2021年湖南省衡阳市市船山实验中学高三数学文模拟试题含解析

2021年湖南省衡阳市市船山实验中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列的前项和为，且，则

A．

B．

C．

D．参考答案：D略2.已知是所在平面内一点，为边中点，且，则A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为

（

）A.12

B.11

C.3

D.-1参考答案：B4.数列的前项和为，若，则等于（

）A．1

B．

C．

D．

参考答案：答案：B解析：=，所以，选B5.如果执行如面的程序框图，那么输出的S=（）A．119B．719C．4949D．600参考答案：考点：循环结构．专题：图表型．分析：先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后s的值找出规律，从而得出所求．解答：解：根据题意可知该循环体运行5次第一次：T=1，s=1，k=2；第二次：T=2，s=5，k=3；第三次：T=6，s=23，k=4；第四次：T=24，s=119，k=5；第五次：T=120，s=719，k=6；因为k=6＞5，结束循环，输出结果s=719．故选B．点评：本题考查循环结构．解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．6.在中，角、、所对的边分别为、、，若，则为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B7.有编号为1，2，…，700的产品，现需从中抽取所有编号能被7整除的产品为样品进行检验.下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B8.（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A9.已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于()A．－6(1－3－10) B.(1－3－10)C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)参考答案：C略10.已知球O的半径为4，矩形ABCD的顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABCD的距离为2，则此矩形的最大面积为（）A.12 B.18 C.24 D.30参考答案：C【分析】推导出BD＝4，当AB＝AD时，矩形ABCD的面积最大，此时AB2+AD2＝2AB2＝48，由此能求出此矩形的最大面积．【详解】∵球O的半径为4，矩形ABCD的顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABCD的距离为2，∴2，∴BD＝4，由不等式性质得到得到：当AB＝AD时，矩形ABCD的面积最大，此时AB2+AD2＝DB2＝48，解得AB2＝AD2＝24，∴此矩形的最大面积S＝AB2＝24．故选：C．【点睛】本题考查矩形的最大面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，，||=2，|﹣|=1，则|+|的最大值为．参考答案：5【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由向量的共线的性质可得||的最大值为2+1=3，由|﹣|=1，|+|=t，两边平方可得8+22=1+t2，可得最大值．【解答】解：向量，，||=2，|﹣|=1，可得||的最大值为2+1=3，由|﹣|=1，|+|=t，平方可得，|﹣|2+|+|2=t2+1，即有22+22=1+t2，即8+22=1+t2，可得t2的最大值为8+2×9﹣1=25，即有|+|的最大值为5．故答案为：5．【点评】本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量共线和三角形三边的关系，考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，属于中档题．12.任給实数定义设函数，则=___；

若是公比大于的等比数列，且，则[参考答案：；因为，所以。因为，所以，所以。若，则有，所以。此时，即，所以，所以。而。在等比数列中因为，所以，即，所以，所以，若，则，即，解得。若，则，即，因为，所以，所以方程无解。综上可知。13.如图是函数的图像的一部分，若图像的最高点的纵坐标为，则

．

参考答案：214.设函数若，则实数的取值范围是______参考答案：

15.已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，且则_______________________________。参考答案：16.函数的定义域是

.参考答案：17.已知，，则_____________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB=1,BC=,AA1=2;点D在棱BB1上，BD＝BB1；B1E⊥A1D，垂足为E，求：

（Ⅰ）异面直线A1D与B1C1的距离；（Ⅱ）四棱锥C-ABDE的体积。参考答案：解析：解法一：（Ⅰ）由直三棱柱的定义知B1C1⊥B1D，又因为∠ABC＝90°，因此B1C1⊥A1B1，从而B1C1⊥平面A1B1D，得B1C1⊥B1E。又B1E⊥A1D，故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线由知在Rt△A1B1D中，A2D＝又因故B1E=（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1C1⊥平面A1B1D，又BC∥B1C1，故BC⊥平面ABDE，即BC为四棱锥C-ABDE的高。从而所求四棱锥的体积V为V＝VC-ABDE＝其中S为四边形ABDE的面积。如答（19）图1，过E作EF⊥BD，垂足为F。答（19）图1在Rt△B1ED中，ED=又因S△B1ED=故EF=因△A1AE的边A1A上的高故S△A1AE＝又因为S△A1BD＝从而S＝S△A1AE-S△A1AE-S△A1B1D＝2-所以解法二：（Ⅱ）如答（19）图2，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系O-xyz，则答（19）图2A(0,1,0),A1(0,1,2),B(0,0,0).B1(0,0,2),C1(,0,2),D(0,0,)因此设E（，y0，z0），则，因此又由题设B1E⊥A1D，故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线。下面求点E的坐标。因B1E⊥A1D，即又联立（1）、（2）,解得,,即，。所以.（Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥DB，故BC⊥面ABDE.即BC为四棱锥C-ABDE的高.下面求四边形ABDE的面积。因为SABCD＝SABE+SADE，而SABE＝SBDE＝故SABCD＝所以19.（13分）已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是（1）求椭圆E的方程；（2）过点C（—1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。参考答案：（1）根据条件可知椭圆的焦点在x轴，且故所求方程为即

……………5分（2）假设存在点M符合题意，设AB：代入得：

………………7分则

…………9分…11分要使上式与K无关，则有，解得，存在点满足题意。…13分20.(本小题满分14分)已知，若动点满足.（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设过点的直线交轨迹于，两点，若，求直线的方程.参考答案：（Ⅰ）设，，，∴，，，

∴，即，∴曲线的方程为：.

（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，方程为，，解得，，，，，不合题意.

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，，得，∴，，

，，

由，解得，，∴直线的方程是.

21.（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分．已知椭圆：的右焦点与短轴两端点构成一个面积为的等腰直角三角形，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，点在直线上，且，求证：为定值；（3）设点在椭圆上运动，，且点到直线的距离为常数，求动点的轨迹方程．参考答案：【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（2）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（3）图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【参考答案】（1）由条件可得，，

…………3分椭圆的方程为．………5分（2）设，则的方程为，由得………7分．…10分（3）设，由得

①又点在椭圆上得：

②联立①②可得

③

…………12分由得，即可得，

…