2023年辽宁省营口某中学中考数学一模试卷(含解析)

2023年辽宁省营口一中中考数学一模试卷

一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分）

1.下列几何体中，主视图是三角形的是（）

3.在平面直角坐标系中，点尸（1,-3）关于原点对称的点的坐标是（）

A.(-1,3)B.(-3,1)C.(1,3)D.(3,-1)

4.下列计算正确的是()

A.d1*ay=cfiB.a3-r-a4=a2C.(凉)2=a6D.2〃+3a=6〃

5.若二次根式为常数且方＞-2）在实数范围内有意义，则。的取值范围是（

Va-b

A.-2B.a>hC.-2且a<hD.aW2且。WZ?

6.下列计算正确的是（）

A.V3+V2=V5B.标_弧=&C,V（-2）2=-2d-V84-72=4

7.某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如下:

锻炼时间/〃5678

人数615104

则这35名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为（）

A.6〃，6/?B.6/z,15〃C.6.5。，6〃D.6.5/?,15/?

8.如图，在△ABC中，NACB=90°,AC=BC=4t点。在AC上，点E在A3上，将4

AOE沿直线OE翻折，点A的对称点A,落在8c上，在C£>=1,则43的长是（）

A.1B.&C.4-710D.4-2&

9.若数〃使关于x的不等式组｛3、'X"，有且仅有三个整数解，且使关于y的

2x-a<3（1-x）

分式方程%+空2=1有整数解，则满足条件的所有”的值之和是（）

y-22-y

A.-10B.-12C.-16D.-18

10.甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人

原地休息，已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出

发的时间〃分钟之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为40米/分；②乙用9

分钟追上甲；③整个过程中，有4个时刻甲乙两人的距离为90米：④乙到达终点时，甲

离终点还有280米，其中正确的结论有（）

A.①②③B.②③C.①③④D,①③

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11.已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，31536000用科学记数法表

示为.

12.如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在。。上，两边分别交于A,B两点，

若。。的直径为8,则弦AB的长为.

13.如图1,校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛，我们发现，实心球在空中飞

行的轨迹可以近似看作是抛物线.如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度

yx（m）与水平距离x（w）之间的函数关系是丫=4乂2,则该同学此次投掷实

14.某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的2

倍，因此提前5天完成任务，设原计划每天生产零件x个，根据题意，列方程为.

15.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,2）,点B的坐标为（4,2）.若抛

物线y=々（X-h12+k（h、k为常数）与线段A8交于C、。两点，且CZ）==A8,则

22

k的值为.

16.如图，在矩形A8C。中，对角线AC,BO相交于点。，AD=6,AB=4,点E为线段

BC的中点，动点尸从点B出发，沿B-Af。的方向在8A,A。上运动，以每秒1个单

位的速度从点8出发，设运动时间为f,将矩形沿EF折叠，点B的对应点为夕，当点

夕恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），贝心的值为.

D

三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19、20题各10分，共40分）

(2a-2b+bi.3b+2a

17.计算：2r,+2,2)~-b

a-2ab+ba-bAau

18.2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运

动会.目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定.某校体育社团随

机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并

根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图.

根据以上信息，解答下列问题：

(1)这次被调查的同学共有人；

(2)扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为：

(3)现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或

列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率.

19.如图，一次函数y=x+5的图象与反比例函数产四为常数，且ZW0)的图象相交于

x

4(-2,w)和B两点.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)直接写出不等式X+5WK的解集.

X

(3)将一次函数丁=九+5的图象沿y轴向下平移人个单位">0).使平移后的图象与

反比例函数y=K的图象有且只有一个交点，求。的值.

X

20.某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元.规定每件售价不低于进货价,

经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据

如下表:

售价X（元/件）606570

销售量y（件）140013001200

（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）

（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何

给这种衬衫定价？

（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%,设这种衬衫每月的总

利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

四、解答题（本题共3小题，其中21题10分，22、23题各12分，共34分）

21.在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF〃MN,小聪在河

岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到

达8处，测得河对岸电线杆。位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得8=10米.请

根据这些数据求出河的宽度.（精确到0.1）（参考数据：加21.414,料下1.732）

北

4东

22.如图，AB是0。直径，点C,。为00上的两点，且皿=CD，连接AC,BD交于点、E,

。。的切线AF与8。延长线相交于点凡A为切点.

