2023年高考第一模拟试题：数学（北京B卷）（全解全析）

2023年高考数学第一次模拟考试卷

高三数学

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第一部分(选择题40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求

的一项。

1.已知集合力=[,2-4%-540},8=卜卜，=77^?},则/口8=()

A.{x[l<x<5}B.{x|x>-l}C.{x|l<x<5}D.

【答案】C

【分析】解不等式求出43,再根据交集的定义求解即可.

【详解】x2-4x-540,解得-14x45,

x-120,解得X21,

A={x|-l4x45},8={目x21}、

.,./c8={x|lW5}.

故选:C.

2.已知复数z=(-l+3i)-i,则在复平面内z对应点的坐标为()

A.(1,-3)B.(1,3)C.(―3,—1)D.(T-3)

【答案】C

【分析】求出复数z,即可判断.

【详解】因为复数z=(-l+3i〉i=-3-i,

所以在复平面内Z对应点的坐标为.

故选：C

3.设a=ln2,=c=3L则。，b,c的大小关系为（）

A.c<a<bB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】D

【分析】通过0<ln2<l,所以判断出0<。<1；又对6=21c=3;进行化简，得到6=2；=.，

C=3：=9"从而判断出mb,C的大小关系.

【详解】a=ln2,而0<ln2<l,所以0<。<1；

11

又•••/）=2^=8%，c=3§=9%

，令f（x）=/，

而函数“X）在（O,+X）上递增

/.\<b<c

a<h<c

故选：D

22

4.已知双曲线方=1（“>0,6>0）的离心率6=指，则其渐近线的方程为（）

万I

A.y=i2xB.y=±C.y=±—xD.y=±-x

32

【答案】A

【分析】利用双曲线的离心率和性质求解即可.

22

【详解】因为双曲线*■一5=1（。>0,6>0）的离心率6=石,

所以由£=6得5/=/+/,

c2=a2+b2

所以±=2,即渐近线方程为^=±2卬

a

故选：A

5.二项式（爪-金〕的展开式中常数项为（）

A.40B.-40C.80D.-80

【答案】D

【分析】求出展开式的通项，再令x的指数等于0,即可得出答案.

【详解】解：二项式（正-点）的展开式的通项为加

=c(4广(灯=(-2)*d

令2^=0,则左=3,

6

所以常数项为（-2）3C；=-80.

故选：D.

6.已知向量a=（1,2）,：=（叫2_切）,若a_L^，贝U|1|=（）

A.y/3B.2^5C.2工D.20

【答案】B

【分析】根据向量垂直的坐标表示得，〃=4,再求向量的模；

【详解】解：由Z_L5，得”7+4-2机=0,则m=4,即加=（4,-2）

所以|司=142+（-2）2=25

故选：B

7.在平面直角坐标系中，48是直线x+y=〃7上的两点，且根却=10.若对于任意点

尸（cose,sin0）（040<2兀），存在4,8使乙“8=90°成立，则"?的最大值为（）

A.3亚B.472C.5&D.6拒

【答案】B

【分析】可得P是圆/+/=1上任意一点，且需存在A,8,使点尸又在以为直径的圆匕故

只需满足圆/+/=1匕点到直线x+V=m的最远距离小于等于5即可求出.

【详解】设。（XJ），则X=cos。,"sin。，满足/+/=1,

则点尸在圆一+/=1上，

乂存在A,B使a4P8=90°成立，则点尸乂在以|/却为直径的圆上,

•••P是圆产+丁=1上任意一点，A,8是直线x+y=s上的两点，

则应满足圆/+/=1上点到直线的最远距离小于等于5,

\m\

原点到直线的距离为7F

考\m\+金，

则只需满足解得"?©[-4近,4码.

故选：B.

8.已知函数/(x)=sin(2x+g),若/(x+m)的图像关于坐标原点对称，〃x+”)的图像关于y轴对

称，则|加|+同的最小值为()

717T-3

A.-B.一C.一九D.九

424

【答案】A

【分析】根据条件列关系式求〃?，〃，结合绝对值三角不等式求帆|+时的最小值，可得结论.

