2023年经济数学基础线性代数部分综合练习及参考答案

《经济数学基础》综合练习及参考答案

第三部分线性代数

一、单项选择题

1.设/为3x2矩阵，8为2x3矩阵，则下列运算中（）可以进行.

A.ABB.4歹C.A+BD.B

T

2.设A,8为同阶可逆矩阵,则下列等式成立的是（）

A.（AB），=ATBTB.（AB）T=

c.（ABT）-1=A-1（BT）_'D.（ABT）T=AT（BT）T

3.设A,8为同阶可逆方阵,则下列说法对的的是（）.

A.若48=/，则必有4=I或B=IB.（AB）T=

C.秩（A+B）=秩（A）+秩（B）D.（ABY1=B'A^

4.设A,8均为〃阶方阵,在下列情况下能推出4是单位矩阵的是（）.

A.AB=BB.AB=BAC.AA=ID.A-1=1

5.设A是可逆矩阵,且A+AB=/,则A-'=().

A.BB.1+5C.I+BD.(I-ABy'

6.设A=(l2),8=(-13),/是单位矩阵，则—/=().

7.设下面矩阵4B,。能进行乘法运算，那么（）成立.

A.AB=AC,A^O,则3=CB.AB=1C/可逆，则8=

C.4可逆，则BAD.AB=0,则有4=0,或

8=0

8.设A是〃阶可逆矩阵，k是不为0的常数，则(抬尸=().

A.kA-'B.—A''C.-kA-'D.-A-1

k"k

120-3'

9.设A=00-13，则r(A)).

24-1-3

A.4B.3C.2D.1

10.设线性方程组AX=。的增广矩阵通过初等行变换化为

13126

0-1314

,则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为

0002-1

00000

().

A.1B.2C.3

D.4

11.线性方程组［*+々=1解的情况是().

Xj4-x2=0

A.无解B.只有0解C.有唯一解D.有无

穷多解

I2?

12•若线性方程组的增广矩阵为彳=21。’则当九=('州寸线性

方程组无解.

B.0C.1

D.2

13.线性方程组AX=0只有零解，则AX=83H0)().

A.有唯一解B.也许无解C.有无穷多解D.无解

14.设线性方程组4r=6中，若r(4b)=4,r(4)=3,则该线性方程

组().

A.有唯一解B.无解C.有非零解D.有无穷多解

15.设线性方程组AX=匕有唯一解，则相应的齐次方程组4X=0

().

A.无解B.有非零解C.只有零解D.解

不能拟定

二、填空题

1.两个矩阵A,B既可相加又可相乘的充足必要条件

是.

2

0

2.计算矩阵乘积［12：0；0

1

-1

3.若矩阵4=[-12],B=[2-31],则。°

4.设4为〃矩阵，B为sxr矩阵，若"与胡都可进行运算，则九〃,s"

有关系式.

102

5.设4=a03，当a=时，A是对称矩阵.

23-1

13

6.当a______________时,矩阵A=可逆.

-1a

7.设A,8为两个已知矩阵，且/-3可逆,则方程A+BX=X的解X=

8.设4为“阶可逆矩阵,则r(X)=

一2-12

9.若矩阵/=402,则r(a=0°•

0-33

10.若r(4b)=4,r(/)=3,则线性方程组4T=%

11.若线性方程组j/一%=°有非零解,则几.

x}+AX2=0

12.设齐次线性方程组4,即*闷=0,且秩(4)=r<n,则其一般解中的

自由未知量的个数等于.

-1-123'

13.齐次线性方程组AX=O的系数矩阵为A=010-2则此方程组

0000

的一般解为.

14.线性方程组的增广矩阵彳化成阶梯形矩阵后为

'12010

彳f042-11

0000d+\

则当。时,方程组有无穷多解.

15.若线性方程组4X=匕3H0)有唯一解，则AX=0.

三、计算题

-102-21

1.设矩阵4=-124,B二-13求（2/-AT*.

_311_03

-212-6r

102

2.设矩阵4=,B=010,C=22»计算+C.

1-20

002-42

-13-6-3

3.设矩阵A-4-2-1,求Al

211

012

4.设矩阵/=114,求逆矩阵41

2-10

lr63

1o-2

5.设矩阵A=,3=12,计算（4百二

1-20

LJL41

'111

12-3

6.设矩阵［=0-2,6=，计算（胡）

0-12

20JL」

__o_Q_Ir_i-

7.解矩阵方程"X=".