（1）求证：AF=AE；

（2）若AB=8,BC=2,求A/的长.

23.已知A、3两地之间有一条长240千米的公路.甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出

发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地.两车行驶的

路程之和y（千米）与甲车行驶的时间无（时）之间的函数关系如图所示.

（1）甲车的速度为千米/时，〃的值为.

（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式.

（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间.

五、解答题（24、25小题各14分，共28分）

24.如图，在△ABC中，/C=90°，点。在AC上，且CO>D4,D4=2,点P、。同时

从点。出发，以相同的速度分别沿射线。C、射线D4运动.过点Q作AC的垂线段QR,

使QR=PQ,连接当点Q到达点A时，点尸、Q同时停止运动、设「Q=x,△PQA

与△A8C重叠部分的面积为S,当》=半时，点R恰好在AB边上.

（1）填空：点R恰好经过A8边时，S的值为；

（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.

B

25.如图1,抛物线y—a^+x+c(aWO)与x轴交于A(-2,0),B(6,0)两点，与y

轴交于点C,点尸是第一象限内抛物线上的一个动点，过点尸作POLr轴，垂足为。，

PD交直线BC于点E,设点尸的横坐标为〃人

(1)求抛物线的表达式；

(2)设线段PE的长度为〃，请用含有机的代数式表示〃；

(3)如图2,过点P作PF_LCE,垂足为F,当CF=EF时，请求出，"的值；

(4)如图3,连接CP,当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点。，使

原点。关于直线C。的对称点O'恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满

足条件的点。的坐标.

图1图2图3

参考答案

一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共3（）分）

1.下列几何体中，主视图是三角形的是（）

【分析】主视图是从找到从正面看所得到的图形，注意要把所看到的棱都表示到图中.

解：A、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；

8、圆柱的主视图是长方形，故此选项不合题意；

C、立方体的主视图是正方形，故此选项不合题意；

。、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条实线，故此选项不合题意；

故选：A.

【点评】此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置.

2.4的相反数是（）

A.—B.--C.4D.-4

44

【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可.

解：4的相反数是-4,

故选：D.

【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：

一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的

意义与倒数的意义混淆.

3.在平面直角坐标系中，点尸(1,-3)关于原点对称的点的坐标是()

A.(-1,3)B.(-3,1)C.(1,3)D.(3,-1)

【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-x,-y),

然后直接作答即可.

解：根据中心对称的性质，可知：点尸(1,-3)关于原点。中心对称的点的坐标为(-

1,3).

故选：A.

【点评】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法

可以结合平面直角坐标系的图形.

4.下列计算正确的是()

A.a2.“3=a6B.C.(a3)2—a(,D.2a+3a—6a

【分析】分别进行同底数累的乘法、同底数累的除法、嘉的乘方、合并同类项等运算，

然后结合选项选出正确答案即可.

解：A、”2.〃=45,原式计算错误，故本选项错误；

8、〃+/=原式计算错误，故本选项错误；

C、(〃)2=次，原式计算正确，故本选项正确；

D、2a+3a=5a,原式计算错误，故本选项错误；

故选：C.

【点评】本题考查了同底数第的乘法、同底数幕的除法、幕的乘方、合并同类项等知识,

掌握各运算法则是解题的关键.

5.若二次根式■"为常数且-2)在实数范围内有意义，则。的取值范围是()

Va-b

A.a2-2B.a>bC.-2且D.aW2且。WZ?

【分析】根据二次根式有题意的条件和分式有意义的条件，即可进行解答.

解：♦.•二次根式里!a+2在实数范围内有意义,

V[]a-b

・'.{〃+220〃f>0,

解得：且。>6,

■:b>-2,

・••原不等式组的解集为。>4

故选：B.

【点评】本题主要考查了解不等式组，以及二次根式和分式有意义的条件，解题的关键

是掌握二次根式被开方数为非负数，分式分母不能为0,求不等式组的解集：同大取大,

同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到.

6.下列计算正确的是（）

A.V3+V2=75B.Vis-V8=&c.7（-2）2=-2D.弧+&=4

【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的除法运算法则、二次根式的

性质分别化简，进而判断得出答案.

