2023年中考数学考点总动员系列专题25一元二次方程

PAGE1PAGE1考点二十五：一元二次方程聚焦考点☆温习理解一、一元二次方程及有关概念1.一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.2.一般形式:ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常数，a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数.3.一元二次方程必须具备三个条件：(1)必须是整式方程；(2)必须只含有1个未知数；(3)所含未知数的最高次数是2.【温馨提示】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程.4.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.二、一元二次方程的解法：解一元二次方程的基本思想——转化，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法.三、一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：(1)b2－4ac＞0⇔(2)b2－4ac＝0⇔(3)b2－4ac＜0⇔四、一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝，x1x2＝．五、一元二次方程的应用1.列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步.2.列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：(1)增长率等量关系:A.增长率＝×100%；B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b;当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-m)n=b.(2)利润等量关系:A.利润＝售价-成本；B.利润率＝利润成本×100%.(3)面积问题名师点睛☆典例分类考点典例一、解一元二次方程【例1】（2023.重庆市A卷，第8题，4分）一元二次方程的根是（）A.B.C.D.【答案】D.【解析】试题分析：此题考察一元二次方程的解法，观察发现可以采用提公因式法来解答此题.原方程可化为：，因此或，所以.故选：D.考点：一元二次方程的解法——因式分解法——提公因式法.【点睛】一元二次方程有四种解法:因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法.（1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;（2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解;（4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解.【举一反三】解方程:x2＋4x－1＝0【答案】x1=-2+，x2=-2-．考点：解一元二次方程-配方法．考点典例二、配方法【例2】用配方法把代数式3x－2x2－2化为a(x＋m)2＋n的形式，并说明不论x取何值，这个代数式的值总是负数．并求出当x取何值时，这个代数式的值最大．【答案】证明见解析；，-.【解析】试题分析：先利用配方法得到3x-2x2-2=-2（x-）2-，再根据非负数的性质得到-2（x-）2-＜0，即不论x取何值，3x-2x2-2的值总是负数，易得当x=时，这个代数式的值最大．试题解析：3x-2x2-2=-2x2+3x-2=-2（x2-x）-2=-2（x2-x+-）-2=-2（x-）2-，∵（x-）2≥0，∴-2（x-）2≤0，∴-2（x-）2-＜0，∴不论x取何值，3x-2x2-2的值总是负数，且当x=时，这个代数式的值最大，最大值为-．考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方．【点睛】(1)代数式的配方是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法．在配方前，先将二次项系数－2提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通过配方分离出一个完全平方式．(2)注意与方程的配方的区别．【举一反三】（山东滨州第5题，3分）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的为()A.B.C.D.【答案】D考点：配方法解一元二次方程考点典例三、一元二次方程根的判别式【例3】（2023.重庆市B卷，第8题，4分）已知一元二次方程，则该方程根的情况是()A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两个根都是自然数 D．无实数根【答案】A【解析】试题分析：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数解.根据题意可得：△=－4×2×3=25－24=1＞0，则方程有两个不相等的实数根.考点：一元二次方程根的判别式.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．【举一反三】1.（2023.山东滨州第3题，3分）一元二次方程的根的情况是()A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 【答案】C考点：一元二次方程的根的判别式2.(2023·湖北荆门，7题，3分)若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】试题分析：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴△=，∴．故选A．考点：根的判别式．考点典例四、一元二次方程根与系数的关系【例4】（山东枣庄，第8题，3分）已知关于x的一元二次方程x²+mx+n=0的两个实数根分别为x=－2，x=4.则m+n的值是A.－10B.10C.－6D.2【答案】B【解析】试题分析：由一元二次方程根与系数的关系可得-2+4=-m,-2×4=n，解得m=-2,n=-8,所以m+n=-10.故选B．考点：一元二次方程根与系数的关系【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=【举一反三】1.(2023·湖北荆门，15题，3分)已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，若，则m的值为．【答案】﹣1或﹣3．【解析】考点：1．根与系数的关系；2．根的判别式．2.(2023.山东日照，第15题，4分)如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2023=．【答案】2026【解析】试题分析：解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，则2n2﹣mn+2m+2023=2（n+3）﹣mn+2m+2023=2n+6﹣mn+2m+2023=2（m+n）﹣mn+2021=2×1﹣（﹣3）+2021=2+3+2021=2026．故答案为：2026．考点：根与系数的关系．考点典例五、一元二次方程的应用【例5】某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是()A.（3+x）（4-0.5x）=15B.（x+3）（4+0.5x）=15C.（x+4）（3-0.5x）=15D.（x+1）（4-0.5x）=15【答案】A．【解析】试题分析：根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4-0.5x）元，由题意得（x+3）（4-0.5x）=15即可．试题解析：解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4-0.5x）=15，故选：A．