偏微分行波法

偏微分课件行波法第一页，共五十九页，编辑于2023年，星期六行波法波动方程的初值问题（一维）（I）波动方程2023/6/162第二页，共五十九页，编辑于2023年，星期六一维波动方程的定解问题无界弦的自由振动无界弦的强迫振动半无界弦的自由振动半无界弦的强迫振动三维波动方程的定解问题二维波动方程的定解问题球对称情形一般情形球面平均法行波法降维法有限弦的振动问题2023/6/163第三页，共五十九页，编辑于2023年，星期六1.无界弦的自由振动特征方程为特征线为故作线性变换方程改写为2023/6/164第四页，共五十九页，编辑于2023年，星期六2023/6/165第五页，共五十九页，编辑于2023年，星期六此即为原方程的通解。利用初值条件确定函数F，G其中为任意一点，而C为积分常数，2023/6/166第六页，共五十九页，编辑于2023年，星期六达朗贝尔公式2023/6/167第七页，共五十九页，编辑于2023年，星期六把定解问题的解表示为左、右行进波相叠加的方法称为“行波法”。2023/6/168第八页，共五十九页，编辑于2023年，星期六例1：解：由达朗贝尔公式2023/6/169第九页，共五十九页，编辑于2023年，星期六例2：解：2023/6/1610第十页，共五十九页，编辑于2023年，星期六例3：2023/6/1611第十一页，共五十九页，编辑于2023年，星期六物理意义右传播波左传播波2023/6/1612第十二页，共五十九页，编辑于2023年，星期六2023/6/1613第十三页，共五十九页，编辑于2023年，星期六影响区域、依赖区域、决定区域波动是以一定的速度a向两个方向传播的。

如果在初始时刻t＝0，扰动仅仅在有限区间上存在，则经过时间t后，扰动传到的范围为影响区域定义：上式所定义的区域称为区间的影响区域。2023/6/1614第十四页，共五十九页，编辑于2023年，星期六定义区间称为解在（x，t）的值的依赖区间。从达朗贝尔公式中可以看出，u(x,t)仅仅依赖于中的初始条件。依赖区间它是过（x，t）点，斜率分别为的直线与x轴所截而得到的区间（如右图）。2023/6/1615第十五页，共五十九页，编辑于2023年，星期六定义区间过作斜率为的直线过作斜率为的直线则它们与区间一起围成的三角形区域中的任意一点(x,t)的依赖区间都落在区间内，因此该三角区域称为决定区域。2023/6/1616第十六页，共五十九页，编辑于2023年，星期六2.无界弦的强迫振动（I）（II）（III）2023/6/1617第十七页，共五十九页，编辑于2023年，星期六叠加原理定解问题（I）的解是定解问题（II）的解与定解问题（III）的解之和。问题（II）的解可以用达朗贝尔公式来求解。故只须考虑求解问题（III）的解。我们利用齐次化原理来求解问题（III）的解。2023/6/1618第十八页，共五十九页，编辑于2023年，星期六齐次化原理（Duhamel原理）设是（IV）的解，则正是的解。（III）2023/6/1619第十九页，共五十九页，编辑于2023年，星期六下面来求出（III）的解的表达式令（IV）化为利用达朗贝尔公式可得于是有2023/6/1620第二十页，共五十九页，编辑于2023年，星期六齐次化原理的证明需要用到参变量积分的求导2023/6/1621第二十一页，共五十九页，编辑于2023年，星期六2023/6/1622第二十二页，共五十九页，编辑于2023年，星期六定解问题（I）的解一维非齐次波动方程的Kirchhoff公式。2023/6/1623第二十三页，共五十九页，编辑于2023年，星期六例5：由例2，2023/6/1624第二十四页，共五十九页，编辑于2023年，星期六3.半无界弦的自由振动我们先考虑情形，即一端x=0固定的振动。希望能利用达朗贝尔公式来求解2023/6/1625第二十五页，共五十九页，编辑于2023年，星期六为此，我们要作奇延拓（有时也作偶延拓）2023/6/1626第二十六页，共五十九页，编辑于2023年，星期六为了得到半无界问题的解，只须限制当时，当时，当在x=0处有一个自由端，即则需要作偶延拓。2023/6/1627第二十七页，共五十九页，编辑于2023年，星期六例当当2023/6/1628第二十八页，共五十九页，编辑于2023年，星期六4.