2023年经济数学基础春季学期线性代数部分学习辅导

经济数学基础2023春季学期线性代数部分学习辅导

现在是经济数学基础本学期第三次复习辅导活动，欢迎大家参与！

前两次学习辅导活动给出了微分和积分两部分的学习规定，并结合最近几年

微分学与积分学部分的考试题,分析了这两部分的重点内容，应当说它们对您的

学习和复习会有很大的帮助的，希望大家重视，并在期末要认真复习.

本次活动的重要内容重要是对本课程第三部分线性代数提出学习规定，并结

合最近几年线性代数部分的考试题讲解该部分的重点内容,希望大家按照这些规

定和重点进行复习.只要大家按照本学期的三次教学活动的内容进行认真地复

习，相信大家能顺利完毕学习任务的.

线性代数部分学习规定

第1章行列式

1.了解一些基本概念

（1）了解〃阶行列式、余子式、代数余子式等概念；

（2）了解〃阶行列式性质，特别是性质1、2、3、5.

2.掌握行列式的计算方法

化三角形法：运用行列式性质将行列式化成上（或下）三角行列式，其主对角

线元素的乘积即为行列式的值.

降阶法:运用性质将行列式的一行（列）化成只有一个（或两个）非零元素，然

后按这零元素最多的行（或列）展开化成低一阶行列式，直至降到三阶或二阶行

列式，最后直接计算.

3.知道克拉默法则.

第2章矩阵

1.了解或理解一些基本概念

（1）了解矩阵和矩阵相等的概念；

例1（2023年7月）设A,8均为〃阶矩阵，则等式

(A-8)2=A2-2AB+B2成立的充足必要条件是

由于(4_8)2=(4_8)(4_8)=42_胡_"+52=42_248+82

即AB^BA

应当填写：AB=BA

（2）了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和

性质；

例2（2023年10月部队）若方阵A满足,则A是对称矩阵.

应当填写:

例3（2023年1月）以下结论或等式对的的是（）.

A.若A,B均为零矩阵，则有/=BB.若A8=AC,且Aw。,则B=C

C.对角矩阵是对称矩阵D.若AM岳。贝ijABw。

对的答案：C

-102

例4（2023年1月）设4=003，当”时,A是对称矩阵.

2a-1

应当填写：3

-102

（2023年1月）9.设A=a03,当即时,A是对称矩阵.

23-1

应当填写：0

（3）理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；

例5（2023年10月部队）设A,8均为〃阶矩阵，（/-约可逆,则矩阵

方程/+8X=X的解X=.

由于A+3X=Xn/=X-BX=（I-B）X,且（/一8）可逆，

所以（Z-B）'A=X

应当填写:（

例6(2023年1月)设A是可逆矩阵，且A+AB=/，则AT=().

A.I-BB.BC.i+BD.I+B

对的答案：D

(2023年10月)4.设A是可逆矩阵，且/1+AB=/，则==().

A.AB.l+BC.I+BD.(I-AB)~

1

由于A+A3=A(I+B)=7'，且A是可逆矩阵，即AV'=/,所以月"=I+B

对的答案：C

例7(2023年7月)设A,6均为A阶可逆矩阵,则下列等式成立的是

A.(A+B)-1=A-'+B''B.(AB)T=A''B'

C.(ABY'=B'A-'D.AB^BA

对的答案:C

(4)了解矩阵秩的概念；

'120-3-

例8(2023年3月)设A=00-13，则r(A)=().

24-1-3_

A.4B.3C.2

D.1

-120-3'-120-3一ri20-3-

由于00-13—>00-13T00-13

24-1-300-130000

对的答案：C

例9(2023年10月)设A为〃阶可逆矩阵，则r(5)=

应当填写：n

（5）理解矩阵初等行变换的概念.

2.纯熟掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关

性质.

例10（2023年1月）设A为3x4矩阵，夕为5x2矩阵，且故意

义，则。是（）矩阵.

A.4x2B.2x4C.3x5D.5x3

对的答案：B

（2023年10月部队）4.设/是mx〃矩阵，6是sxI矩阵，且4^6故意义,

则。是（）矩阵.

B.77XSC.txmD.727XZ

对的答案:A

例11（2023年1月）设/为3x2矩阵,8为2x3矩阵，则下列运算中（）

可以进行.

B.A+BC.A5TD.BA1

对的答案：A

1-2

例12（2023年1月）设矩阵A=43，/为单位矩阵，则（/

-A）T=.

例13（2023年3月）若矩阵A=「12],B=[2-3],则A,8

由于A股

--23'

应当填写:

4-6

3.纯熟掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩

阵，纯熟掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵.

111

例14(2023年1月)设A=—2-2-2，则”A)=

333

111111

由于A=-2-2一2-000，即r(A)=l

333]|_000

应当填写：1

010100

例15(2023年1月)设矩阵A=20-1/=010，求(/+A厂1.

341001

110

解：由于/+A=21-1

342

1101001「11010O-

(/+A/)=21-10100-1-1-210

342001J[Q\2-301

11010olFlioi00

->0112-10r0107-2-1

01

001-511J|_°-511

100-621

-4-0107-2-1

001-511

-621

所以(/+A)T=7-2-1

-511

-112

又如，（2023年7月）设矩阵A=104，计算(/+A)T.

