考研数学(一)历年真题(1990-2021)

PAGEPAGE1291990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)xt2M21)

y4垂直的平面方程是 .zt1设a为非零常数,则lim(xa)x= .xxaf(x)

1 x0 x

,则f[f(x)]= .2 积分0xx2

dy的值等于 .(5)已知向量组α1(1,2,3,4),α2(2,3,4,5),α3(3,4,5,6),α4(4,5,6,7),则该向量组的秩是 .(5小题,3分,15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)f(x是连续函数,F(x)exf(t)dtF(x等于xex

f(ex)f(x)

ex

f(ex)f(x)ex

f(ex)f(x)

ex

f(ex)f(x)已知函数f(x)具有任意阶导数,f(xf(x)]2n2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是(A)n![f(x)]n1 (B)f(x)]n1(C)[f(x)]2na

[sin(na)1]

(D)n![f(x)]2n设

为常数,则级数 2n1nn(A)绝对收敛 (B)条件收敛nn(C)发散 (D)收敛性与a的取值有关f(xx0的某个邻域内连续,f(0)0lim

f(x)

2,则在点x0处x01cosxf(x)(A)不可导 (B)可导,且f(0)0(C)取得极大值 (D)取得极小值已知、β2b的两个不同的解α1、α2是对应其次线性0的基础解析k2为任意常数,b的通解(一般解)必是kα

k

α)β1β2

kα

k

α)β1β211 2 1 2 2 11 2 1 2 2kα

k

β)β1β2

kα

k

β)β1β211 2 1 2 2 11 2 1 2 2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)1ln(1x)(1)求0(2x)2dx.2zzf(2xyysinxf(uv)具有连续的二阶偏导数,求xy.y4y4ye2x的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数(2n1)xn的收敛域,并求其和函数.n0五、(本题满分8分)求曲面积分Iyzdzdx2dxdy其中S是球面x2y2z24外侧在z0的部分.S（7分）设不恒为常数的函数

f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)f(b).证明在(a,b)内至少存在一点,使得f()0.（6分设四阶矩阵

1 1 0 0 2 1 3 40 1 0 0 2 1 3B ,C 0 0 1 A

0 0 0 1 0 0 0 2A(EC1B)CE其中E为四阶单位矩阵,C1表示C的逆矩阵,C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.（8分）

x24x24x24xx4xx8xx

成标准型.（8分

1 2 3 12 13 23PAB为直径的半圆周,2运动到点B(34)F作用(见图FP与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OPy轴正向的夹角小于.求变力F对质点P所作的功..2十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)Xf(x)1exxX的概率分布函数2F(x)= .设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.40.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率P(AB)= .X2(Poisson)

分布,即2ke2P{Xk} ,k!

则随机变量

Z3X2

的数学期望E(Z)= .十一、（本题满分6分）设二维随机变量(X,Y)在区域D:0x1,yx内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z2X1的方差D(Z).1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)x1t2 d2y2设2

ycost,则dx2= .x2yx2y2z2分dz=

zz(x,y)在点0处的全微已知两条直线的方程是

:x1y2z3;l

:x2y1z.则过l且平行1 1 0

1

2 1 1 1于l2的平面方程是 .1已知当x0时,ax2)31与x1是等价无穷小,则常数a= .52002100设4阶方阵A ,则520021000 0 1 2 0 0 1 1 (5小题,3分,15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)1ex2y

21ex2没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线f(x)f(x)f(t)dtn,则f(x)0 2(A)exln2 (B)e2xln2(C)exln2 (D)e2xln2 (3)已知级数()n1a,a,则级数an1

nn1

2n

nn1(A)3 (B)7(C)8 (D)9Dxoy上以)和为顶点的三角形区域D在第一象限的部分,则(xycosxsiny)dxdy等于D(A)2cosxsinydxdyD1(C)4(xycosxsiny)dxdyD1

(B)2xydxdyD1(D)0设nA、B、CABCE其中E是n阶单位阵,则必有(A)E (B)EE (D)E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)limx0

x)2.n是曲面2x23y2z26在点)处的指向外侧的法向量求函数6x28y2u P6x28y2z(x2y2z)dv其中是由曲线z4所围城的立体.四、(本题满分6分)

y22zz绕 轴旋转一周而成的曲面与平面zx0过点O(00)0)yasinx(a0)中,L,使沿该曲线O从A的积分(1y3)dx(2xy)dy的值最小.L五、(本题满分8分)n1n1f(x)2x(1x1)将函数的和.（7分

展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数2n11设函数f(x)在[,]上连续,(,)内可导,且32f(x)dxf(0证明在(,)内存在一13点c,使f(c)0.（8分）已 知 α10,2,α2a2,4,a8) 及β(1,1,b3,5).a、b为何值时β不能表示成α1α2α3α4的线性组合?a、b为何值时β有α1α2α3α4的唯一的线性表示式?写出该表示式.（6分）设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明AE的行列式大于1.（8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)若随机变量X服从均值为2、方差为的正态分布X则P{X= .随机地向半圆0y 2axx2(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为 .4十一、（本题满分6分）设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)求随机变量ZX2Y的分布函数.

