2023八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题作业课件新版新人教版

13.4课题学习最短路径问题1.[2022唐山期末]某市计划在公路l旁修建一个飞机场M,现有如下四种方案,则机场M到A,B两个城市的距离之和最短的是(

)答案1.B2.[2022石家庄期末]如图,在4×4的正方形网格中有A,B两点,在直线a上求一点P,使PA+PB最短,则点P应选在(

)A.C点 B.D点 C.E点 D.F点答案2.A

如图,作点A关于直线a的对称点A',连接A'B,则A'B与直线a的交点即点P,此时PA+PB最短.由图可知点P应选在C点.3.[2022福州时代中学期中]如图,直线m是△ABC中BC边的垂直平分线,点P是直线m上的一动点,若AB=5,AC=4,BC=6,则△APC周长的最小值是(

)A.9 B.10 C.11 D.12.5答案3.A4.

如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,5)和(4,0),点C是y轴上的一个动点,且A,B,C三点不在同一条直线上.当△ABC的周长最小时,点C的坐标是(

)A.(0,4) B.(0,3) C.(0,2) D.(0,0)答案4.A

如图,作点B关于y轴的对称点B',连接AB'交y轴于点C',当点C运动到C'处时,△ABC的周长最小.过点A作AE⊥x轴于点E,∵点A,B的坐标分别为(1,5)和(4,0),∴点B'的坐标为(-4,0),AE=5,OE=1,∴B'E=5,∴B'E=AE,∴∠AB'E=∠B'AE=45°,∵C'O∥AE,∴∠B'C'O=∠B'AE=∠AB'E=45°,∴C'O=B'O=4,∴点C'的坐标是(0,4).5.[2022芜湖期末]如图,△ABC是等边三角形,AD是BC边上的高,E是AC的中点,P是AD上的一个动点,当PC+PE的值最小时,∠ACP的度数为

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答案5.30°

如图,连接PB,连接BE交AD于点P',∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,∴PC=PB,∴PC+PE=PB+PE≥BE,且当B,P,E三点共线时,等号成立,∴PC+PE的最小值即BE的长.∵△ABC是等边三角形,∴∠BCE=60°,BA=BC.∵AE=EC,∴BE⊥AC,∴∠BEC=90°,∴∠EBC=30°.连接P'C,易知P'B=P'C,∴∠P'CB=∠P'BC=30°,∴∠ACP'=∠ACB-∠P'CB=30°.6.[2022佛山三水区期末]如图,点P是∠AOB内一点,OP=8,∠AOB=30°,点M,N分别是边OA,OB上的动点,则△PMN周长的最小值为

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答案6.8

如图,作点P关于OA,OB的对称点C,D,连接CD分别交OA,OB于点M,N,连接OC,OD,PM,PN,此时△PMN的周长最小.由轴对称的性质可知,OC=OP=OD=8,MC=MP,ND=NP,∠POA=∠COA,∠POB=∠DOB,∴∠COD=2∠AOB=60°,∴△COD是等边三角形,∴CD=OC=8,∴△PMN周长的最小值为PM+MN+PN=CM+MN+ND=CD=8.7.

如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC边的中点,请你在BC边上确定一点P,使得△PDE的周长最小.在图中作出点P.答案7.解:如图,作点D关于BC的对称点D',连接D'E,D'E与BC交于点P,则点P即所求.8.

教材P93复习题13T15变式如图,为了做好交通安全工作,某交警执勤小队从A处出发,先到公路l1上设卡检查,再到公路l2上设卡检查,最后再到B处执行任务,他们应如何走才能使总路程最短?答案8.解:(1)如图,作点A关于直线l1的对称点A';(2)作点B关于直线l2的对称点B';(3)连接A'B',分别交直线l1,l2于点C,D,连接AC,BD,此时AC+CD+BD最小.所以先到点C处设卡检查,再到点D处设卡检查,最后到B处执行任务,按这样的路线所走的总路程最短.1.[2022长沙期末]如图,在等边三角形ABC中,D为AC的中点,P,Q分别为AB,AD上的点,且BP=AQ=4,QD=3,在BD上有一动点E,则PE+QE的最小值为(

)A.7 B.8 C.10 D.12答案1.C

∵△ABC是等边三角形,D为AC的中点,∴BA=BC=AC,BD⊥AC.∵AQ=4,QD=3,∴DC=AD=AQ+QD=7.如图,作点Q关于BD的对称点Q',连接PQ'交BD于点E,连接QE,此时PE+QE的值最小,最小值为PE+EQ'=PQ'.∵DQ'=QD=3,∴CQ'=CD-DQ'=4,∴CQ'=BP,∴AP=AQ'.∵∠A=60°,∴△APQ'是等边三角形,∴PQ'=AQ'=AD+DQ'=10,∴PE+QE的最小值为10.2.[2022邯郸二十五中期末]如图,在四边形ABCD中,∠DAB=130°,∠D=∠B=90°,点M,N分别是BC,CD上的两个动点,当△AMN的周长最小时,∠AMN+∠ANM的度数为

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答案2.100°

如图,作点A关于BC的对称点A',关于CD的对称点A″,连接A'A″,分别交BC,CD于点M,N,此时△AMN的周长最小.∵∠BAD=130°,∴∠A'+∠A″=180°-∠130°=50°.∵∠A'=∠A'AM,∠A″=∠A″AN,∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A″)=2×50°=100°.3.[2022十堰期中]如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是

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答案

4.[2020南京中考节选]如图1,要在一条笔直的路边l上建一个燃气站,向l同侧的A,B两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的位置,使铺设管道的路线最短.(1)如图2,作出点A关于l的对称点A',线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求,即在点C处建燃气站,所得路线ACB是最短的.为了证明点C的位置即为所求,不妨在直线l上另外任取一点C',连接AC',BC',证明AC+CB<AC'+C'B.请完成这个证明.(2)如果在A,B两个城镇之间规划一个生态保护区(正方形区域),其位置如图3所示,并规定燃气管道不能穿过该区域,请给出这时铺设管道的方案(不需说明理由).4.解:(1)连接A'C',∵点A,点A'关于l对称,点C在l上,∴CA=CA',∴AC+BC=A'C+BC=A'B.同理可得AC'+C'B=A'C'+BC'.∵A'B<A'C'+C'B,∴AC+BC<AC'+C'B.(2)如图,在点C处建燃气站,铺设管道的最短路线是ACDB(其中点D是正方形的顶点).答案5.

教材P86问题2变式某大学建立分校,校本部与分校隔着两条平行的小河(甲和乙),如图所示,A为校本部大门,B为分校大门.为了方便人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.为使A,B两点间来往路段最短,试在图中画出符合条件的路径,并标明桥的位置.答案5.解:如图,设在小河甲上建桥CD,小河乙上建桥EF,则A,B两点间来往路径是折线ACDEFB.过点A作AA'⊥河岸,过点B作BB'⊥河岸,方向是对着小河,使AA'=小河甲的宽度,BB'=小河乙的宽度,连接A'D,B'E,则折线ACDEFB的长度=折线AA'DEB'B