线代复习线性代数期末试卷bcfecab5cfd

用Mathematica求解线性代数基本问题一、构造矩阵1、输入和构造矩阵矩阵是一个数表，在Mathematica中构造并输入一个已知矩阵就相当于构造一个表。例如，键入tt={a,b,c}在Mathematica中就构造了一个名为tt的3维向量{a,b,c}；键入

t0={{1，2，3}，{4，5，6}}则得到一个名为t0的2行3列的矩阵。2、也可利用工具栏或菜单输入矩阵点击工具栏上的矩阵输入的工具，就会得到一个

二行二列的矩阵输入框，若不是二行二列的矩阵，可通过按Ctrl+Enter键增加一行，按Ctrl+,键增加

一列，用鼠标选定一行（或一列），按Del键可删除一行(或一列）。通过这样的操作，就可输入任意一个矩阵。下面的图演示了这个过程。示例矩阵的输出默认是数表形式，也可利用MatrixForm命令将其输出为矩阵想形式。如果要访问一个矩阵的某一个元素，比如

t0的第一行第二列元素，用t0[[1,2]]就代表该元素。示例3、利用系统函数生成矩阵Mathematica提供了很多生成向量和矩阵的命令，简述如下表所示。命令功能Table[f,{i,n}]用f生成包含n个元素的向量Array[a,n]生成一个{a[1],a[2],…,a[n]}的向量Range[n]生成一个{1,2,…,n}的向量Range[m,n]生成一个{m,m+1,…,n}的向量Range[m,n,d]生成一个{m,m+d,…,n}的向量Length[list]计算向量的长度命令功能Table[f,{i,m},{j,n}]生成一个m×n矩阵Array[a,{m,n}]生成一个m×n矩阵,元素为a(i,j)DiagonalMatrix[list]对角矩阵，以list为对角线元素IdentityMatrix[n]生成一个n×n单位矩阵Part[list,i]

或list[[i]]提取矩阵的第i行Part[list,i,j]或list[[i,j]]提取矩阵的第i行第j列元素Dimensions[list]矩阵的阶数示例示例（续）二、矩阵的基本运算矩阵运算是线性代数的基本内容。常规的矩阵运算有矩阵的加减法、数乘、乘法、行列式，转置和逆矩阵等。在Mathematica中只要一个运算符或调用一个函数即可完成上述运算下表给出了矩阵加法和乘法的一般形式矩阵基本运算说明A+cA为矩阵，c为标量，c与A中每个元素相加A+BA,B为同类型矩阵或向量,A与B的对应元素相加c

AA为矩阵，c为标量,c与A中每个元素相乘A.B矩阵A与B相乘，要求A的列数等于B的行数u.v向量u与v的内积（行向量乘列向量）Outer[Times,u,v]列向量u乘行向量vCross[u,v]向量u与v的外积(对三维向量而言，即为向量积)示例示例（续）二、矩阵的运算下表列出矩阵的其他一些运算矩阵运算函数说明Det[A]计算方阵A的行列式Transpose[A]表示A的转置矩阵Inverse[A]表示A的逆矩阵Minors[A，k]给出A的所有k阶子式，返回结果为一个表Tr[A]计算A的迹(4.0版)MatrixPower[A,

n]表示AnRowReduce[A]给出用行初等变换将矩阵A化为规范的阶梯形矩阵。显然，此运算可求出矩阵

A的秩。此函数也可归属解方程组函数示例示例示例示例•求下列矩阵的秩及行向量组的一个极大无

关组，并将其余行向量表成它的线性组合：Mathematica没有直接求矩阵秩的函数，但我们可以通过RowReduce函数求出行最简形，从而求出矩阵的秩。注意由于是求行向量组的极大无关组，所以应求AT的出行最简形。-13

2

1

1

2

2 1

0

2

1

5

-1

0

3

-11

1

0

4示例三、求解线性系统对于线性方程组Ax=b，若方程组有惟一解，由用Solve函数即可求解。但更好的方法是用NullSpace函数和LinearSolve函数。首先用NullSpace函数求出Ax=0的基础解系，再用LinearSolve函数求出Ax=b的一个解（如果存在的话），由此就可求出

Ax=b的通解。示例示例（续）四、特征值与特征向量下表列出求特征值与特征向量的函数矩阵运算函数说明Eigenvalues[A]计算A的特征值(准确形式，结果为一个表)Eigenvectors[A]计算A的特征向量(准确形式，结果为一个表)Eigensystem

[A]给出A的{{特征值},{特征向量}}的一个表Eigenvalues[N[A]]计算A的特征值(数值解，结果为一个表)Eigenvectors[N[A]]计算A的特征向量(数值解，结果为一个表)示例示例（续）五、向量正交化运算在Mathematica的LinearAlgebra`Orthogonalization`程序包中有对向量单位化和对一组向量正交化的函数。下面仅列出施密特正交化函数。向量正交化运算函数说明GramSchmidt[{v1,v2,…，}]将向量组v1,v2,…单位正交化示例例试求一个正