2023年计算机数学基础一离散数学期末复习参考

《计算机数学基础》（一）一一离散数学期末复习参考

一、关于期末考试

。L本学期的结业考核由形成性考核和期末考核构成。形成性考核由平时作业成绩构成，占

结业考核成绩的20%,期末考核成绩占结业考核成绩的80%。

2.期末考核算行全国统一考核，根据本课程考试说明，由中央电大统一命题,统一考核

时间,制定统一评分标准。开办试点的地方电大组织考核。

。期末考核的考核内容和规定以考核说明为准；采用闭卷笔试，试卷满分100分;时限120

分钟。

。试题类型及分数:单项选择题和填空题，分数约占25%。解答与计算题，分数约占56%;证

明题，分数约占19%。

3,考核试卷分数分布：第1编数理逻辑约30分，第2编集合论约30分，第3编图论约

25分，第4编代数系统约15。

4.易、中、较难题目在试卷中占的比例是4:4:2。

二、各章重点考核内容

第1章命题逻辑

1.命题联结词真值真值表简朴命题符号化

2.命题公式永真式永假式可满足式

3.公式等值演算（必须掌握公式基本等值式）

4.求范式（用各种方法求合取范式、析取范式，特别是主析取范式，主合取范式等）

5.掌握逻辑推理的方法。

第2章谓词逻辑

1.谓词量词个体词个体域变元（约束变元、自由变元）简朴命题符号化

2.判别简朴谓词公式的类型（永真式、永假式、可满足式）

3.求前束范式

4.有限个体域中，求给定解释下的公式真值。

第3章集合及其运算

1.集合元素全集空集幕集

2.集合的关系与运算

3.有序对和笛卡儿积

第4章关系与函数

1.二元关系及其表达方法一一集合方法、矩阵和图

2.关系的运算和复合关系、逆关系

3.二元关系的性质（5条性质）

4.等价关系（等价类）与偏序关系（哈斯图极大（小）元最大（小）元

5.函数复合函数单射满射和双射，求反函数

第5章图的基本概念

1.图结点边有向图无向图简朴图多重图完全图子图与生成子图

结点度数握手定理及其推论

2.通路通路的长度初级（简朴）通路回路初级（简朴）回路点割集与割

点边割集与桥连通图强（单测、弱）连通

3.关联矩阵邻接矩阵

第6章几种特殊图

1.欧拉通路（回路）欧拉图哈密顿通路（回路）哈密顿图

2.平面图面的次数平面图相关定理（定理6~8）

3.树无向树有向树最小生成树根树最优树二叉树

第7章群

。1.代数运算以及运算性质单位元、逆元，代数系统，

。2.半群群及其性质子群

3.循环群互换群〃元置换及置换群

。4.群的同态与同构

第8章其它代数系统

1.环与域，环

.2.格有界格有余格分派格

。3.布尔代数

三、各章基本问题

第1章命题逻辑

1.命题符号化,是否命题判断或求真值。

2.命题公式赋值，及类型判别。

3.命题公式等值判别或证明。方法有真值表法、等值演算法和主范式法.

4.求范式和主范式。

5.蕴含式（推理理论）证明：

方法有:真值表法、等值演算法、主析取范式法、

构造证明法一一直接法、附加前提证明法和反证法。

第2章谓词逻辑

1.命题符号化。

2.求辖域、约束变元、自由变元。

。3.给定解释求谓词公式的真值（多为个体域有限的情形）。

4.判断谓词公式是否重言式（用代换实例）、永假式？

5.求前束范式。

第3章集合及其运算

求集合表达式（列举法或描述法）。

•2.判断集合与元素、集合与集合的关系，用金eug,a?

3.求惠集。

4包含或相等的化简或证明。

•5.求笛卡儿积，或某些等式证明。

第4章二元关系与函数

1.求关系的表达式，关系矩阵、关系图，Dom（R）,Ran（R）.

