第四章　§4.1 4.1.1 n次方根与分数指数幂-高中数学人教A版必修一 课件（共41张PPT）

4.1.1

n次方根与分数指数幂第四章

§4.1指数学习目标1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值.(重点)3.会对分式和分数指数幂进行转化.4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质.(重难点)导语公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数

的诞生.这就是本节课我们要学习的根式.一、n次方根与根式二、分数指数幂三、有理数指数幂的运算性质随堂演练内容索引n次方根与根式

一问题1

(1)若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若x2＝－3呢？提示若x2＝3，则这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作

；若x2＝－3，则这样的x不存在.(2)若x3＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若x3＝－3呢？提示若x3＝3，则这样的x有1个，它叫做3的立方根，记作

；若x3＝－3，则这样的x也只有1个，它叫做－3的立方根，记作

.(3)若x4＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若x4＝－3呢？提示若x4＝3，则这样的x有2个，它们都称为3的四次方根，记作

；若x4＝－3，则这样的x不存在.(4)若x5＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若x5＝－3呢？提示若x5＝3，则这样的x有1个，它叫做3的五次方根，记作

；若x5＝－3，则这样的x也只有1个，它叫做－3的五次方根，记作

.问题2根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？当n为偶数时呢？3.根式式子

叫做

，这里n叫做

，a叫做

.知识梳理1.n次方根的定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的

，其中n>1，且n∈N*.2.n次方根的性质n次方根n为奇数n为偶数a∈Ra>0a＝0a<0x＝____x＝_____x＝0不存在根式根指数被开方数4.根式的性质(1)

没有偶次方根.负数0aa注意点：例1(1)化简下列各式：原式＝(－2)＋(－2)＝－4.原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(2)若

＝a－1，求实数a的取值范围.∴a－1≥0，∴a≥1，∴实数a的取值范围是[1，＋∞).∵－3<x<3，∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.延伸探究∴a－1≤0，∴a≤1，∴实数a的取值范围是(－∞，1].2.在本例(3)中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.反思感悟跟踪训练1

化简下列各式：分数指数幂

二问题3观察下列各式，你能得出什么结论？提示通过观察两式可以得出，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.问题4类比以上两式，你能运用分数指数幂表示出下列各式吗？由此你能得出什么结论？可以得出：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式.问题5因为a－n(a≠0)可以写成

，那么(a≠0)能否写成

？提示能.1.根式与分数指数幂的互化(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：

＝

(a>0，m，n∈N*，n>1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：

＝

＝

(a>0，m，n∈N*，n>1)；(3)0的正分数指数幂等于

,0的负分数指数幂

.知识梳理0没有意义2.整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).注意点：(1)分数指数幂

不可理解为

个a相乘，它是根式的一种写法；(2)有理数指数幂运算性质的记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘；(4)不要自创公式，严格按照公式化简、运算.例2(1)化简

的结果是√A.B.C.D.都不对√原式＝√原式＝

＝

.反思感悟根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数

分数指数的分母，被开方数(式)的指数

分数指数的分子.(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.跟踪训练2原式＝a·＝.有理数指数幂的运算性质

三(1)＝_____.(式中的字母均是正数)例3原式＝＝

＝

＝(2)计算：

－

－(π－3)0＋

.反思感悟关于指数式的化简、求值问题(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减.(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错.跟踪训练3