解：A.M+近,无法合并，故此选项不合题意；

诵-我=3&-2夜=&,故此选项符合题意；

W（-2）2=2,故此选项不合题意；

D.近+近=血=2,故此选项不合题意：

故选：B.

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

7.某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如下：

锻炼时间/万5678

人数615104

则这35名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为（）

A.6力，6hB.6/7,15/?C.6.5/2,6hD.6.5/i,15fl

【分析】直接利用众数和中位数的概念求解可得.

解：这组数据的众数为6/?,中位数为第18个数据，即中位数为6/2,

故选：A.

【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的概念.

8.如图，在△ABC中，ZACB=90Q,AC=BC=4,点。在AC上，点E在48上，将4

ADE沿直线OE翻折，点A的对称点4落在BC上，在CZ）=1,则A'B的长是（）

A.1B.近C.4-710D.4-272

【分析】根据折叠的性质得出A'D=AD=3.在Rt^A'CD中，利用勾股定理求出A'

C=D2-CD2=2V2>那么A'B=BC-A'C=4-272.

解：：AC=4,CD=l,

：.AD=AC-CD=3.

•.,将△ADE沿直线£>E翻折，点A的对称点A,落在BC上,

.*.A'D=AD=3.

在RtZ\4'C£>中，VZC=90°,

•,•A'C=^D2-CD2=V32-12=2V2)

/.A,8=BC-A'C=4-2&.

故选：D.

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形

的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了勾股定理.

^n

9.若数。使关于x的不等式组｛3*'X山，有且仅有三个整数解，且使关于y的

2x-a<3(l-x)

分式方程%+等2=1有整数解，则满足条件的所有4的值之和是()

y-22-y

A.-10B.-12C.-16D.-18

【分析】根据不等式的解集，可得a的范围，根据方程的解，可得a的值，根据有理数

的加法，可得答案.

’11

解：0-14万(X-1)①，

2x-a43(l-x)②

解①得工2-3,

解②得xW警，

不等式组的解集是-3WxW警.

5

•.•仅有三个整数解，

/.-1W^^<O

5

-8W〃V-3,

3y产+12_]

y-22-y

3y-a-I2=y-2.

•「yW2,

.♦.qW-6,

又）'=号@■有整数解，

.,.a--8或-4,

所有满足条件的整数a的值之和是（-8）+（-4）=-12,

故选：B.

【点评】本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关

键.

10.甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人

原地休息，已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出

发的时间〃分钟之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为40米/分；②乙用9

分钟追上甲；③整个过程中，有4个时刻甲乙两人的距离为90米；④乙到达终点时，甲

离终点还有280米，其中正确的结论有（）

A.①②③B.②③C.①③④D.①③

【分析】根据题意和函数图象中的数据逐一进行判断，从而可以解答本题.

解：由题意可得：甲步行的速度为亭=40（米/分）；故①结论正确；

由图可得，甲出发9分钟时，乙追上甲，故乙用6分钟追上甲，故②结论错误；

由函数图象可得：当y=90时，有4个时刻甲乙两人的距离为90米，故③结论正确;

设乙的速度为x米/分，

由题意可得：9X40=（9-3）x,

解得x=60,

，乙的速度为60米/分；

，乙走完全程的时间=注”=20（分），

60

乙到达终点B寸，甲离终点距离是：1200-（3+20）X40=280（X），

故④结论正确；

故正确的结论有：①③④.

故选：C.

【点评】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要

的条件，利用数形结合的思想解答.

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11.已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，31536000用科学记数法表

示为3.1536X107.

【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，〃是正数；当原数的绝对值VI时，〃是负数.

解：将31536000用科学记数法表示为3.1536X107.

故答案为:3.1536X107.

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10"的形式，

其中〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

12.如图，一块直角三角板的30°角的顶点尸落在。。上，两边分别交。。于A,B两点,

若。。的直径为8,则弦A8的长为4.

【分析】作直径4C,连接BC,如图，根据圆周角定理得到N4BC=90°,NC=NP=

30°,然后利用含30度角的直角三角形的性质求出A8.

解：作直径AC,连接BC,如图，

・・・NABC=90°,

VZC=ZP=30°,AC=8,

；.AB=LC=2X8=4.

22

故答案为：4.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的

圆周角所对的弦是直径.

