有一个极值点x的图象位于轴下方C．fx有且仅有两个极值点D．fx在区间1,2上有最大值11.已知函数fxxlnxa2x2xaaR在其定义域内有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是______．12.函数f(x)sinx1sin2x的最大值为________．213．若函数fxx3ax23x112在区间,1上单调递减，则实数的取值范围为__________.a14．已知函数f(x)x3kxk2．（1）讨论f(x)的单调性；15.已知函数f(x)2x3ax2b.（1）讨论f(x)的单调性；（2）是否存在a,b，使得f(x)在区间[0,1]1的最小值为且最大值为1？若存在，求出a,b的所有值；若不存在，说明理由.16x2．函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．f(x)sinxln(1x)，(x)为30已知函数f(x)的导数．证明：例题f(1,)f(x)在区间存在唯一极大值点；（1）2（2）f(x)有且仅有2个零点．【小结】利用导数研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法．借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．(2)数形结合法求解零点．对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．(3)构造函数法研究函数零点．①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相转互化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．17C．D．1f(x)exa(x2).例题已知函数32（1）当a1时，讨论()fx的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.【小结】与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与轴的位置关系，交点问题．进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的18必考点15与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题x2ax2a,x1,2fx()aR，设函数()0fxxa若关于的不等式在上恒成立，则的取R例题33已知xalnx,x1,值范围为（）1,eD．A．0,10,20,eB．C．f(x)(x1)lnxa(x1).例题34已知函数a4时，求曲线yf(x)在处的切线方程；1,f(1)（I）当x1,f(x)＞0时，，求的取值范围a.（Ⅱ）若当【小结】1.不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．恒成立f(x)aminf(x)a：有解f(x)amax无解f(x)amax即可)或afxafx恒成立（2.不等式恒成立问题常见方法：①分离参数afx恒成立(afxmaxmin即可）；②数形结合(yfxfx0fx0恒成立；minmax图象在上方即可)；③讨论最值或ygx④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.19f(x)1xx3x5x7x9xx13f(x1)0成立的，则使不等式x的最小整数为35791113A．-3B．-2C．-1D．0fxexax2．例题36已知函数x0时，fx1；（1）若a1，证明：当（2）若在只有一个零点，求的值fxa.【小结】1.无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.2.利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数3.不等式存在性问题的求解策略h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使“恒成立”是求最大值还是最小值．特别需关要注等号是否成立，以免细得f(x)≥g(a)成立，fx应求()的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最节出错．20必考点17用导数研究生活中的优化问题例题中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后，375t25,tN*，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔2025发车时间间隔t（单位：分钟）满足t相关：当t5t20时，载客量会在满载基础20数与t2成上减少，减少的人1000时高铁为满载状态，载客量为人；当t分钟时，高铁载客量为Pt.5100且发车时间间隔为分钟时的载客量为人正比，.记发车间隔为1求Pt的表达式；2若该线路发车时间间隔为tt分钟时的净收益QtPt40t2650t2000（元），当发车时间间隔为多少4Qt时，单位时间的净收益最大？t21例题38如图，某隧道的剖面图是由半圆及矩形ABCD组成，交通部门拟在隧道顶部安装通风设备（视作点），PA,B两点分别使用钢管支撑.已知道路宽AB8cm，设备要求安装在半圆内部，所使用的钢管总长度为.L（1）①设PQx，将L表示为关于的函数；x，将L表示为关于的函数；（2）请选用（1）中的一个函数关系式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？【小结】利用导数解决生活中的优化问题的步骤第一步:分析实际问题关系，构建数学模型，写出实际问题第二步:求函数f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0中各量之间的中变量之间的函数关系式y＝f(x)第三步:比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值第四步:回归实际问题，给出优化问题的答案22巩固练习：x,x0a,bRf(x)．若函数yf(x)axb恰有3个零点，则（）1．已知，函数11x3(a1)x2ax,x032A．a<–1，b<0B．a<–1，b>0C．a>–1，b<0D．a>–1，b>02.若不等式mexlnmlnx11恒成立，则正数的取值范围为（）me,C．1,A．e,e,eB．D．yfxa,bxa,b，若存在区间，当时的值域为ka,kbk0yfxk3.对于函数，则称为倍值函数