【详解】因为/(x)=sin(2x+^),所以/(工+加)=$诒(2%+2加+夕)，/(%+«)=sin(2x+2«+^),

因为/(x+m)的图像关于坐标原点对称，〃'+〃)的图像关于y轴对称，所以26+限勺乃，

2〃+(/)-左2兀+]，Z,左2eZ,

所以“用2,〃=竺之丫，所以网+同2m-〃卜依孚三一?，k、eZ,k2eZ,当且仅当

2“224

加，〃异号或机〃=0时等号成立，所以同+同2?,当且仅当占=也，且掰，〃异号或m〃=0时等

号成立，所以同+|"|的最小值为:，

故选：A.

9.在无穷正项等差数列｛4｝中，公差为d,则“｛疯｝是等差数歹11”是“存在AeN"使得的

()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】可设疯=x〃+y(x,yeR),利用%、，可求得数列｛%,｝的通项公式，结合数

列｛%｝为等差数列可求得y=0,求出d关于丹的关系式，再利用充分条件和必要条件的定义判断可

得出合适的选项.

【详解】若｛四｝是等差数列，设疯=x〃+y(x,yeR),则=彳2/+2呼〃+/,

当〃=1时，a,=x24-2xy+y2,

当"22时，q,=S“一S.i=卜2力2+2号〃+_/)_卜2(加-1)2+29+

=2x2n+2xy-x2,

因为数列｛q｝为等差数列，则a,=x2+2xy+/满足a“=2x2n+2xy-x2,

即+29+/=2x°+2xy-Y,可得y=0,故。“=2工、--,

且"=4,+1-4,=2x?=2%(〃eN*),

所以,“d=2《"n"存在AeN*,使得"=m"，

但“d=2%”乐“存在％wN*,使得d=血”,

因此，“｛疯｝是等差数列”是“存在左eN*,使得"=他”的充分而不必要条件.

故选：A.

10.如图，曲线C为函数y=sinx(04x4学)的图象，甲粒子沿曲线C从A点向目的地5点运动，

乙粒子沿曲线C从8点向目的地A点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中

一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为。4”),乙

粒子的坐标为("》),若记=则下列说法中正确的是()

TT

A./("?)在区间(5,乃)上是增函数

B./(m)恰有2个零点

C./(“)的最小值为-2

D.八也）的图象关于点（二,0）中心对称

6

【答案】B

［分析］由题意得到/（加）=2sin2m+sinm-\逐项判断.

【详解】解：由题意得：«=sinw,v=sin1/=sin-2m=cos2m,

所以/'（加）=〃-v=sinm-cos2m=2sin2in+sinm-1,

0<m<—

2

由，得04旌乎,

04包-2人包4

22

令，=§皿加，则y=2产+f-l,因为，=sin,"在《，万）上递减，y=2『+，-1在（0,1）上递增,

所以/（"?）在区间（1,左）上是减函数，故A错误:

]7VSTT

令/(w)=2sin2m+sinzw-1=0,sinm=-^sin/«=-1,解得〃?=—或〃2=——,故B正确;

266

与/当］,所以“用）的最小值为T，故C错误;

因为y=2*+f-l=2

828

因为y=2产+I=2（f+；Jqje［-¥j,关于f=-；对称，是轴对称图形,

所以/（"?）不可能关于点（457r,0）中心对称，故D错误；

故选：B

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知点尸（，*〃）为抛物线C:/=以上的点，且点尸到抛物线C的焦点F的距离为3,则

【答案】2

【分析】由抛物线的方程求出抛物线的焦点和准线，然后利用抛物线的定义结合已知条件列方程求

解即可.

【详解】抛物线C：/=4x的焦点为（1,0）,准线为x=-l,

因为点名〃?,〃）为抛物线C:/=4x上的点，且点P到抛物线C的焦点厂的距离为3,

所以〃7+1=3,得〃7=2,

故答案为：2

12.已知数列｛““｝是首项为3,公比为4的等比数列，S“是其前〃项的和，若%&+%=0,则

S3=■

71

【答案】-##2-

33

【分析】根据题意求出公比利用等比数列前〃项和公式即可求解.

【详解】因为数列｛%｝是首项为3,公比为4的等比数列，且44+。5=0，

所以a闯Lqa'+qqJO,因为q*O,所以％+1=0,贝=

由等比数列的前〃项和公式可得：底=」尸'=一产-=：,

i—q13

3

7

故答案为：—.

13.某公园划船收费标准如下:

船型两人船（限乘2人）四人船（限乘4人）六人船（限乘6人）

每船租金（元/小时）90100130

某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总

费用为元，租船的总费用共有种可能.

【答案】36010

【解析】由题意直接列举出所有可能即可得解.

