广东省广州市晓园中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析

广东省广州市晓园中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于A.

B.

C.

D.参考答案：C2.已知，为抛物线上异于原点的两个点，为坐标原点，直线斜率为2，则重心的纵坐标为（

）A．2

B．

C．

D．1参考答案：C3.当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为

参考答案：D考点：程序框图.4.设等比数列的公比，前项和为，则（

）A． B． C． D．参考答案：D

考点：等比数列的通项公式与前项和．5.给出下面结论：①命题的否定为②函数的零点所在区间是（-1，0）；③函数的图象向左平移个单位后，得到函数

图象；④对于直线m，n和平面，若，则.其中正确结论的个数是(

)．A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B6.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A． B． C． D．1参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求kOM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，kOM＜0；当y0＞0，kOM＞0．要求kOM的最大值，设y0＞0，则=+=+=+（﹣）=+=（+，），可得kOM==≤=，当且仅当y02=2p2，取得等号．故选：C．【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．7.若函数则的值为A.2 B.3 C.4 D.5参考答案：【知识点】函数的值.B1B

解析：由题意知：，故选B.【思路点拨】分段函数求值时，把自变量代入到对应的解析式即可。8.已知实数a=1.70.3，b=0.90.1，c=log25，d=log0.31.8，那么它们的大小关系是（）A．c＞a＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞b＞a＞d D．c＞a＞d＞b参考答案：A【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】根据指数函数的单调性可判断a，b与1的大小，利用对数函数的单调性可判断c，d与0及1的大小，然后判定选项．【解答】解：∵d=log0.31.8＜log0.31=0，c=log25＞log24=2，0＜b=0.90.1＜0.90=1，1.71＞a=1.70.3＞1.70=1∴d＜0＜b＜1＜a＜2＜c故选：A9.已知某椎体的正视图和侧视图如图，则该锥体的俯视图不可能是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】简单空间图形的三视图．【分析】依次对各选项的正视图和侧视图判断可得答案．【解答】解：对于A：边长为2的正四棱锥，可得正视图和侧视图一样，∴A正确．对于B：直径为2的圆锥，可得正视图和侧视图一样，∴B正确．对于C：底面为等腰直角三角形，边长为2的三棱锥，可得正视图和侧视图一样，∴C正确．对于D：三视图投影得到正视图，侧视图和俯视图等的三棱锥是没有的，∴D不正确．故选D10.设集合是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设等比数列的前项积为（），已知，且则

参考答案：4

略12.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为__________.参考答案：8略13.已知一组样本数据，且，平均数，则该组数据的方差为________参考答案：2【分析】由题，先求得的值，再利用方差公式，将值带入求解即可.【详解】由题意知，又==2故答案为：2【点睛】本题考查了方差，熟悉平均数、方差的公式以及合理的运用是解题的关键，属于较为基础题.14.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（为参数）.求直线与圆相交所得弦长为

.参考答案：考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与圆相交弦长问题．15.

已知函数f(x)=x2+x+a(a＜0)的区间（0，1）上有零点，则a的范围是

.参考答案：-2＜a＜016.四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，若该四棱锥的所有顶点都在表面积为16π的同一球面上，则PA=．参考答案：【考点】球的体积和表面积．【分析】连结AC、BD，交于点E，则E是AC中点，取PC中点O，连结OE，推导出O是该四棱锥的外接的球心，可得球半径，由四棱锥的所有顶点都在表面积为16π，建立方程求出PA即可．【解答】解：连结AC，BD交于点E，取PC的中点O，连结OE，则OE∥PA，所以OE⊥底面ABCD，则O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O球心，均为=，所以由球的表面积可得4π（）2=16π，解得PA=，故答案为：．【点评】本题考查四面体的外接球的表面积，考查勾股定理的运用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.已知a∈R函数，当x＞0时,函数f(x)的最大值是

