考研数学之线性代数知识点以及重要性质指导_第1页
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文档简介

线性代数（经管类）重点难点指导线性代数这门课程的概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系。下面就对线代每章中一些具体知识点以及重要性质作如下总结：一、行列式行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和阶两种类型。主要方法是应用行列式按行或者列展开定理和化为上下三角行列式求解，还可能用到的方法包括：行列式的定义（阶行列式的值为取自不同行、不同列的个元素的乘积的代数和）、性质（其中为矩阵的特征值）、行列式的性质。对于抽象行列式的求值，主要在于考虑等的相关性质。二、矩阵矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵、矩阵的秩等重要概念外，主要也是运算，其运算分两个层次，一是运用矩阵的性质对抽象矩阵进行运算，二是具体矩阵的数值运算。矩阵计算中最主要的工具是初等变换。下面的表格分类列出了的性质以供区别记忆（为的特征值）：行列式性质特征值性质运算性质秩的性质与A的特征值相同伴随矩阵有特征值数乘矩阵、矩阵之积及矩阵之和有特征值有特征值则有：若是可逆矩阵则有；同样，若可逆则有三、线性方程组向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。学习本章必须彻底弄清楚诸多知识点之间的内在联系，只有这样才能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。以下给出这部分主要知识点：三个双重定义：1.秩的定义a.矩阵秩的定义：矩阵中非零子式的最高阶数。b.向量组秩定义：向量组的极大线性无关组中的向量个数。由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若与合同或相似则与必等价，反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。3.矩阵可相似对角化的条件。包括两个充要条件和两个充分条件，充要条件（1）是阶矩阵有个线性无关的特征向量；充要条件(2)是的任意重特征根对应有个线性无关的特征向量；充分条件（1）是有个互不相同的特征值；充分条件（2）是为实对称矩阵。4.实对称矩阵极其相似对角化。阶实对称矩阵必可正交、相似于对角阵，即有正交阵使得，而且正交阵由对应的几个正交的特征向量组成。五、二次型将二次型表示成矩阵形式,用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个:一是化二次型为标准形,这主要是正交变换法(这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法),在没有其他要求的情况下,用配方法得到标准形可能更方便些;二是二次型的正定性问题,对具体的数值二次型,一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别,而抽象的由给定矩阵的正定性,证

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