【详解】由题意，当租两人船时，租金为二x90=720元,

2

当租四人船时’租金为%。°=4。。元,

当租一条两人船、两条四人船、一条六人船时，租金为90+100x2+130=420元,

当租两条两人船、三条四人船时，租金为90x2+100x3=480元,

当租两条两人船、两条六人船时，租金为90x2+130x2=440元，

当租三条两人船、一条四人船、一条六人船时，租金为90x3+100+130=500元,

当租四条两人船、两条四人船时,租金为90x4+100x2=560元,

当租五条两人船、•条六人船时，租金为90x5+130=580元,

当租六条两人船、一条四人船时，租金为90x6+100=640元，

当租一条四人船、两条六人船时，租金为100+130x2=360元.

所以租船最低总费用为360元，租船的总费用共有10种可能.

故答案为：360；10.

14.如图，在正方体力BCD—44G2中，E为棱8c的中点.动点尸沿着棱。C从点。向点C移动,

对于下列四个结论：

①存在点尸，使得P4=PE；

②存在点P,使得平面PA.E1平面BDD百；

③△取田的面积越来越小；

④四面体4尸3也的体积不变.

所有正确的结论的序号是.

【答案】①③④

【分析】设正方体棱长为1,DP=x,求出P/：,由尸干=尸尸解得X（04x41）,确定①正

确，由正方体性得出4c■1■平面BBQQ,从而由4G与平面A.PE的位置关系判断②，考虑到P到平

面48f的距高为变，从而易判断④，以。为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱

长为2,设尸（0,肛0）,（04加42）,由空间向量法求得尸到&E的距离，由距离的变化规律判断③.

【详解】设正方体棱长为1,DP=x,

由A4_L平面49CQ,ZPu平面45c。得，/尸，同理PC_LEC,、

222222

所以尸42=/42+4。2+。尸2=2+丫2,PE=PC+CCI+C1£=l+（l-x）+|=^+（l-x）,

由2+，1+(j)2得Xj存在P使得尸4=PE,①正确,

正方体中，由8片，平面48c2，4Gu平面48£2，则881_L4G，4CJBR,

BB[CB[D、=B],BB[,B\D\u平面BB、DQ,所以4clJL平面BBRD,

若平面PA.E1平面BDDS:则4Gu平面P&E或4G〃平面PA,E,

但当P在C。上移动时，4G与平面尸4E总是相交，②错；

正方体中，C。//平面4与G2，PeCD,所以「到平面4MC2的距离不变，即P到平面/©E的

距离不变，而△48E面积不变，因此三棱锥尸即四面体4PA£的体积不变，④正确；

以DA,DC,为X，y,Z轴建立空间直角坐标系，如下图，

设正方体棱长为2,则4(2,0,2),£(1,2,2),设正0,%,0),(0<m<2),

PE-Jl+(zn-2)2+4=-4m+9，

而=(1,2-机,2),乖=(-1,2,0),丽=氐

c°s<而不>JL*©(T2,0)=产,

2

A/5•-4〃？+9y/5-yjm-4阳+9

设P到直线4E的距离为d,则

d=IPFlsin<PEjfi>=^2-49.J-(「1享产=如褒2Q,

11W+5*

V6JW2-4W+9V5y/5

由二次函数性质知04机42时，、=(加-4『+20递减，所以d递减，又4E=并不变，

所以！4尸E的面积为;|4目“递减，③正确，

故答案为：①③④.

【点睛】方法点睛：建立空间直角坐标系，用空间向量法确定空间的距离和角，用空间向量法研究

空间图形的位置关系.

15.已知函数〃x)=｛普;其中〃后-1.若存在实数从使得关于x的方程/(x)=6有

两个不同的实数根，则用的取值范围是.

【答案】［7,2)

【分析】通过分析分段函数的单调性可得到1。&(加+2)-2皿+3>0,故令

x

g(x)=log4(x+2)-2+3,x>-l,通过导数的知识分析g(x)的单调性即可得到答案

【详解】当时，/(x)=log4(x+2),是增函数；

当x>“时，/(切=2*-3,也是增函数，

所以当点(见1陶(〃，+2))在点("2"-3)上方时，存在实数6,使直线y=6与曲线y=/(x)有两个

交点，

即存在实数6,使得关于x的方程/(x)=6有两个不同的实数根，

所以bg4(m+2)>2"'-3［I］】log4(，〃+2)-2"'+3>0,

令g(x)=log4(x+2)-2*+3,xN-l,

所以,()舟湎**

因为当xN-1,函数P=(x+2)ln4单调递减'函数卜=2、单调递增,

所以当xN-1时，g'(x)=(x+；)ln4-21n2单调递减,

又g'（7）=去一**2^）^-4.n2<0.