2e(x2y0

x0,y0其它1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)设函数yy(x)由方程exycos(xy)0确定,则dy= .dx函数uln(x2y2z2)在点M2,2)处的梯度uM= .设f(x于

11x2

x0,则其以2为周期的傅里叶级数在点x处收敛0x微分方程yytanxcosx的通解为y= . ab ab abA

21 21

n,

0,b

0,(i1,2,,n).则矩阵A的秩 i iab ab abn1 n2 nnr(A)= .(5小题,3分,15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)x1时,

x21x1

1ex1的极限等于2 (B)等于0cos)((C)为 (D)不存在但不为cos)(级数n1

(1)n(1 an

常数a0)(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与a有关xtyt2zt3的所有切线中,x2yz4平行的切线只有1条 (B)只有2条(C)至少有3条 (D)不存在f(x3x3x2xf(n)(0n为(A)0 (B)1(C)2 (D)31 0 2要使ξ10,ξ 1 都是线性方程组0的解,只要系数矩阵 22 2 (A)21 2

2 0(B)

1 0 1 1 1 0 2

0 1 (C)

(D)4 2 20 1

0 1 1三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)exsinx11111x2x0zf(exsinyx2y2f具有二阶连续偏导数,求

2zxy.1x2

x0 3设f(x

e

x0,求

f(x四、(本题满分6分)求微分方程y2y3ye3x的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分(x3az2)dydzy3ax2)dzdxz3ay2)dxdy,其中为上半球a2a2x2y2面z

的上侧.（7分）设f(x)0,f(0)0,证明对任何x10,x20,有f(x1x2)f(x1)f(x2).（8分） 在变力Fyzizxjxyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面x2y2z2

M(,,),

F Wa2

c2 1

问当 、

取何值时,力

所做的功 最大?并求出W的最大值.（7分）设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问:(1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论.(2)(2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.（7分）设3阶矩阵A1,2,3,1 1 1 1ξ1,ξ2,ξ3,又向量β2.1

3 1 4 3 1 4 3 将β用ξ1ξ2ξ3线性表出.Anβ(n为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)PAP(B)P(C)1PAB0PACP(BC)1AB、4 6C全不发生的概率为 .设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E{Xe2X}= .十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N2),Y服从[]上的均匀分布,试ZXY(,t22(x)12

e2dt).1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)tx1(1)F(x)1(2tx1

)dt(x0)的单调减少区间为 .

3x22y212z0

绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为 .

f(x)xx2(x)

的傅里叶级数展开式为a0(acosnxb

sinnx), 2 n 2n1

则其中系数的值为 .设数量场uln x2y2z2,则div(gradu)= .nA的各行元素之和均为零,An0的通解为 .(5小题,3分,15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)f(xsinxsin(t2dtg(xx3x4x0时,f(x)g(x)的0等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小 (D)低价无穷小双纽线(x2y2)2x2y2所围成的区域面积可用定积分表示为24cos0

44cos020

cos2d

12

4os)20设有直线

:x1y5z8与

xy:

则l与l的夹角为(A)6

1 1 2

2 2yz3 1 243

2设曲线积分 [f(t)ex]sinf(x)与路径无关,其中f(x)具有一阶连L续导数,且f(0)0,则f(x)等于(A)

exex2

(B)

exex2(C)

exe2

11 2 3

(D)1

exex2已知Q2 4 t,P为三阶非零矩阵,且满足PQ0,则 3 6 9(A)t6时P的秩必为1 (B)t6时P的秩必为2t6时P的秩必为1 (D)t6时P的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)求lim(sin2cos1)x.x x x求

x

exex1x2yxyy2yx2y2四、(本题满分x2y2

x11的特解.计算2zzzzx

其中 是由曲面z 与2x22x2y2五、(本题满分7分)求级数n0

(1)n(n2n2n

的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在[0,)上函数

f(x)有连续导数,且

f(x)k0,f(0)0,证明

f(x)在(0,)内有且仅有一个零点.(2)设bae,证明abba.（8分）1 2 3 1 2 3 2已知二次型f(x,x,x)2x23x23x22axx(a1 2 3 1 2 3 21 2 fy22y25y2求参数a及所用的正交变换矩阵1 2 （6分）设A是nm矩阵,B是mn矩阵,其中nm,I是n阶单位矩阵,若ABI,证明B的列向量组线性无关.（6分）设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为 .X服从(02)上的均匀分布,则随机变量YX2在(04)内的概率分布密度fY(y)= .十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率分布密度为f(x)1ex,x.2XEX.XX的协方差,XX是否不相关?问X