2-1-1

-113

（2023年10月部队）设矩阵A=1-15，计算(I+A)-'.

1-2-1

这两题的解留给大家自己练习.

63

例16（2023年10月）设矩阵=12,计算(力

41

「63,

解:由于=10-212-21

1-204-1

LJL41

1O-

(AO1

11-

1o--

22

o121

11一

-

」

所

以-

B2

(A一2

2nI

1001

例17（2023年1月）设矩阵A0-1,B01，计算（87）7.

-1212

解：由于

0

0012

BTA=0-1

1123

2

3-22

所以由公式得

(-1)x3-2x(-1)1-11

-151

例18（2023年3月）设矩阵A=,B—求(A—/)"

3-6-1

-25

解：由于A-1=

3-7

-2510-2510

[A-lI]

3-7011-21

013201321075

—>

1-21110750132

75

所以—

32

7512

月.（A—/）”

32-11

1212

例19（2023年3月,2023年1月）设矩阵A,B，求解矩

3523

阵方程X4=B.

解：由于

12102（）10-52

35010-1-31013-1

12-52

即

353-1

121212-520

所以,X

2335233-11

例20（2023年10月部队）已知AX=6,其中A

求X.

解：运用初等行变换得

12310012300

357010T0-1-2-310

58100010-2-5-501

I231001204-63

0123-10T0105-52

00-11-21001-12-1

100-64-1

->0105-52

001-12-1

--64-T

即A-1=5-52

-12-1

由矩阵乘法和转置运算得

第3章线性方程组

1.了解线性方程组的有关概念:〃元线性方程组、线性方程组的矩阵表达、系数矩

阵、增广矩阵、一般解.

例21（2023年1月）设齐次线性方程组4*5X5”=。，且厂（A）=2,则方

程组一般解中的自由未知量个数为.

应当填写：3

例22（2023年1月）齐次线性方程组AX=0的系数矩阵为

1-123-

A=010-2则此方程组的一般解为.

0000

应当填写：-2与-龙4,（X3,3是自由未知量）

/2=2X4

例23（2023年10月部队）设线性方程组AX=8的增广矩阵为

一13214_

0-112-6

01-1-26,

02-2-412

则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（).

A.1B.2C.3

D.4

对的答案：B

2.理解并纯熟掌握线性方程组的有解鉴定定理.

例24（2023年10月部队）线性方程组AX=8有解的充足必要条件

是.

应当填写:秩A=秩方

例25（2023年3月，2023年10月）设线性方程组A,„x„X=b有无穷多

解的充足必要条件是（）.

A.r（A）=r（y4）<mB.r（A）=r（A）<nC.m<nD.r（A）<n

对的答案:B

例26（2023年10月部队）若〃元线性方程组AX=。满足秩（A）=n，则该

线性方程组（）.

A.有无穷多解B.有唯一解

C.有非0解D.无解

对的答案:B

例27（2023年7月）设线性方程组AX=b有唯一解，则相应的齐次方

程组AX=O().

A.无解B.有非零解C.只有零解D.解不能拟

定

对的答案：C

1116

例28（2023年10月）设线性方程组AX="且入-0-132

00r+10

则/时，方程组有唯一解.

应当填写：。一1

为+%=1(

例29（2023年1月）线性方程组.).

x,+x2=0

A.有唯一解B.只有。解C.有无穷多解D.无解

对的答案：D

*+2々=1的解得情况是（

(2023年1月)5.线性方程组）.

xx+2元2=3

A.无解B.只有。解C.有唯一解有无穷多

解

对的答案：A

X]-x?有非零解,

例30（2023年1月，2023年1月）若线性方程组＜2

%]+Ax2:0

则4=

应当填写：-1

例31（2023年1月）讨论当a,b为什么值时,线性方程组

X]+%3=2

<X]+2x2-x3=0无解，有唯一解,有无穷多解.

2Xj+%2-ax3=b

10121012

解:由于12-1002-2-2

21-ab01-a-1Z?-4

1012

01-1-1

00-a-\b-3

所以当a=-1且。。3时,方程组无解;

当a0-1时，方程组有唯一解;

当a=-1且匕=3时，方程组有无穷多解.

3.纯熟掌握用消元法求线性方程组的一般解.

%i-x2+X4=2

例32（2023年7月）求线性方程组.

-2X2+.+4L=3的一般解.

2X]-3X2+尤3+5X4=5

解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

1-10121-1012

1-21430-1131

2-31550-1131

1-101210-1-21

0131->01-1-3-1

0000000000

故方程组的一般解为:

%=演+2X4+1

<(*3,X4是自由未知量）。

x2=x3+3X4-1

2X]—5^2-3x-5=-3

又如(2023年10月部队)求线性方程组匹+2%2-6七=3的

一2%j+14X2-6X3=12

一般解.

该题的解留给大家自己练习.

X）+2/—%=0

3年1月）求齐次线性方程组,-占+々-3/+2匕=0的

例33(202

2x1-x2+5X3-3X4=0

一般解.

解:由于系数矩阵

102-1102-1

A=1-320111

25-30-10

%)=-2X+x

所以一般解为34（其中七,乙是自由未知量）

x2-x3-x4

X+w+2X3-X4=0

（2023年