函数的导数是怎么算出来的

函数的导数是怎么算出来的第一页，共二十一页，编辑于2023年，星期日图一微分的几何意义第二页，共二十一页，编辑于2023年，星期日所以

而PQ为曲线若曲线的弧长为

在M点处的切线MT上的纵坐标的增量。当自变量很小时，就可以用切线段上的增量来近似代替曲线段上的增量。

则有

上式称为弧的微分公式，由图可知：第三页，共二十一页，编辑于2023年，星期日当曲线上的N点无限地（想象力比知识重要！）接近M点时，即

时，曲线的弧长为转化为直线（切线MP）。此时，

根据导数与微分的关系、导数与积分的关系，由基本初等函数的求导公式和积分公式，可以直接推出其微分和积分公式。(增量等于微分)

第四页，共二十一页，编辑于2023年，星期日函数的导数我们是这样定义的： 设函数在点x0处及其近旁有定义，当自变量x在x0处有增量时，相应地函数y有增量。如果 的极限存在，这个极限称为函数y=f(x)在点x0处的导数（或称为变化率），记为：

如果极限不存在，就说函数y=f(x)在点x0处不可导。第五页，共二十一页，编辑于2023年，星期日

根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数的三个步骤：

2.算比值：

1.求增量：

3.取极限：

例1求函数 (c是常数)的导数。解：（1）求增量：（2）算比值：

（3）取极限：这就是说，常数的导数等于零求导举例：二、函数的导数怎样计算呢？第六页，共二十一页，编辑于2023年，星期日例2求函数的导数解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取极限:同理可得:第七页，共二十一页，编辑于2023年，星期日

例2求正弦函数的导数解：因为所以即(sinx)´=cosx同理可得：(cosx)´=-sinx采用类似的方法可以求得其他函数的导数.如下表第八页，共二十一页，编辑于2023年，星期日导数公式

微分公式

积分公式

第九页，共二十一页，编辑于2023年，星期日第十页，共二十一页，编辑于2023年，星期日（一）、定积分问题举例1、求曲边梯形的面积

xy=f(x)定积分是怎么计算出来的第十一页，共二十一页，编辑于2023年，星期日思想方法在区间[a,b]中任取若干分点：把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间：过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为xy0y=f(x)（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条第十二页，共二十一页，编辑于2023年，星期日（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形xy0y=f(x)ξｉf(ξ)ｉ第十三页，共二十一页，编辑于2023年，星期日（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一个近似值。把n个小矩形的面积相加得和式它就是曲边梯形面积A的近似值，即xy0y=f(x)ξｉf(ξ)ｉ第十四页，共二十一页，编辑于2023年，星期日（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之和的极限就是曲边梯形面积A的精确值。分割越细，就越接近于曲边梯形的面积A，当可见，曲边梯形的面积是一和式的极限xy0y=f(x)ξｉf(ξ)ｉ小区间长度最大值趋近于零，即0（表示这些小区间的长度最大者）时，和式的极限就是A，即第十五页，共二十一页，编辑于2023年，星期日取极限二、定积分的定义定义设函数f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点：分划任取作和式近似求和记第十六页，共二十一页，编辑于2023年，星期日存在，且极限值I不依赖于的选取，也不依赖于[a，b]的分法，则称I为f(x)在[a，b]上的定积分(简称积分)，记作,即其中：f(x)叫做被积函数;f(x)dx叫做被积表达式;x叫做积分变量;a叫做积分下限，b叫做积分上限;[a,b]叫做积分区间。第十七页，共二十一页，编辑于2023年，星期日如果f(x)在[a，b]上的定积分存在，也称f(x)在[a，b]上可积。否则，称f(x)在[a，b]上不可积。注：定积分的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。即第十八页，共二十一页，编辑于2023年，星期日设在区间上连续，是它的任意一个原函数，则有牛顿—莱布尼兹公式记作（三）