是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)lim1 1)= .x0

sinx x曲面zex2xy3在点2,0)处的切平面方程为 .e sin 设ux xe sin y

2u

1在点(2, )处的值为 .D2 2 D

x2 y2Dx

R,则(a2b2)dxdy= .已知

α2,3],β 1,2,

设Aαβ,

其中α

是α的转置,则An= .(5小题,3分,15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)设 M 21x

cos4xdx,N

2(sin3xcos4x)dx,P

2(x2sin3xcos4x)dx,则有2 2 2(A)NPM(C)NMP

(B)MPN(D)PMNf(xy)在点(x0y0)fx(x0y0、fx0y0f(x,y)在该点连续的充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件ann2ann2n设常数0,且级数nn1

a2收敛,则级数

n1

(1)n(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与有关

atanxb(1cos

2,其中a2c20,则必有x0cln(12x)d(1ex2)b4d(C)a4c已知向量组α1α2α3α4线性无关,则向量组

b4d(D)a4c(A)α1α2α2α3α3α4α4线性无关(Bα1α2α2α3α3α4α4线性无关(Cα1α2α2α3α3α4α4线性无关(D)α1α2α2α3α3α4α4线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)2xcos(t2)22dy d2y t2设

ytcos(t2)t1

1cosudu,求dx、dx2在u2u

的值.f(x)1ln1x1arctanxxx的幂级数.4 1x 2求 dx sin(2x)2sinx四、(本题满分6分)计算曲面积分

xdydzz2dxdy2 2 2

其中S是由曲面

x2y2R2及S xyzzR,zR(R0)两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设 f(x)

具 有 二 阶 连 续 函 数 ,f(0)0,f(0)且[xy(xy)f(x)y]dx[f(x)x2y]dy0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设f(x)在点x0的某一邻域内具有二阶连续导数,且limf(x)0,证明级数x0 x 1nf()绝对收敛.nn1（6分）AB的直角坐标分别为00)与ABx轴旋转一周所成的旋SSz0z1所围成的立体体积.（8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为

x20,x2x40又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)k2(1,2,2,1).求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.（6分）An阶非零方阵A*A的伴随矩阵AA的转置矩阵,A*A时,证明A0.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)已知A、B

P(AB)P(AB),且

P(A)p,则P(B)= .X,Y具有同一分布率,X的分布率为XX01P1212则随机变量Zmax{X,Y}的分布率为 .十一、（本题满分6分）设随机变量XY分别服从正态分布N32)N(042XY的相关系数1,设ZXY,xy 2 3 2(1)ZEZDZ方差.(2)求X与Z的相关系数z.(3)问X与Y是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2(1)lim(13x)sinx= .x0d(2)

0xcost2dt= .dxx2 (3)设(ab)c2,则[(ab)(bc)](ca)= .n1 n x2nn1(4)幂级数2n(3)n

的收敛半径R=

1 0 03 3 1 (5)

AB

A1BA6ABA,

且A0 0,则 4 1B= .

0

7(5小题,3分,15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)x3y2z10(1)设有直线L:

2xy10z3

,及平面:4x2yz20,则直线L(A)平行于 (B)在上(C)垂直于 (D)与斜交(2)设在[0,1]上f(x)0,则f(0),f(1),f(1)f(0)或f(0)f(1)的大小顺序是(A)ff(0)ff(0)(C)ff(0)ff(0)

(B)fff(0)f(0)(D)ff(0)ff(0)f(x可导F(x)f(x)(1sinxf(00F(xx0处可导的充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件1n(C)必要条件但非充分条件 (D)1n设un

(1)nln(1

),则级数nn nn(A)un

与u2收敛 ()u

与 u2都发散nn1

n1

n1

n1nn nn()un

敛,而u2散 (D)u

收敛,而 u2发散nn1

n1

n1

n1a11

0 1 1 0 设

Aa a a,Ba a

1 0 0,P0 1 0,21 22 23 21 22 23

2 则必有

31 32 33

a32

a33

0 0 1 0 (A)=B (B)=BA=B (D)=B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)uf(xy2eyz0ysinx,其中0.求du.