；若函数f(x)的图象上有且只有两对点关于y轴对称,则a的取值范围是

.参考答案：本题考查函数综合应用.（1）当时,令,当,即时取等号即当时,令又因为则（2）图象仅有两对点关于轴对称即的图象关于轴对称的函数图象与仅有两个交点当时,.设其关于轴对称的函数为∴∵由（1）可知近似图象如图所示当与仅有两个交点时,综上,的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题14分）设曲线：，表示的导函数。（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）数列满足，求证：数列中的任意三项都不能构成等差数列；（Ⅲ）对于曲线上的不同两点，是否存在唯一，使直线的斜率等于？证明的结论。参考答案：解：（Ⅰ）的定义域为，令，得，………2分当时，，所以递增；当时，，所以递减。所以，当时有极大值，无极小值。………4分（Ⅱ）∵，∴，∴，∴是首项为，公比为的等比数列，∴，∴。………6分ks5u假设数列中的存在三项成等差数列，则，即，∴，∴，∵，∴是偶数，是奇数，矛盾，∴数列中的任意三项都不能构成等差数列。………8分（Ⅲ）存在唯一，使直线的斜率等于。证明如下：的斜率。………9分设函数，则。设函数，则，∴在上递减，∴，即，∵，∴，∴，∴，………11分同理可证，∴在区间内有零点………12分又∵，∴在区间内是增函数∴在区间内有唯一的零点，故存在唯一，使直线的斜率等于。………14分略19.某中学为了解学生“掷实心球”项目的整体情况，随机抽取男、女生各20名进行测试，记录的数据如下：男生投掷距离（单位：米） 女生投掷距离（单位：米）9

7

7 5 4

68

7

6 6 4556669

6

6 7 002445555885530 8 17

3

11 9

2

20 10 已知该项目评分标准为：男生投掷距离（米） （t＞0）上的最小值；（3）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用1是h（x）的极值点，可得h′（1）=﹣2+a+3a=0，解得a．再验证a的值是否满足h（x）取得的极值的条件即可．（2）利用导数的运算法则即可得到f′（x），分与讨论，利用单调性即可得f（x）的最小值；（3）由2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则a，设h（x）=（x＞0）．对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立?a≤h（x）min，利用导数求出h（x）的最小值即可．解答： 解：（1）∵h（x）=﹣x2+ax﹣3+ax3，∴h′（x）=﹣2x+a+3ax2，∵1是h（x）的极值点，∴h′（1）=﹣2+a+3a=0，解得a=．经验证满足h（x）取得的极值的条件．（2）∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得．当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．①无解；②，即，．③，即时，f（x）在上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt；∴f（x）min=．（3）2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则a，设h（x）=（x＞0），则，令h′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴h（x）在（0，1）上单调递减；令h′（x）＞0，解得1＜x，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）在x=1时取得极小值，也即最小值．∴h（x）≥h（1）=4．∵对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，∴a≤h（x）min=4．点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、等价转化为等基础知识于基本技能，需要较强的推理能力和计算能力．20.(12分)设集合，。

(1)当时，求的非空真子集的个数；(2)若,求的取值范围；(3)若，求的取值范围。参考答案：(1),即A中含有8个元素，A的非空真子集数为（个）.……4分(2)显然只有当m-1=2m+1即m=--2时，B=.……2分(3)当B=即m=-2时，；当B即时（ⅰ）当m<-2时，B=(2m-1,m+1),要只要，所以m的值不存在；（ⅱ）当m>-2时,B=（m-1,2m+1）,要只要.综合，知m的取值范围是：m=-2或……6分

21.（本小题满分10分）设函数（1）求f(x)≤6的解集

（2）若f(x)≥m

对任意x∈R恒成立，求m的范围。参考答案：（1）≤6不等式等价于： 或或等价于

或

或 ∴不等式的解集为[-2，10]

（5分）（2）由（1）知容易求得函数最小值为-3∵f(x)≥m

对任意x∈R恒成立∴m≤-3