_34J2_

"1「1

8.解矩阵方程X=

_35j|_20

9.设线性方程组

/+%3=2

■x（+2%2叼0

2a+x2-axy-b

讨论当a,6为什么值时，方程组无解，有唯一解,有无穷多解.

%1+2元3=-1

10.设线性方程组一七+々-3七=2,求其系数矩阵和增广矩阵的

2范-x2+5X3=0

秩，并判断其解的情况.

11.求下列线性方程组的一般解：

%)+2X3-x4=0

v—X]+%2—3刍+2元4=0

2xj—x2+5X3-3X4=0

12.求下列线性方程组的一般解：

2xl-5X2+2X3=-3

<玉+2X2-x3=3

—2工1+14^2—6X3=12

13.设齐次线性方程组

—3X2+2X3=0

<2%j-5X2+3X3=0

3元[-8九2+%工3=0

问九取何值时方程组有非零解，并求一般解.

X]+工2+X3=1

14.当力取何值时，线性方程组,22+超-4X3=4有解？并求一般解.

-X1+5X3=1

15.己知线性方程组AX=人的增广矩阵经初等行变换化为

-1-16-31

A01-330

00002-3_

问X取何值时，方程组AX=。有解？当方程组有解时，求方程组AX=h的一般

解.

010100

16.设矩阵A20-1010,求(/+A)T.

34100

试题答案

单项选择题

1.A2.B3.D4.D5.C6.D7.B8.C

9.D10.A11.A12.A13.B14.B15.C

二、填空题

-23-1

1.A与3是同阶矩阵2.⑷3.4.m=t,n=s

4-62

5.06.〜37.(I-B)-'A8.n9.210.无解

xt=-2X3-x4

11.-112.nr13.<（其中％3，匕是自由未

x2=2X4

知量）14.-115.只有0解

三、计算题

'10o'L102-1T

1.解由于2/-AT=2010—-124

001311

一20o--1-13一-11-3-

020—021=00-1

002241-2-41

所以（2/-4）8=

2.解：BAT+C=

-13-6-3100114107

3.解由于（JI）=-4-2-1010001012

211001211001

114107I101-4-1

001012T001012

0-1-7-20-130-10-271

100-1301fio0-130

T0-10-271-0102-7-1

001012]|_001012

-130

所以A'=2-7-1

012

012100114010

4.解由于（月/)114010f012100

2-100010-3-80-21

102-11o]p002-11

―012100->0104-21

00-23-200-23-21

1002-11

-0104-21

001-3/21-1/2

2-11

所以A'=4-21

-3/21-1/2

63

10-2-21

5.解由于AB=12

1-204-1

41L

1o

力5

21

1-

1o

--

22

o121

11-

--

所

以zX

xl5)22

21

1

12-3-5-3-

6.解由于胡=0-2

0-1242

0

-3101F-l-111

(BA

201f4201

1

所以（瓦4）T

-2

-2-3101111

7.解由于

34013401

111043

01-3-201-3-2

-2-343

即

34-3-2

432

所以，才=

-3-22-1

1210121010-52

8.解：由于—>

35010-1-31013-1

12-52

即

353-1

12-1-52-83

所以，X=

2035203-1-104

10121012

9.解由于12-1002-2-2

21-ab01-a-2b-4

10I2

—>01-1-1

00-a-1b-3

所以当。=-1且匕。3时，方程组无解;

当a时，方程组有唯一解;

当a=-1且8=3时，方程组有无穷多解.

10.解由于

102-1102-1

A-11-3201-11

2-1500-112

102-1

01-11

0003

所以r(4)=2,r(A)=3.

又由于rC4）wr（X）,所以方程组无解.

11.解由于系数矩阵

102-1102-1

A-11-32T01-111

2-15-30-110

=-2X+x

所以一般解为34（其中七，X,是自由未知量）

X2=X3-x4

12.解由于增广矩阵

2-52

A12-1

-214-6

1

王+1

所以一般解为（其中人是自由未知量）

4,

X2+1

13.解由于系数矩阵

1-321-3210-1

A2-53—>01-101-1

3-82012-6002-5

所以当九=5时，方程组有非零解.且一般解为

玉=.

«（其中刍是自由未知量）

,%2=13

14.解由于增广矩阵