f,都具有一阶连续偏导数,且z dx1 1 1设函数f(x)在区间[,]上连续,并设0f(x)x,求0xxf(x)f(y).x2y2四、(本题共2小题,每小题6分,满分x2y2计算曲面积分

zdS其中z

在柱体x2y22x内的部分.f(x)x1(0x24的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L位于平面xOy的第一象限内,L上任一点M处的切线与y轴总相交,交点记

33MAOA L过点L的方程.MAOA22六、(本题满分8分)设函数Q(x,y)在平面Oy上具有一阶连续偏导数,曲线积分L2xQ(,y)y与 ( 路径无关,并且对任意t恒有(0,0)2xydx Q(x,y)dy (0,0)2xydx Q(x,y)dy,求Q(x,y).（8分）假设函数

f(x)

g(x)

在[a,b]

上存在二阶导数,并且g(x)0,f(a)f(b)g(a)g(b)0,试证:在开区间(abg(x)0.在开区间(ab内至少存在一点使（7分）

f()g()

f().g()设三阶实对称矩阵A的特征值为1,23,01ξ1,求11（6分）

对应于1的特征向量为设A为n阶矩阵,满足AAI(I是n阶单位矩阵,A是A的转置矩阵),A0,求AI.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)X10次独立重复射击命中目标的次数,0.4,则X2的数学期望E(X2)= (2)设X和Y为两个随机变量,且P{X0,Y0}3,P{X0}P{Y0}4,7 7则X,Y).十一、（本题满分6分）X

fX(x)

e0

x0,x0求随机变量YeX的概率密度fY(y).1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)设lim(x2a)x则a= .xxa设一平面经过原点及点(624xy2z8垂直,则此平面方程为 .微分方程y2y2yex的通解为 .函数uln(x y2z2)在点处沿点A指向点B(3,2,2)方向的方向导数为 . 1 0 设A是4r(AB)= .

矩阵,且A的秩

r(A)2,

而B0 2 0,则1 0 3(5小题,3分,15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(xay)dxydy为某函数的全微分a则等于(xy)2(A)-1 (B)0ff(x)xf(x具有二阶连续导数,f(0)0limx0

1,则f(0f(x的极大值f(0f(x的极小值(0,f(0yf(x)的拐点f(0f(x的极值,(0,f(0))yf(x)的拐点

(n an

0(n

n1

n收敛,常数 (0,2),则级

n1

(ntann)a2n绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)散敛性与有关(4)设有f(x)连续的导数,f(0)0,f(0)0,F(x)x(x2t2)f(t)dt,且当x00时,F(x)与xk是同阶无穷小,则k等于(A)1 (B)2(C)3 (D)4(5)四阶行列式

a1a100b10a2b200b4a0b00a43 3a1a2a3a4(C)(a1a2)(a3a4)a1a2a3a4(D)(a2a3b2b3)(a1a4b1b4)三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)ra(1的全长,a0是常数.(2)设10,xn1 6xn(n2,试证数列{xn}极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)计算曲面积分(2xz)dydzzdxdySzx2y2(0x其S法向量与z轴正向的夹角为锐角.ux2y

2z

2z

2z

2z设变换

vxay可把方程6x2xyy20简化为uv0,求常数a.五、(本题满分7分) 1n1求级数(n21)2n1六、(7分)

的和.设对任意x0,

曲线yf(x)

上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于1xf(t)dt,求f(x)的一般表达式.x0（8分）设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件

f(x)a,

f(x)b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内任意一点.证明

f(c)2ab.2（6分）设AIξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明A2A的充分条件是ξTξ1.当ξTξ1时A是不可逆矩阵.（8分）已知二次型f(x,x,x)5x25x2cx22xx

6x

6x

的秩为2,1 2 3 1 2 3 12 13 23求参数c及此二次型对应矩阵的特征值.f(x1x2x3)1表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)AB的产品的次品率分别为1%2%,AB的产品分别占6040的一批产品中随机抽取一件发现是次品则该次品属A生产的概率是 .12设是两个相互独立且均服从正态分布N(0,( )2)的随机变量,则随机变12的数学期望E()= .十一、（本题满分6分）是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量的分布率为P(i)1,i1,2,3.3又设Xmax(,),Ymin(,).写出二维随机变量的分布率:XY123123XEX).1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)3sinxx2cos1(1)lim xx0(1cosx)ln(1