13.如图1,校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛，我们发现，实心球在空中飞

行的轨迹可以近似看作是抛物线.如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度

yx（加与水平距离xCm）之间的函数关系是则该同学此次投掷实

心球的成绩是10，".

图I图2

【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0,解

方程即可.

解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，

.,.令y=0,则

整理得：x2-8x-20=0,

解得：X|=1O,X2=-2（舍去），

,该同学此次投掷实心球的成绩为10/77,

故答案为：10m.

【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题

转化为方程问题.

14.某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的2

倍，因此提前5天完成任务，设原计划每天生产零件x个，根据题意，列方程为—陋

X

-300=5.

-2x-------

【分析】根据采用新技术前后工作效率间的关系，可得出采用新技术后实际每天生产零

件2x个，利用工作时间=工作总量+工作效率，结合实际比原计划提前5天完成任务，

即可得出关于x的分式方程，此题得解.

解：•••采用新技术后，实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，原计划每天生产零件x

个，

，采用新技术后实际每天生产零件2x个.

根据题意得：旦W-孥=5.

x2x

故答案为：陋-誓=5.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是

解题的关犍.

15.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,2）,点B的坐标为（4,2）.若抛

物线＞=V（X-/?）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、。两点，且COnaAB,则

【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和〃的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解

析式，即可得到k的值，本题得以解决.

解：•.•点4的坐标为（0,2）,点8的坐标为（4,2）,

：.AB=4,

•.•抛物线,y=一1（X-〃）2+k（爪k为常数）与线段AB交于C、。两点，且CD=^AB,

：.CD=2,

，设点C的坐标为（c,2）,则点。的坐标为（计2,2）,

.•./J=2C+2=£,+]J

2

抛物线y=—1次-（c+1）]2+k,

把点C（c,2）代入得，2=£[C-（c+1）]2+k,

解得，仁?，

2

故答案为

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是

明确题意，利用二次函数的性质解答.

16.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,8。相交于点。，AD=6,AB=4,点E为线段

BC的中点，动点尸从点B出发，沿B-A-O的方向在BA,AD上运动，以每秒1个单

位的速度从点B出发，设运动时间为/,将矩形沿EF折叠，点B的对应点为8,，当点

B’恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），则，的值为2或学.

-------3-

【分析】①连接BB',由翻折及点E为BC中点可得B'E=BE=EC,即分别垂直EF,

AC,再由平行线分线段成比例计求解.

②由两直线垂直，斜率互为负倒数求解.

解：连接88,如图

由翻折可得B'E=BE,

.•点E为中点,

：.B'E=BE=EC,

；.NBB'C=90°,

J.EF//AC,

/为AB中点，

2

:.t=2.

如图，当EELB。时，作FGJ_8E于点G,

,/BD所在直线斜率为祟=g,

所在直线斜率为-3，即黑=•1，

2GE2

•：BG=AF=t-4,BE=—BC=3,

2

：.GE=BE-BG=1-t,

又；fG=AB=4,

.4_3

1-t2,

解得，=¥■.

故答案为：2或

O

【点评】本题考查四边形翻折问题，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线长度等于

斜边长的一半.

三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19、20题各10分，共40分）

(2a_2babi,3b+2a

17.计算:2+2,2)~-b

a-o2ab+ba-b"a0

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变

形，约分得到最简结果，把〃与b的值代入计算即可求出值.

b

解：原式=[•2tba-b

a-b(a+b)(a-b)2a+3b

2(a+b)+b.a-b

(a+b)(a-b)2a+3b

1

a+b

【点评】此题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运

动会.目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定.某校体育社团随

机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并

根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次被调查的同学共有180人;

（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°；

（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或

列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率.

【分析】（1）根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；

（2）用360。乘以篮球的学生所占的百分比即可；

（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位

同学的情况，再利用概率公式即可求得答案.

解：（1）根据题意得：

544-30%=180（人）,

答：这次被调查的学生共有180人；

故答案为：180；

（2）根据题意得:

360°X（1-20%-15%-30%）=126°,

答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126。，

故答案为：126°；

（3）列表如下:

甲乙丙丁

甲一（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）

乙（甲，乙）一（丙，乙）（丁，乙）

丙（甲，丙）（乙，丙）一（丁，丙）

（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）一

•••共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种,

：.P（选中甲、乙）=三=《.