所以存在不«-1,2),使得g'(x0)=O,

所以当x«T,x()),g,(x)>0,g(x)单调递增；当xe(xo，«»),g[x)<0,g(x)单调递减,

因为g(-])=bg4l-g+3>0,g(2)=log44-4+3=0,

所以当xw[-l,2)时,g(x)>0,

故机的取值范围是11,2),

故答案为：[-1,2)

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题13分)

2兀

已知在“8。中，b3=a2b+be2—ac2,C=—.

(1)求4的大小；

(2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使“IBC存在且唯一确定，并求出8C边上的中线的长度.

①”吕。周长为2+0；②。=1；③”8C面积为主叵；@c=>/2a

4

【答案】(1)4=5

6

(2)答案见解析

【分析】⑴原式可化为他2+ab)(b_a)=c2(b-。，可得b=a或加+而j2,通过分析即可解得

4兀

(2)由(1)知，4=8=5，C==.根据正弦定理，可推得〃:6:c=l:l:石.

63

若选①周长为2+行，则。=b=l,c=6然后根据余弦定理即可求得中线的长;

若选②。=1,可推得b=l,c=A然后根据余弦定理即可求得中线的长;

若选③ABC面积为地，根据面积公式可推得°=6=百，c=3,然后根据余弦定理即可求得中

4

线的长；

若选④c="z，由（1）可推得。=儡，与条件c="z矛盾，即不存在这样的三角形.

【详解】（1）由〃=/6+反2一"2可得，b3-a2b=be2-ac2,

即b仅2_/）=/（力—，所以仅2+〃6）（8_4）=c2^b-a）,

所以b-〃=0或〃+ab=（?.

27rjr

当b-a=O,即b=a时，又C=一，所以Z=8=一；

36

^]b2+ab=c2时，

2兀

又C=3~,则由余弦定理知,c2=a2+b2—2abcosC=a2+b2+ab>b2+al^

这与万+ab=/矛盾,舍去.

所以，

6

由正弦定理可得a:h:c=sinA:sinB:sinC=\:\：y/3，

乂“J6C周长为2+行，所以。=6=1,。=百，则”8。存在且唯•确定.

设8c中点为。，则CO=!8C=],

22

在A/CD中，有。=生，/C=l,CD=-,

32

由余弦定理可得，AD2AC2+CD2-2AC-CDcosc=12+-2xlx|x^-1j=2,

所以，AD=立；.

2

若选②，即〃=1,由（1）知，4=8=2，C=7~.

则b=l,根据正弦定理三可得。=竺~=--=0,

sinAsinCsinA1

2

则”8C存在且唯一确定.

设5c中点为O,则CO=[BC=],

22

在△4CD中，有。=生，AC=1,CD=-t

32

由余弦定理可得，AD2=AC2+CD2-2ACCDcosC=j2-2xlx|x|^-1j=^.

所以，AD=立；.

2

若选③，即“8C面积为迈.由(1)知，A=B=y,C=",则a=6.

463

2

SABC——absinC=—ax^-=,所以々2=3,则。=百，所以b=

"BC2224

根据正弦定理三nj^c=£^l£=--L-=3,

sinAsinCsin42

2

则存在且唯一确定.

设3c中点为。，则CQ=」6C=Y1,

22

在△ZCD中，有。=«,AC=^3»CD=^~，

32

由余弦定理可得，AD2=AC2+CZ)2-2ACCDcosC=(V3)2一2、百,

所以，AD=Y1L；.

2

若选④c=41a.

由(1)知，A=B=—,C=

63

旦

根据正弦定理三=，K，可得C=等。=[一=6小

sinAsinCsin%

2

与c=&a矛盾，所以，不存在这样的“8C.

17.(本小题14分)

如图，在多面体48COEE中，梯形NOEF与平行四边形N8C。所在平面互相垂直,

AFHDE,DE1AD,AD1BE,4F=AD=、DE=1,

2

(1)求证：BF〃平面CDE；

(2)求二面角8-E尸-。的余弦值；

(3)判断线段上是否存在点°,使得平面CD。，平面8£尸？若存在，求出等的值，若不存在，

DC.