= .(2(2设幂级数annn1

n的收敛半径为3则幂级数na(x1)n1的收敛区间为nn1 . 对数螺线e

在点(e2, )处切线的直角坐标方程为 .21 2 2设A4 t 3,B为三阶非零矩阵,且ABO,则t= . 3 1 1袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 .(5小题,3分,15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)f(xy

xyx2y2

(x,y)(0,

,在点(0,0)处0 (x,y)(0,0)(A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在b(C)不连续,偏导数存在 (D)连续,偏导数不存(2)设在区间[a,b]上f(x)0,f(x)0,f(x)0.令bS f(x)dx,

f(b)(ba),S1[f(a)f(b)](ba),1 a

2 3 2则S2S3(C)S3S1S2F(x)x2esintsintdtF(x)x

S2S3S2S3为正常数 为负常数(C)恒为零 (D)不为常数 c1 xy0,设α

a,αb,αc,则三条直线axbyc0,1 2 2

2

2

2 2 23

3

3

a3xb3yc30i (其中a2b20,i1,2,3)交于一点的充要条件是i (A)α1,α2,α3线性相关 (B)α1,α2,α3线性无关(C)秩r(α1,α2,α3)秩r(α1,α2) (D)α1,α2,α3线性相关,α1,α2线性无关X和Y42,则随机变量3X的方差是(A)8 (B)16(C)28 (D)44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)I(x2y2)dv其中为平面曲线与平面z8所围成的区域.

y22zz绕 轴旋转一周所成的曲面zx0x2y21(zy)dxxz)dyxy)dz,cc轴正向往z轴负向看c的方向是顺时针的.

从zxyz2在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为N,在t0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k0,求x(t).四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)xyb0l:

xayz3

在平面上,而平面zx2y2相切于点25ab之值.

2z2z2xx x设函数f(u)具有二阶连续导数,zf(esiny)x2

y2

z,求f(u).五、(本题满分6分)设f(x)连续(x)1f(t)t,且imf(x)(A为常数),求(x)并讨论(x)在0x0处的连续性.六、(本题满分8分)

x0 xa0,

1(a1)(n1,2,),证明n1 n1n

2 an anliman存在. (2)级数(

1)收敛.x

n1

an1七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)1 2 (1)设B是秩为2的54矩阵α2α4α58是齐次线性方程组Bx0的解向量,求Bx0的解空间的一个标准正交基1 2 1 2 1 2已知ξ1是矩阵A5 a 3的一个特征向量.

1

2ab参数及特征向量ξ所对应的特征值.A能否相似于对角阵?说明理由.（5分）设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.证明B可逆.AB1.（7分）3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,2X为途中遇到红灯的次数,X5数学期望.（5分）X

f(x) 0

0x1其它其中1是未知参数,X1,X2,,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)11x1x2x01

x2

2zzx

f(xy)y),f具有二阶连续导数,则= .(3)设l为椭圆x2y2其周长记为a,则(2xy3x24y2)ds= .4 3 LAn阶矩阵,AA*A的伴随矩阵En阶单位矩阵.A有特征值则(A*)2E必有特征值 .Dy1y0xxe2所围成,二维随机变量X,Y)x在区域D上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x2处的值为 .(5小题,3分,15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)f(x连续,则ddx

xtf(x2t2)dt=0(A)xf(x2) (B)xf(x2)(C)2xf(x2) (D)2xf(x2)f(x)(x2x2)x3x不可导点的个数是(A)3 (B)2(C)1 (D)0yy(x)x处的增量y的高阶无穷小,y(0),则y(1)等于

yx1

且当0时,是x(A)(B)e4

4

a b c

,

xa3yb3zc3

与直线2 2 2

aa bb cca b c

1 2 1 2 1 2xa1a2a3

y

3 3 3zc2相交于一点 重合(C)平行但不重合 异面B是两个随机事件,且0PP(B)0P(B|P(B|A),则必有(A)P(A|B)P(A|B)(C)P(AB)P(A)P(B)

(B)P(A|B)P(A|B)(D)P(AB)P(A)P(B)三、(本题满分5分)求直线l:x1yz1在平面xy2z10上的投影直线l的方程,并求l1 1 1 0 0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,使在右半平面x0上的向量A(x,y)2xy(x4y2)ix2(x4y2)j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y).五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水密度为,仪器所受的a2x2y2阻力与下沉速度成正比,k(k0yv所满足的微分方程,a2x2y2六、(本题满分7分)axdydz(za)2(x(x2y2z2)12于零的常数.七、(本题满分6分)