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．【举一反三】1.(2023.安徽省，第6题，4分)我省2023年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2023年增速位居全国第一．若2023年的快递业务量达到4.5亿件，设2023年与2023年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1.4(1＋x)＝4.5B．1.4(1＋2x)＝4.5C．1.4(1＋x)2＝4.5D．1.4(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝4.5【答案】C.【解析】试题分析：设2023年与2023年这两年的平均增长率为x，则2023年的业务量为1.4（1+x）亿件，2023年的业务量为1.4（1+x）2亿件，又因2023年的快递业务量达到4.5亿件，所以可列方程为1.4（1+x）2=4.5，故答案选C.考点：一元二次方程的应用.2.（2023.山东济南，第12题,3分）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300，则原铁皮的边长为（） A． 10cm B． 13cm C． 14cm D． 16cm【答案】D考点：一元二次方程的应用．课时作业☆能力提升一、选择题1.（2023·辽宁丹东）若x=1是一元二次方程的一个根，那么.【答案】-3.【解析】试题分析：∵x=1是一元二次方程的一个根，∴将x=1代入此方程得：1+2+a=0,∴a=-3.考点：一元二次方程根的意义.2.（2023达州）方程有两个实数根，则m的取值范围（）A．B．且C．D．且【答案】B．【解析】试题分析：根据题意得：，解得且．故选B．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．3.(2023.宁夏，第5题，3分)关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A.≥B.≤C.≥D.≤【答案】D.【解析】试题分析：由关于的一元二次方程有实数根可得△≥0，即1-4m≥0，解得≤，故答案选D.考点：一元二次方程根的判别式.4.(2023.北京市，第14题，3分)关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值a＝____，b＝____.【答案】(满足b2＝a，a≠0即可，答案不唯一)考点：一元二次方程根的判别式5.(2023.上海市，第10题，4分)如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是________．【答案】【解析】试题分析：由于方程没有实数根，故，解得.考点：根的判别式.6．（2023南充）关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②；③．其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C．考点：1．根与系数的关系；2．根的判别式．7.（2023广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12B．9C．13D．12或9【答案】A．【解析】试题分析：∵，∴，，，①等腰三角形的三边是2，2，5，∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；即等腰三角形的周长是12．故选A．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．9.（2023巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】试题分析：设每次降价的百分率为x，由题意得：，故选B．考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．增长率问题．二、填空题10.(2023·辽宁葫芦岛）（3分）已知k、b是一元二次方程的两个根，且k＞b，则函数的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B．【解析】试题分析：∵k、b是一元二次方程的两个根，且k＞b，∴，，∴函数的图象不经过第二象限，故选B．考点：1．一次函数图象与系数的关系；2．解一元二次方程-因式分解法．二．填空题11．(2023·辽宁葫芦岛）（3分）若一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是．【答案】m＜．【解析】试题分析：∵一元二次方程没有实数根，∴△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，且m﹣1≠0，∴m＜．故答案为：m＜．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．12.（2023·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则△ABC的周长是．【答案】8．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系．13.(山东莱芜第15题，3分)某公司在年的盈利额为万元，预计年的盈利额将达到万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在年的盈利额为________万元．【答案】220【解析】试题分析：根据题意可设每年比上一年盈利额增长的百分率为x，所以有，解得（舍去），所以该公司在2023年的盈利额为万元.考点：一元二次方程的应用（增长率问题）14.（2023·黑龙江绥化）若关于x的一元二次方程ax+2x-1=0无解，则a的取值范围是____________.【答案】a＜-1【解析】试题分析：当时，一元二次方程无解，解得a＜-1，且，所以a的取值范围是a＜-1.考点：一元二次方程.15.（2023达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为．【答案】（40﹣x）（20+2x）=1200．【解析】试题分析：设每件童裝应降价x元，可列方程为：（40﹣x）（20+2x）=1200．故答案为：（40﹣x）（20+2x）=1200．考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．销售问题．16.（2023内江）已知关于x的方程的两根分别是，，且满足，则k的值是．【答案】2．【解析】试题分析：∵关于x的方程的两根分别是，，∴，，，解得：k=2，故答案为：2．考点：根与系数的关系．17.（2023泸州）设、是一元二次方程的两实数根，则的值为．【答案】27．【解析】试题分析：∵、是一元二次方程的两实数根，∴，，∴==25+2=27，故答案为：27．考点：根与系数的关系．三、解答题18.（2023·辽宁大连）解方程【答案】考点：解一元二次方程.19．（2023·湖北鄂州，20题，8分）关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根.（1）（4分）求实数k的取值范围．（2）（4分）若方程两实根满足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2求k的值．【答案】（1）k﹥；（2）2.【解析】试题分析：(1)方程有两个不相等的实数根,故Δ＞0，解不等式即可求出k的取值范围；（2）由题意设方程x2+（2k+1）x+k2+1=0两根为x1，x2，利用根与系数的关系，代入求值即可.试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根∴Δ=2－2+1)=4k2+4k+1－4k2－4=4k－3﹥0解得：k﹥(2)∵k﹥∴x1+x2=－(2k+1)＜0又∵x1·x2=k2+1﹥0∴x1＜0，x2＜0