126

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识.用

到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

19.如图，一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=K（火为常数，且无W0）的图象相交于

x

A（-2,m）和B两点.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）直接写出不等式x+5〈区的解集后-3或-2«0.

X

（3）将一次函数>=尤+5的图象沿y轴向下平移匕个单位（力>0）.使平移后的图象与

反比例函数y=K的图象有且只有一个交点，求b的值.

X

【分析】(1)由一次函数)，=x+5求得A的坐标，然后根据待定系数法可求反比例函数

的表达式；

(2)解析式联立长方程组，解方程组求得B的坐标，然后根据图象即可求得；

(3)根据一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移匕个单位(匕>0),可得y=x+5-/>,

根据平移后的图象与反比例函数丫=上的图象有且只有一个交点，联立方程根据判别式=

X

0即可求出匕的值.

解：(1)•••一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=?仪为常数，且々W0)的图象相

交于A(-2,加)，

・"=-2+5=3,

：.k=-2X3=-6,

...反比例函数解析式为：y=--

x

6

七得x=-2-x=-3

(2)由，或

y=3y=2

y=x+5

：.B(-3,2),

由图象可知，不等式X+5WK的解集是xW-3或-2WxV0,

X

故答案为：xW-3或-2WXV0；

(3).・•一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(/?>0),

.*.y=x+5-b.

:平移后的图象与反比例函数y=K的图象有且只有一个交点,

X

.*.x+5-b—--)

x

.".x2+(5-b)x+6=0,

:△=(5-h)2-24=0,

解得b=2&+5或-2加+5,

故b的值为2&+5或-2&+5.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与一次函数的

性质、数形结合思想的运用是解题的关键.

20.某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元.规定每件售价不低于进货价,

经市场调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据

如下表:

售价X（元/件）606570

销售量y（件）140013001200

（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）

（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何

给这种衬衫定价？

（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%,设这种衬衫每月的总

利润为卬（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；

（2）根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户

最大优惠；

（3）根据题意，可以得到卬与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到

售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少.

解：（1）设y与x之间的函数关系式为

<f60k+b=1400

l65k+b=1300,

解得，尸2°,

lb=2600

即y与x之间的函数表达式是y=-20x+2600；

（2）（x-50）（-20x+2600）=24000,

解得，Xi=70,X2—110,

•尽量给客户优惠，

.♦.这种衬衫定价为70元；

（3）由题意可得，

w=（x-50）（-20x+2600）=-20（x-90）2+32000,

•.•该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%,每件售价不低于进货价，

，50Wx,（x-50）-4-5000%,

解得，50WxW65,

.•.当x=65时，w取得最大值，此时卬=19500,

答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元.

【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意,

利用二次函数的性质和方程的知识解答.

四、解答题（本题共3小题，其中21题10分，22、23题各12分，共34分）

21.在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸E尸〃小聪在河

岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到

达8处，测得河对岸电线杆。位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得C£>=10米.请

根据这些数据求出河的宽度.（精确到0.1）（参考数据：72^1.414,料=1.732）

北

4•东

【分析】如图作BHLEF,CKLMN,垂足分别为H、K,则四边形BHCK是矩形，设

CK=HB=x,根据tan30°=黑列出方程即可解决问题.

解：如图作CKLMN,垂足分别为H、K,则四边形8HCK是矩形，

设CK=HB=x,

VZC/C4=90°,NCAK=45°,

：.ZCAK=ZACK=45°,

：.AK=CK=x,BK=HC=AK-AB=x-30,

・・.HQ=x-30+10=x-20,

在中，VZBHD=90°,ZHBD=30°,

Atan30°=—,

BH

.y/3_x_20

••----------------，

3X

解得x=30+10F打47.3.

二河的宽度为47.3米.

【点评】本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加

辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考

题型.

22.如图，AB是0。直径，点C,。为。。上的两点，且俞=而，连接AC,BD交于点、E,

。。的切线AF与80延长线相交于点F,A为切点.

（1）求证：AF=AE；

（2）若48=8,BC=2,求A/的长.