,其中为下半平面

z

的上侧,a为大sin sin求limn

sin.x n1

1 1 n

n n（5分）1 1n n设正向数列{an}单调减少,且(1)n1

an发散,试问级数(n1

)an1a

是否收敛?并说明理由.（6分）设yf(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.试证存在x0(0,1),使得在区间[0上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以yf(x)为曲边的曲边梯形面积.f(x在区间内可导,f(x2f(x证明(1)x是唯一的.x 0（6分）已知二次曲面方程x2ay2z22bxy2xz2yz4可以经过正交变换x yP化为椭圆柱面方程2424, z

十一、（本题满分4分）设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx0有解向量α,且Ak1α0.证明:向量组α,Aα,,Ak1α是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组(Ⅰ)

a11x1a12x2a1,2nx2n0a21a22x2a2,2nx2n0an1an2x2an,2nx2n0的一个基础解析为(b,b,,b

)T,(b,b,,b )T,,(b,

,,

)T.试写出线1112 1,2n

21 22 2,2n

n,2n性方程组的通解,并说明理由.

(Ⅱ)

b11y1b12y2b1,2ny2n0y2b2,2ny2n02y2bn,2ny2n0十三、（本题满分6分）设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0、方差为1的正态分布,求随机变量2XY

的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大?附:标准正态分布表

(x)

1t22ze22zz1.281.6451.962.33(x)0.9000.9500.9750.990十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.附t

P{t(n)tp(n)}p0.950.975351.68962.0301361.68832.02811999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)lim(1 1 )= .x0x2

xtanxd(2)dx

xsin(xt)2dt= .0y4ye2x的通解为y= .设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是 .设 两 两 相 互 独 立 的 三 事 件:ABC,P(A)P(B)P(C)1,2

B 和 C 满 足 条PABC

9,则P(= .16(5小题,3分,15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)f(x是连续函数F(xf(x的原函数,则当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数 (B)当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数(C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数 (D)当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数1cosxx0x(2)设f(x)xx2g(x

x

,其中g(x)是有界函数,则f(x)在x0处极限不存在 (B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导 (D)可导x 0x1 a (3)设f(x)22x

1x2

,S(x)0an2n12

cosnx,x,11

f(x)

(n0,1,2,),则S(5)等于21(A)23(C)4A是mn矩阵Bnm矩阵,mn时,必有行列式|AB|0

12(D)34当m

时,必有行列式|AB|0nm时,必有行列式|AB|

当n

时,必有行列式|AB|0X和YNN,则(A)P{XY12(C)P{XY12

(B)P{XY12(D)P{XY12三、(本题满分6分)设yy(x),zz(x)是由方程zxf(xy)和F(x,y,z)0所确定的函数,其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求dz.dx四、(本题满分5分)求IL

(exsinyb(xy))dx(excosyax)dy,其中a,b为正的常数,L为从点2axx2A(2a,0)沿曲线y 到点O(0,2axx2五、(本题满分6分)设函数y(x)(x0)二阶可导且y(x)0,y(0)1.过曲线yy(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0x]上以yy(x)为曲线的曲边梯形面积记为S22S1S2yy(x)的方程.六、(本题满分7分)论证:当x0时,(x21)lnx(x1)2.

恒为1,求曲线七、(本题满分6分)为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知30m,400N,50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?(说明:①1N1m=1Jm,N,s,J分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分)S x S x 设 为椭球面 2 2

z21的上半部分,点P(x,y,z)S,为S在点P处的切平面,y,z)为点O(0,0,0)到平面的距离,求z dS.S(x,y,z)九、(本题满分7分)00设an4tannxdx:n1(aa )n求n1

n n2

的值.0,

an试证:

级数收敛.nn1n十、(本题满分8分)aA

1 cb 3,其行列式|A|AA*有一个特征值 1c 0 a,属于的一个特征向量为α(1,1,1)T,求a,b,c和的值.0 0 0十一、(本题满分6分)Am阶实对称矩阵且正定Bmn实矩阵BT为B的转置矩阵,BTAB为正定矩阵的充分必要条件是Br(B十二、(本题满分8分)设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布率及关于X和关于Y的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.X Yy1y2y3P(Xxi)pix118x218P(Yyi)pj161十三、(本题满分6分)6x(x)0<xXf(x

,X,X

,,

是取自总体X的简单随机样本

1 2 n0 ˆ.(2)ˆ的方差Dˆ).2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)1(1)01