半无界弦的强迫振动作奇延拓2023/6/1629第二十九页，共五十九页，编辑于2023年，星期六考虑2023/6/1630第三十页，共五十九页，编辑于2023年，星期六2023/6/1631第三十一页，共五十九页，编辑于2023年，星期六下面考虑情形的半无界振动。作变换2023/6/1632第三十二页，共五十九页，编辑于2023年，星期六例6：令2023/6/1633第三十三页，共五十九页，编辑于2023年，星期六2023/6/1634第三十四页，共五十九页，编辑于2023年，星期六解法二：由于外力、初始位移以及初始速度均为零，所以弦振动时波传播只是受到边界点x＝0的影响而向x轴正向传播的右传播波。由此，解具有如下形式根据边界条件确定任意函数f：令故2023/6/1635第三十五页，共五十九页，编辑于2023年，星期六规定，当时2023/6/1636第三十六页，共五十九页，编辑于2023年，星期六例7：令2023/6/1637第三十七页，共五十九页，编辑于2023年，星期六当当2023/6/1638第三十八页，共五十九页，编辑于2023年，星期六注意2023/6/1639第三十九页，共五十九页，编辑于2023年，星期六6.三维波动方程的柯西问题2023/6/1640第四十页，共五十九页，编辑于2023年，星期六球对称情形所谓球对称是指与无关，则波动方程可化简为2023/6/1641第四十一页，共五十九页，编辑于2023年，星期六半无界问题2023/6/1642第四十二页，共五十九页，编辑于2023年，星期六这是关于v=ru的一维半无界波动方程.2023/6/1643第四十三页，共五十九页，编辑于2023年，星期六一般情形我们利用球平均法。从物理上看，波具有球对称性。从数学上看，总希望把高维化为一维情形来处理，并设法化为可求通解的情况。所谓球平均法，即对空间任一点（x，y，z），考虑u在以（x，y，z）为球心，r为半径的球面上的平均值其中为球的半径的方向余弦，2023/6/1644第四十四页，共五十九页，编辑于2023年，星期六如把x,y,z看作参变量，则是r，t的函数，若能求出，再令则为此把波动方程的两边在以x，y，z为中心，r为半径的球体内积分，并应用Gauss公式，可得（*1）2023/6/1645第四十五页，共五十九页，编辑于2023年，星期六同时有由（*1）(*2)可得（*2）关于r微分，得（*3）利用球面平均值的定义，（*3）可写成（*4）2023/6/1646第四十六页，共五十九页，编辑于2023年，星期六（*4）又可改写为2023/6/1647第四十七页，共五十九页，编辑于2023年，星期六通解为令r＝0，有代入上式，得（*5）关于r微分，再令r＝0，有（*6）2023/6/1648第四十八页，共五十九页，编辑于2023年，星期六接下来，求满足初值的解。对（*5）关于t微分，（*7）（*6）和（*7）相加即得即把代入上式，得2023/6/1649第四十九页，共五十九页，编辑于2023年，星期六2023/6/1650第五十页，共五十九页，编辑于2023年，星期六从而有2023/6/1651第五十一页，共五十九页，编辑于2023年，星期六2023/6/1652第五十二页，共五十九页，编辑于2023年，星期六Poisson公式2023/6/1653第五十三页，共五十九页，编辑于2023年，星期六7.二维波动方程如果我们把上述问题中的初值视为重复推导Poisson公式的过程，将会发现所得Poisson公式中不含第三个变量。降维法：由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维波动方程柯西问题的方法。由Hadamard最早提出的。2023/6/1654第五十四页，共五十九页，编辑于2023年，星期六计算上述曲面积分。由于初始数据与第三个变量无关，因此，在上的球面积分可由在圆域上的积分得到。2023/6/1655第五十五页，共五十九页，编辑于2023年，星期六因此2023/6/1656第五十六页，共五十九页，编辑于2023年，星期六物理意义惠更斯原理（无后效性现象）三维情形二维情形波的