2.验证或证明关系的性质。

3.关系计算:求u,c,㊉

4.求复合关系、逆关系及其矩阵。

。5.求自反闭包或对称闭包。

。6.验证或证明关系R是等价关系或偏序关系。

。7.作偏序关系的哈斯图，求极大（小）元、最大（小）元。

。8.验证是否是函数，是满射、单射、双射？

第5章图的基本概念

。1.图G与G=<RE>互求。

•2.判断简朴图、多重图、完全图。

。3.求子图或生成子图。

4.求结点度数或用握手定理求结点数，或判断是否度数序列。

5.判断是否同构，重要用必要条件判断不同构。会作2或3个结点非同构的生成子图。

6.用定理1（握手定理）或2以及推理进行推理或计算。

。7.求图中通路、回路、长度或通路、回路的数目（重要用定理8）

8.判断是否连通、强连通、单侧连通或弱连通。

9.求点割集、割点和边割集、割边（比较简朴的图）。

•10.求有向图的邻接矩阵和可达矩阵。

第6章几种特殊的图

1.判断或作欧拉图，求欧拉通路、回路。

2.判断或作哈密顿图，求哈密顿通路、回路，说明不是哈密顿图。

3.判断是否可平面图,将可平面图改画为平面图。

4.求连通平面图的面、边界和次数。

5.用定理6,7作某些证明或计算。如求二元完全树中树叶个数与分支点数之关系。

6.判断是否树。

7.求树的结点与边的关系。

8.求最小生成树和权。

第7章群

I.验证代数运算F在A上封闭，即＜/,是代数系统。

2.验证代数运算有结合律，互换律等。

。3.验证代数运算f,g有无分派律，吸取律等。

o4.求运算的单位元，逆元

。5.判断是否半群、群、互换群、循环群，求生成元和循环群的子群。.

7.在群中进行计算、化简等。

8.求复合置换、逆置换等。

•9.证明群同态、同构,找同态（同构）映射。

。第8章其它代数系统

1.验证是否为环？

2.给出偏序集,判断是否为格?

3.在格中进行计算、化简或证明等。

4.布尔代数式的化简、求值或证明.

四、自我练习题

一、单项选择题

1.给定无向图如图1所示，下面给出的顶点

集的子集中，不是点割集的为()

(A){W}(B){d}

(C){a,c}(D){e,g}

2.无向完全图K的不同构的生成子图有()个.

(A)6(B)5(C)4(D)3

3.在自然数集合N上，下列运算可结合的是(

A.x*y=max(x,y)B.x*y-2x+yC.x*y=x2+y2D.

4.设N为自然数集合，＜N,。＞在下面4种运算下不构成代数系统的是()

(A)xoy=x+y-2xy(B)xoy=x+y(C)龙。y=x^y(D)xoy

-kI+\yI

(其中,+、一分别为普通加法和减法)

5.已知偏序集的哈斯图，如图2所示，是格的为(

图2

二、填空题

6.若命题变元P,Q,7?赋值为(1,O,l),则命题公式G=((P八Q)fR)j(「PvQ)的

真值是___________

。7.设N(x)：x是自然数，Z(y)；尸是整数，则命题“自然数都是整数，而有的整数不是自

然数“符号化为___________________________________________________

8.设4,,B为任意集合，命题A-B=0oA=B的真值为.

9.设48为有限集，且|A|=〃?,|B|=〃，那末A与3间存在双射，当且仅当.

10.在有向图的邻接矩阵中，第i行元素之和，第j列元素之和分别为

三、化简解答题

11.做命题公式(Pf。)­((PAQ)\/P)的真值表，并判断该公式的类型.

12.化简集合表达式：((AuBuQn(AuQ)-((Cu(C-B)-A)

13.(1)将命题公式P)化为只含「和A的尽也许简朴的等值式.

(2)求谓词公式X/x(P-C(x))vR(/(a))的真值.

其中P:4>3,Q(x):x>l,R(x):x<2,(4)=4.a:4.

个体域。={0,4).

四、计算解答题

14.(1)设A和S是集合A={1,2,3}上的二元关系，

/?={<1,2>,<3,1>}5={<1,2>,<2,1>,<3,3>}

求A・S,写出它的矩阵MR.S.

(2)求布尔表达式E(a,/?,c)=(a+人・c)+匕+c的对偶式，并求当取值0,

0,1时，E(“力，c)以及其对偶式的真值。

15.指出谓词公式Vx(尸(x)->G(x,z)vP(X))A玉H(x,y)AS(X)中VX和女的辖

域，并指出该公式的约束变元和自由变元以及约束出现次数和自碱电次<

16.已知带权图G,如图3所示.试求图G的

最小生成树，并计算该生成树的权.