2xx2dx= .(2)曲面x22y23z221在点2,2)的法线方程为 (3)微分方程xy3y0的通解为 .1 2 1 1(4)已知方程组2 3 a2x3无解,则a= . 2 1 a 2x3 0(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1,A发生B不发生的概率与B发9生A不发生的概率相等,则P(= .(5小题,3分,15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)设

f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且

f(x)g(x)f(x)g(x)0,则当axb时,有f(x)g(b)f(b)g(x)

f(x)g(a)

f(a)g(x)f(x)g(x)f(b)g(b)

f(x)g(x)

f(a)g(a)1Sx2y2z2a2z0SS在第一卦限中的部分,则有1(A)xdS4xdSS (C)zdS4xdSS

(B)ydS4xdSS (D)xyzdS4xyzdSS 设级数un收敛,n1n1

(1)nunn

un2unn1()u2n1u2n)n1

(D)unun1)n1nα1,αm(mn)线性无关,n,βm线性无关的充分必要条件为向量组α1,αm可由向量组,βm线性表示向量组,βm可由向量组α1,αm线性表示向量组α1,αm与向量组,βm等价Aα1,αm)与矩阵Bβ1,βm等价设二维随机变量X,Y服从二维正态分布,则随机变量XY与

XY不相关的充分必要条件为(A)E(X)E(Y)(B)E(X2)[E(X)]2E(Y2)[E(Y)]2(C)E(X2)E(Y2)(D)E(X2)[E(X)]2E(Y2)[E(Y)]2三、(本题满分6分)1lim(2exsinx).求xxx

41ex四、(本题满分5分)x x

2z设zf(xy,y)g(y),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求xy.五、(本题满分6分)I取逆时针方向.

L

xdy4x2y2

,其中L是以点(1,0)为中心,R为半径的圆周(R1),六、(本题满分7分)设对于半空间

x

内任意的光滑有向封闭曲面S,都有f(x)zf(x)zxe2xzy,其中函数f(x)在(,)内具有连续的一阶S导数,limx0

f(x)1,求f(x).七、(本题满分6分) 1 xnn1求幂级数3n2)n1八、(本题满分7分)

n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k0),求球体的重心位置.九、(本题满分6分) 设函数f(x)在[]上连续,且0f(x)x,0

f(x)cosxdx0.试证:在(0,)内至12,使f1)f2)0.十、(本题满分6分)1 0 0 00 1 0 0设矩阵A的伴随矩阵A* ,且ABA11 0 1 0

BA1

,其中E4阶单0 3 0 8 位矩阵,求矩阵B.十一、(本题满分8分)1某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将6

熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2成为熟练工.设第n1xy记成向5 n n量xn.y yn求xn1与xn的关系式并写成矩阵形式xn1Axn.yyyy yyyyn1

n

n1 n

4,η

1是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. 1(3)当x12时,求xn1.y 1

y 1 2

n1十二、(本题满分8分)p(0p,各产品合格与否相对独立,1个不合格产品时即停机检修.1X,X的数学EXDX).十三、(6分)

2e2(x)x设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x;)0

,其中0为未知x参数.又设x1,x2,,xn是X的一组样本观测值,求参数的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)x2y2z2设yex(asinxbcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常x2y2z2(2)r ,则div(gradr)(1,2,2)= .0 1y(3):1y

f(x,y)dx＝ .(4)设A2A4EO,则(A2E)1= .(5)D(X)2,则根据车贝晓夫不等式有估计XE(X).(5小题,3分,15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)f(x在定义域内可导,y

f(x的图形如右图所示,y

f(x)的图形为(B) (C)(D)(2)设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且fx(0,0)3,fy(0,0)1则(A)dz|(0,0)3dxdyz

f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}zf(x,y)曲线

y

在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}zf(x,y)曲线

y

在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}f(0)0f(xx=0处可导(A)limh0

f(1cosh2

存在

h0

f(1eh)存在h(C)limf(hsinh)存在 (D)

f(2h)f(h)存在h0 h2 h0 h设

A ,B 1111 111140001111000011110000

,则A与B(A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y相关系数为1(A)-1 (B)0 (C)2

(D)1三、(本题满分6分)arctanex求 e2x dx.四、(本题满分6分)设函数zf(x,y)在点(1,1)可微,且ff2,f3f(x,f(x,x)),求d(x) .x y

x1五、(8分)