说明理由.

【答案】(1)详见解析

⑵当

3

(3)存在点。；修=3

【分析】(1)根据线面平行的判断定理，作辅助线，转化为证明线线平行；

(2)证得D4,DB,OE两两垂直，从而建立以。点为原点的空间直角坐标系，求得平面。E尸和

平面8所的一个法向量，根据法向量的夹角求得二面角的余弦值；

⑶设质量屁=(0,一九2#(北[0,1]),求得平面8。的法向量为心若平面平面2所，

则玩应=0,从而解得；I的值，找到。点的位置.

【详解】(I)取。E的中点连结MF,MC,

因为/尸=1£)£1,所以力尸=。也，且/尸=。加，

2

所以四边形尸是平行四边形，所以0V/N。，且"尸=4。、

又因为4D〃BD,且4D=BC,所以MF"BC、MF=BC,

所以四边形8c”尸是平行四边形，所以BF//CM、

因为BFZ平面COE,CMu平面CDE,

所以8尸〃平面C£>E；

E

（2）因为平面平面NBC。，平面/DET7D平面488=/。，DE1AD,

所以QE工平面/BCD,DBu平面4BCD,则故D4,DB,DE■两两垂直，所以以£M,

DB,OE所在的直线分别为x轴、歹轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，

则。（0,0,0）,40,0,0）,5（0,1,0）,C（-l,l,0）,£（0,0,2）,尸（1,0,1）,

所以砺=（0,-1,2）,万=0,0,-1）,万=（0,1,0）为平面DEF的一个法向量.

设平面BEF的一个法向量为m=（x/,z）,

-y+2z=0

由m-BE=0,in-EF=0>得

x-z=0

令z=l,得片=0,2,1).

—>—>

2V6

cos(m,n

所以Ifl=布=丁・

如图可得二面角8-E尸-。为锐角,

所以二面角3-EE-O的余弦值为迈

3

（3）结论：线段8E上存在点。，使得平面平面8EF.

证明如下:

设团=2屁=(0,-42/1)(/1€[0,1]),

所以丽=丽+丽=(0,1-2,22).

设平面CO0的法向量为万=(a,b,c),又因为成=(-1,1,0),

_._卜1-仍+2%=0

所以小。0=0,u-DC=O＞即〈入c，

[一〃+6=0

若平面CQ0~L平面8E尸，贝IJ而y=0,即〃+2b+c=0,

解得2=3e[°，1]•所以线段BE上存在点Q,使得平面CDQL平面BEF,

且此时仁=1

18.(本小题13分)

开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步

增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为确保学生课后服务工作

顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进

行调查，获得数据如下表：

男女

支持方案一2416

支持方案二2535

假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.

(1)从样本中抽1人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；

(2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为抽出两人中女生的个数，求X

的分布列与数学期望；

(3)在(2)中，丫表示抽出两人中男生的个数，试判断方差。(X)与。(y)的大小.(直接写结果)

【答案】(书

(2)分布列见解析，£(-¥)=—

60

(3)D(y)=D(x)

【分析】(1)利用古典概型的概率公式计算即可求解;

(2)根据题意可得X的可能取值为0,1,2,求出所对应的概率，即可列出分布列，利用随机变量的

期望公式即可求解;

(3)根据己知条件得出y=2-x,再利用方差的性质即可求解.

【详解】(1)依题意支持方案二的学生中，男生有25人、女生35人，所以抽到的是女生的概率

..357

-25+35-12'

(2)记从方案•中抽取到女生为事件A,从方案二中抽取到女生为事件5,

则「(小就2「⑻二募7

512

则X的可能取值为0、1、2,

中=2)令:噌

所以X的分布列为:

X012

j_3114

P

46060

lix21-1459

所以E(X)=0x++2x—

4606060

(3)依题意可得y=2-X,所以。a)=。(2--)=(-1)2。国)=。&),

即。(y)=z)(x).

19.(本小题15分)

已知椭圆。中心在原点O,焦点在坐标轴上，其离心率为变，一个焦点为尸(0,1).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点F且不与坐标轴垂直的直线/与椭圆相交于48两点，直线。8分别与直线y=2相交于

M,N两点，若NMCW为锐角，求直线/斜率A的取值范围.