17.设简朴连通无向图G有12条边,G中有1度

结点2个，2度结点2个，4度结点3个，其余结点度

数不超过3.求G中至少有多少个结点.试作一个满足

该条件的简朴无向图

图3

五、证明题

18.证明假如R和S是非空集合4上的等价关系，则RcS也是A上的等价关系.

19.设R*是非0实数集，在R*上定义集合S为

证明(S,*)是代数系统，满足结合律，互换律，存在单位元，S的每个元素有逆元。其中*是

矩阵的乘法运算.

。五、自我练习题解答

一、单项选择题

1.B2.C3.A4.A5.D

二、填空题

6.17.Tx(N(x)-Z(x))人玉(Z(X)A-W⑸)8.09.m=n.

10.结点4的出度和结点力的入度

三、化简解答题

11..命题公式(PT•Q)f((PAQ)vP)的真值表

(PA0VP(PrQ)f((PAQ)VP)

pQPfQP八Q

001000

011000

100011

111111

原式为可满足式.

12.((AuBuC)n(-0)-((Cu(C-B)n-A)

=(^uC)-(Cn-A)(两次用吸取律)

=((AuC)c(〜CuA)

二(Ac~C)u(Cc〜C)uZu(AcC)

=(4c〜C)u0uA=A

13.(1)-\P7Q/\(―iR―>P)

<=>—i(PA—i0A—(—iPA—17?)

不惟一.

⑵Vx(PfQ(x))vR(/(a))

=((P-Q(。))A(P->Q(4)))vR(7(4))

=(1-I)v0o0

四、计算解答题

14.⑴R・S={<1,2>,<3,1>}•{<1,2>,<2,1>,<3,3>}={<1,1>,<3,2>}

-100-

。MR.S=000

010

(2)£(0,0,1)=(0+0・1)+0+1=(1・1)+0+1=1

E(a,b,c)=(a+b»c)+b+c的对偶式为(a•人+c)•人・c,

其真值是(痴+1)・0・1=1・0・1=0

15.Vx的辖域为：尸(*).G(x,z)vP(x)

mx的辖域为:H(x,y)

初既是约束变元，也是自由变元，约束出现4次，自由出现1次.y是自由变元，自由出

现1次..z是自由变元，自由出现1次.

Vx为(Q(/(x),y)))fh尸(幻

o(孙2(/(2),y))A(ByQ(f(3),y))fP(2)vP(3))

o(。(3,2)vQ(3,3))A(2(2,2)v0(2,3))-0v1

o(0vl)A(0vl)f1ol

•16.做法如下:

①选边1;②选边2；

A0

③选边3；④选边5;

⑤选边7

最小生成树为｛1,2,3,5,7).如图4

中粗线所示.

权数为18.图4

17.设图G有x个结点，有握手定理

。2xl+2x2+3x4+3x(x-2-2-3)>12x2

。3x=24+21-18>27

x>9

图G至少有9个结点.图5

满足条件的图如图5所示.

五、证明题

18.①XfxeA,<x,x>eR,<x,x>&S^><x,x>eRr>S,所以RcS有自反性;

由于凡S是对称的，

<x,y>Rr>S<=><>eR八<x,y>&S

RMJ称的

=<>e<y,x>GS

<=><y,xRcS

所以,RcS是对称的.

③Vx,y,zwA,由于/?,S是传递的，

vx,y>wRcS/\<y,z>wRcS

<=><x,y>G>e5A<y,z>e<y,z>GS

。<=><x,y>e7?A<y,z>eR/\<x,y>eS/\<y,z>eS

R,S传递

=><x,z>GHA<X,Z>GS=VX,ZRCS

所以，RcS是传递的.。

总之,RcS是等价关系.

a0x0

19.一方面证*在5上封闭.任取S中的元素，其中。，

0boy

a0x0ax0

*eS,由于or,bywR*.即*在S上封闭.且有

0b0y。by

a0*x0ax0x0*a0

0b0y0hy0y0b

即运算*满足互换律。

a0x00

任取S中的元素,其中a,h,x,y,c,d&A*,有

0b0y0d

a0X0c0ax0