黑龙江省哈尔滨市明星中学高三数学理月考试题含解析

黑龙江省哈尔滨市明星中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，集合，则的子集个数为（

）A．1

B．

2

C．3

D．4参考答案：D，所以，其子集个数为，选D.2.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（

）

（A）

（B） （C）

（D）参考答案：A3.已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（

）（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：B考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.4.已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有()A．2个

B．4个

C．6个

D．8个参考答案：B略5.如图，函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点

（）（A）

1个

（B）

2个（C）

3个

（D）4个参考答案：A略6.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2,动点满足，当P、A、B不共线时，三角形PAB面积的最大值是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由题，设点，根据题意，求得圆的方程，再求得P点的位置，即可求得面积的最大值.【详解】以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系；则：设,，两边平方并整理得：，当点P到AB（x轴）的距离最大时，三角形PAB的面积最大，此时面积为故选：A【点睛】本题考查了曲线的轨迹方程，熟悉圆的定义和求轨迹方程是解题的关键，属于中档题型.7.点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离为（

）A.

1

B.

C.

D.

参考答案：D8.某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，并且需运费100元;运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元.为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为

(

）A．200件

B．5000件

C．2500件

D．1000件参考答案：D9.盒中共有6件除了颜色外完全相同的产品，其中有1件红色，2件白色和3件黑色，从中任取两件，则两件颜色不相同的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】盒中共有6件除了颜色外完全相同的产品，其中有1件红色，2件白色和3件黑色，从中任取两件，先求出基本事件总数，两件颜色不相同的对立事件是两件颜色相同，由此能求出两件颜色不相同的概率．【解答】解：盒中共有6件除了颜色外完全相同的产品，其中有1件红色，2件白色和3件黑色，从中任取两件，基本事件总数n==15，两件颜色相同包含的基本事件个数m==4，∴两件颜色不相同的概率为p=1﹣=1﹣=．故选：D．10.已知，则的大小关系为（

）

A.

B.

C．

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于具有相同定义域的函数和，若存在，使得，则和在上是“亲密函数”.给出定义域均为的四组函数如下：①

②

③

④其中，函数和在上是“亲密函数”的是

.参考答案：②④略12.以椭圆的左焦点为圆心，长轴长为半径的圆的标准方程是_______。参考答案：略13.已知双曲线的中心在原点,离心率为,若它的一条准线与抛物线的准线重合,则该双曲线的方程是

参考答案：略14.在中,角A,B,C所对的边分别是，若,且,则∠C=

▲

．参考答案：15.如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是_______.参考答案：i≤2014略16.已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________。参考答案：略17.如右图，是圆的直径，直线与圆相切于点，

于点，若圆的面积为，，则的长为

．参考答案：1∵CD是圆O的切线，∴∠ABC=∠ACD=30°，∴在直角三角形ACD中，AD=1，∴AC=2，∴在直角三角形ABC中，AC=2，∴AB=4，∴圆的半径是2，所以,所以三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）从某学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于cm和cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[,)，第二组[,)，…，第八组[,]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人．（Ⅰ）求第七组的频率；（Ⅱ）估计该校的名男生的身高的中位数以及身高在cm以上（含cm）的人数；（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件{}，事件{}，求．参考答案：（Ⅰ）第六组的频率为,所以第七组的频率为；……………4分（Ⅱ）身高在第一组[155,160)的频率为，身高在第二组[160,165)的频率为，身高在第三组[165,170)的频率为，身高在第四组[170,175)的频率为，由于，估计这所学校的800名男生的身高的中位数为，则由得所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为

…………6分由直方图得后三组频率为,

所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为人．

………………8分（Ⅲ）第六组的人数为4人,设为,第八组[190,195]的人数为2人,设为,则有共15种情况，因事件{}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件包含的基本事件为共7种情况，故．

……10分

由于，所以事件{}是不可能事件，，由于事件和事件是互斥事件，所以………12分19.(本小题满分14分) 已知函数，其中，为自然对数的底数。（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，证明：。参考答案：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

省略（Ⅰ）

（Ⅱ）20.（本小题满分14分）已知函数（为自然对数的底数）.（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（2）讨论函数的极值情况；（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求k的取值范围.参考答案：【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．B11B12（1）（2）当时，无极值；当时在处取得极小值，无极大值.（3）

解析：（1）由，得.

又在点处的切线平行于轴，得，解得.

…4分

(2).①当时，，为上增函数，

所以无极值；

………6分②当时，令得.

当时，，在上递减，当时，，在上递增，故在处取得极小值，无极大值，……8分综上，当时，无极值；当时在处取得极小值，无极大值.……9分

（3）当时，.

直线与曲线没有公共点等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程在上没有实数解.………11分①当时，方程为，在上没有实数解；………10分②当时，方程为.令，则有.令，得，

当变化时，的变化情况如下表：负0正减增当时，，从而，所以当时，方程没有实数解，解得，

………13分综上，的取值范围为.

………14分【思路点拨】（1）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；（2），分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；（3）直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点?方程g（x）=0在R上没有实数解，对k讨论即可得答案．21.已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，4，2a，记前n项和为Sn．（Ⅰ）设Sk=2550，求a和k的值；（Ⅱ）设bn=，求b3+b7+b11+…+b4n﹣1的值．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）由等差数列的前三项可求该数列的首项a1、公差d，再由等差数列的前n项和公式算出Sn，进一步得Sk=2550，解出k的值（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列{bn}为等差数列，利用等差数列的前n项公式求值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得a1=a﹣1，a2=4，a3=2a，又a1+a3=2a2，∴（a﹣1）+2a=8，即a=3．（2分）∴a1=2，公差d=a2﹣a1=2．由Sk=ka1+，得（4分）2k+×2=2550即k2+k﹣2550=0．解得k=50或k=﹣51（舍去）．∴a=3，k=50．（6分）（Ⅱ）由Sn=na1+，得Sn=2n+×2=n2+n（8分）∴bn==n+1（9分）∴{bn}是等差数列．则b3+b7+b11+…+b4n﹣1=（3+1）+（7+1）+（11+1）+…+（4n﹣1+1）=（3+7+11+…+4n﹣1）+n==+n（11分）∴b3+b7+b11+…+b4n﹣1=2n2+2n（12分）【点评】本题主要考查等差数列的通项公式及前n和公式，考查基本运算．22.设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，已知：，满足，且是的充分条件，求实数p的取值范围.参