【答案】⑴金=1

2

(2)(-OO,-l)U(一乎，孝)U(l,+8)

【分析】（1）根据椭圆的离心率和焦点坐标可求出a,c的值，再利用a,b,c的关系即可求解出方程;

（2）设直线/的方程为V=b+1,/区,必）,8（迎,力），根据题意求出点M,N的坐标，由NMCW为锐角,

可得丽•丽＞0且不平行，将直线方程与椭圆方程联立方程组，由韦达定理可得上的取值范围.

【详解】（1）由题意知：椭圆C的离心率0=£=交，

a2

因为一个焦点为尸（0,1）,所以C=l,则0=及，

由［2=62+。2可得:b=l,

所以椭圆c的标准方程为/+zi=1.

2

(2)设直线/的方程为y=h+l,A(x,,yl),B(x2,y2),

y=kx+\

联立方程组’2y2,整理可得：（2+/）/+2米-1=0,

%2+—=1

2

—2k—1

则n有占+々=♦，研2=.’

由条件可知：直线。4所在直线方程为：N="x,

再

因为直线与直线V=2相交于历

所以〃（生,2）,同理可得：N（2Z,2）,

必必

则两二（生,2）,丽=声,2）

,y2

若NMCW为锐角，则有两•丽＞0，

所以OM＞ON=+4=-----——+4=--------------------+4

yty2（村+1）（5+1）kx［x2+k（x1+x2）+1

-1

4x

2+k1

+4

公x「+"•+]

2+/2+公

=上一，则竺一＞0,解得：公＜；或42＞1,

k2-\无2-12

所以-也＜k〈显或左＞1或攵＜一1,

22

故直线/斜率上的取值范围为（-OO,-1）U（-［，¥）U（1,+8）.

20.（本小题15分）

已知x=l是函数〃x)=^-lnx+ln("+2)的一个极值点.

⑴求。值；

(2)判断，(x)的单调性;

(3)是否存在实数m,使得关于x的不等式f(x)>m的解集为(0,+8)？直接写出m的取值范围.

【答案】(1)4=2

(2)函数在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

(3)存在,we(-oo,ln2]

【分析】(I)求导得到导函数，根据/'(1)=0计算得到答案.

(2)求导得到/'仁)=；詈，根据导数的正负得到单调区间.

2

(3)先证明ln(l+x)<x,1：1(1+力<力万工，计算得到/卜)>1112,fi/(x)<-^==+ln2,得到答

1।।

,.Inr.、--F1—InX«

【详解】(l)/(x)=F-hu+ln(or+2),则*川=^_________1।a

]+xV7(1+x)2xG+2

1+l-lnx

1a21

/'⑴=I+-------=——1°=0，解得。=2.

xax+24ci+2

-+l-lnx

12-Inx

+

'1(心)2x2x+2(1+x)2

当xe(O,l)时，/0(x)>0,函数单调递增;

当xe(l,+8)时，/(力<0,函数单调递减.

故x=l是函数的极大值点，满足.

-Inx

(2)/'(x)=

(1+4,

当xe(O,l)时，/心)>0,函数单调递增;

当xe(l,+8)时，/'(x)<0,函数单调递减.

(3)/(加普一hu+ln(x+l)+E2=皿(2；?+睚+)-,

当x£(0,+oo),易知ln(x+l)-lnx>0,ln(x+l)>0,故/(x)〉ln2.

故加Kin2,满足条件.

1y

当xe(O,+<»)时，设g(x)=ln(l+x)_x,故=_鼠1<0，

故g(x)<g(O)=O,Hpin(l+x)<x,

当xe(O,同时，设“(x)=ln(I+x)-Q，3)=右一刀£=卷等,

当xe(O,3)时，/(x)=个导>0,函数单调递增;

当xw(3,+8)时，/(x)=22函数单调递减;

故/?(力工〃(3)=1114-2<0,故ln(l+x)<Jl+x.

(l+J)+ln(x+l)x-

xln—卜Jx+12

/(')=一~〃-------------+ln2<—-----------+In2<-j^=+ln2'

x+1x+1Jx+1

即/(x)可以无限接近ln2.

综上所述：we(-co,In2].

【点睛】本题考查了根据极值点求参数，利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题，意在考

查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中放缩的思想是解题的关键.

21.(本小题15分)

已知数列4：&&…q,(N>4)，其中勾，“2,…,"NwZ,S.a}<a2<-<aN.

若数列％编满足4=可羔=。*'当i=2,3,…，N—1时'+1或4=的-1，则称如

~~~为数列/的“紧数列

a

%,〃2,…