【分析】（1）利用AB是0。直径，AF是00的切线，得到利用俞=

而得到NABF=NC4£>,进而证得根据等角对等边即可证得AF=AE；

（2）利用勾股定理求得AC,利用△BCEsaBAF得到里-=煦，求得CE=2AF=」AE,

ABAF44

根据AE+CE=AC即可求得AF.

【解答】（1）证明：连接A。，

；AB是。。直径，

：.ZADB=ZADF=90°,

：.ZF+ZDAF=90°,

尸是。。的切线，

/.ZFAB=90°,

：.ZF+ZABF=90°,

：.ZDAF=ZABF,

・AD=CD，

・・・ZABF=ZCAD,

：.ZDAF=ZCAD,

：.ZF=NAEF,

：.AF=AE；

(2)解：・・・AB是。。直径，

：.ZC=90°,

•・・A3=8,BC=2,

：♦A。=VAB2-BC2=V82-22=，

VZC=ZEAB=90°,NCEB=NAEF=NF,

:•△BCESXBAF,

.BC_CE即2_CE

..而一IT京―IT

：.CE^—AF,

4

.\CE=—A£,

4

'：AE+CE=AC=2-/lS，

5

：.AF=AE=^^~.

【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理和相似三角形的判定与性质，解题的关键是

能根据切线的性质和圆周角定理得到90。角.

23.已知A、3两地之间有一条长240千米的公路.甲车从A地出发匀速开往8地，甲车出

发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地.两车行驶的

路程之和y（千米）与甲车行驶的时间无（时）之间的函数关系如图所示.

（1）甲车的速度为40千米/时,♦的值为480.

（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式.

（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间.

【分析】(1)根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的

速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的

地可得a=240X2=480；

(2)运用待定系数法解得即可；

(3)分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可.

解：(1)由题意可知，甲车的速度为：804-2=40(千米/时)；

“=40X6X2=480,

故答案为:40；480；

(2)设y与x之间的函数关系式为y="+〃，

由图可知，函数图象经过(2,80),(6,480),

J2k+b=8°,解得［k=100,

l6k+b=480lb=-120

与x之间的函数关系式为y=100x-120(2WxW6)；

(3)两车相遇前：80+100(x-2)=240-100,解得x=孕;

5

两车相遇后：80+100(x-2)=240+100,解得

5

答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是孕小时或孕小时.

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的

条件，利用数形结合的思想解答.

五、解答题(24、25小题各14分，共28分)

24.如图，在△4BC中，NC=90°,点。在力C上，且CD>D4,D4=2,点P、。同时

从点。出发，以相同的速度分别沿射线QC、射线D4运动.过点Q作AC的垂线段QR,

使QR=PQ,连接尸凡当点Q到达点A时，点尸、。同时停止运动、设PQ=x,/XPQR

与△ABC重叠部分的面积为S,当x=《•时，点R恰好在A8边上.

（1）填空：点R恰好经过AB边时，S的值为条；

一49一

（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.

【分析】（1）当天=与时，△PQR与AABC重叠部分的面积就是的面积，然后根

Q

据尸。=半，QR=PQ，求出"的值是多少即可.

（2）首先根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0<x

时，S=^XPQXRQ=^x2,判断出当点。点运动到点A时，x=2AD=4,据此求

出"?=4；然后求出当申<xW4时，S关于x的函数关系式即可.

当x=[■时，XPQR与AABC重叠部分的面积就是△PQR的面积,

O

•.•PQ若，QR=PQ,

:,QR=与,

6432

申弓义4949

故答案为：当.

(2)如图2,

根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况:

当时，

7

S=^XPQXRQ=^x2,

当点Q点运动到点A时，

x=2AD=4,

当&<x<4时，

7

S=S^APF-S/^AQE=-^AP*FG--^AQ*EQ,

AP=2+—,AQ=2--,

22

AQ_QE

...△AQESAAQRI,AQ]=Q[R

.,磔=1(2彳),

b/

设FG=PG=a,

AG二FG

•：/\AGF^/^AQiRi,丽■

7

••S=S^APF~S&AQE

=^AP-FG-^AQ-EQ

Y4

-—(2-—)•—(2

25

一m

4545

9

•*.s=--%^+-

454545

综上可得，S=,

【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高

分析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.

25.如图1,抛物线y=ax1+x+c(aWO)与x轴交于A(-2,0),B(6,