1x2x11x2x1设f(x

arctanxx0,将f(x)展开成x的幂级数,并求n114n2

的和.x0六、(本题满分7分)LIy2z22z2x2dy3x2y2dz,L是平xy1的交线,Z轴正向看去L为逆时针方向.L七、(本题满分7分)设f(x)在(1,1)内具有二阶连续导数且f(x)0.证明:

xyz2(1)对于x,,使(2)lim(x)0.5.x0八、(本题满分8分)

f(x)=f(0)+xf((x)x)成立.

h(t)(t

为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程zh(t)

2(x2y2h(t)

(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分)设α1,α2,,αs为线性方程组AXO的一个基础解系,β1t1α1t2α2,β2t1α2t2α3,,βst1αst2α1,其中t1t2为实常数,试问t1t2满足什么条件时β1β2,βsO的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A和三维向量x,使得x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x3Ax2A2x.PxAxA2x求BAPBP1.(2)AE.十一、(本题满分7分)某班车起点站上客人数X服从参数为(0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概p(0p且中途下车与否相互独立Y为中途下车的人数,求:(1)在发车时有n个乘客的条件下,m人下车的概率.二维随机变量X,Y的概率分布.十二、(本题满分7分)1 2 设X~N2)取单机本X,X,,X (n1 2 X12nX

nY (X

2X)2

E(Y).2n2n

i1

i, i1

ni ,求2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)

dx = .e xln2x(2)已知ey6xyx210,则y(0)= .

yyy20

满足初始条件

y(0)1,y(0)12

的特解是 .fxxx)ax2x2x24x

4xx4xx经正1 2 3

1 2

12 13 231交变换可化为标准型f6y2,则a= .1

~N2),且二次方程y24yX

0无实根的概率为0.5,则= .二、选择题(5小题,3分,15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)fx,y)的四条性质:①f(x,y)在点(x0,y0)处连续,②f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数连续,③f(x,y)在点(x0,y0)处可微,④f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数存在.则有:(A)②③① (B)③②①(C)③④① (D)③①④un设u0,且limnunnn

1,则级数 (1)n1(1un

1)为un1发散 (B)绝对收敛(C)条件收敛 (D)收敛性不能判定.fx)在R上有界且可导,则limf(x0时,limf(x0

lim

f(x)存在时,xlimf(xx

x

x当limf(x)0时,必有limf(x)0 (D)当limf(x)存在时,必有x0limf(x)0.x0

x0

x0设有三张不同平面,其方程为aixbiycizdii1,23)它们所组2,则这三张平面可能的位置关系为设X和Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为fX(xfY(y,分布函数分别为(x和(y,则(A)fX(x)＋fY(y)必为密度函数

fX

fY(y)必为密度函数(C(x(y必为某一随机变量的分布函数为某一随机变量的分布函数.

FX(x)FY(y)必三、(本题满分6分)fx)x0的某邻域具有一阶连续导数,f0f0)0,当h0时,若afh)bf2h)f(0oh),试求ab的值.四、(本题满分7分)y

f(x)与y arctanxet2dt点(0,0)线切0线的方程,并求极限

limnf(2).n n五、(本题满分7分)计算二重积分emax{x,y}dxdy,其中DD

{(x,y)|0

x1,0

y1}.六、(本题满分8分)fx)在R上具有一阶连续导数L是上半平面y>0)内的有向分段光滑曲线,起点为ab),终点为cd).记I

1[1y2f(xy)]dxy

x[y2f(xy)1]dy,y2证明曲线积分I与路径L无关.当abcd时,求I的值.七、(本题满分7分)

x3n

)满足微分方程yyyex.n0y(n0

xy(x)

x3n

的和函数.n0(3n)!八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy面,其底部所占的区域为Dx,y|x2y2xy75,小山的高度函数为hx,y)75x2y2xy.(1)Mx0y0为区域D上一点,问hx,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(x0y0,写出g(x0y0的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵A(α1,α2,α3,α4),

α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α12α2α3.若βα1α2α3α4,求线性方程组Axβ的通解.十、(本题满分8分)设A,B为同阶方阵,若AB相似,证明AB的特征多项式相等.举一个二阶方阵的例子说明(1).当AB为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)1lim(osx)nx2)x0

= .曲面

zx2y2与平面2x4yz0

平行的切平面的方程是 .n设x2ann0

cosnx(x,则a2= .R2

1,α

1

1,β

12

的过渡矩阵为

6x 0xy1设二维随机变量X,Y)f(xy

,0 其它则P{XY.X(单位:cm)N,从中随16个零件,得到长度的平均值为40(cm),则的置信度为0.95的置信区间.(注:标准正态分布函数值(1.96)0.975,(1.645)0.95.)二、选择题(6小题,4分,24分