2023年第4届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第四届中国东南地区数学奥林匹克

第一天

(2007年7月27日，8：00~12：00,浙江•镇海)

一、试求实数a的个数，使得对于每个。，关于x的三次方程“3=*+。+1都

有满足国<1000的偶数根。

二、如图，设。是以。为圆心、为直

径的半圆上的任意两点，过点8作।O

的切线交直线CD交于P,直线PO与直

线C44D分别交于点E、F。证明：

OE=OF。

三、设q=min<攵+力左GN*},试求

=[%]+[%]++的值，其中

n>2,[%]表示不超过x的最大整数。

四、求最小的正整数〃，使得对于满足条件£>,=2007的任一具有〃项的正整

数数列对W，，a“，其中必有连续的假设干项之和等于30。

第二天

(2007年7月28日，8：00-12：00,浙江・镇海)

五、设函数/(%)满足：/(X+1)-/(X)=2X+1(XG/?),且当％G[0,1]时有

|/(%)|<1,证明：当xw尺时，W|/(X)|<2+X2O

六、如图，直角三角形N3C中，。是斜边43的

中点，MBA.AB,MD交AC于N；"C的f

延长线交于从证明：ZDBN=ZBCE。/\

七、试求满足以下条件的三元数组(a,b,c)：//

(i)a<b<c<100,a、b、c为质数；//

(ii)a+1、HI、c+1组成等比数列。

八、设正实数a、b、c满足：abc=\,求证：对

于整数上之2,有ADEB

答案

一、令/=2〃，〃为整数，且[2〃|<1000,即|〃区499,所以至多取2x499+1=999

个数，即”{-499,一498,0,1,.,499}o将%。=2〃代入原方程得

Q3-tn3i

二。记/5)='二,对任意的499,-498,,0,1,,,499},

2n+l2n+1

当凡尸〃2(%,%eZ)时，假设/(〃i)=)(〃2),设4=5，4=/，其中％I，%2是

关于%的方程％3-纨-。-1=0的两个根，设另一根为.，由根与系数的关

系

'4N=-a

即VoJ1(其中N=-(膜+?2+4%),N,=—+%))

8N?=a+i

即4M+8乂=1,矛盾！

所以，对于不同的％,々e{-499,-498,,0,1,,499},都有/(〃”/(〃2)，

于是满足条件的实数a恰有999个。

【另解】

3

对任意I%区998,X为偶数，。=」V-1的取值都各不相同。

x+1

反证，假设存在玉使得百二=生二，其中4马为偶数，那么

%+1%+1

由于玉W%2，那么不一马。0,又因为+%%22+%：+%2?+%%2为偶数，

所以(%-%2)(%；%2+玉%2?+%；+%%2+DW。，矛盾。因此满足条件的。

共有999个。

二、如图，作QM_LCD于M,作MNIIAD,

设MNCBA=N,CNDA=K,连3C、

BM,那么/NBC=ZADC=/NMC,因

此N、B、M、。共圆；又由O、B、P、

“共圆，得

所以CN//OP,于是

因M为。的中点，MNHDK,那么NK

为CK的中点；故由(1)得，OE=OF。

【另证】

如图，过O作。用_LCO于M,连结8。、

BM.BD.BE,因为。例_LC£>,PBLAB,

所以O、B、P、M四点共圆，于是

/BMP=/BOP=ZAOE,ZEAO=/BDM,

所以AOAEAMDB,—=^-=—,从而

BDDMCD

ABAE\CDB,NEBA=NBCD=NBAD,所

以ADIIBE,—=—=1,即OE=OFo

OFOA

三、设a,*]=min<%+以当左eN*]=匕+2已(k[GN"),那么

Ik1J%

/%+(<%+?=aM,即数列｛an｝严格单增。

»V|»V|

2

由于攵22根，(当Q"2时取得等号)，故％=2〃？(〃2GN")；

k

又当k=〃1、加+1时，.+〃，(，"+1)=2,72+1,而在左K/77或攵2〃Z+1时，

k

加一1)20,§Pk1-[2m+i)k+m^m+\)>Q,亦即

.+“(71)22一+i,所以%.J2m+1；再由数列也｝的单调性，当

m2+/n4i<(m+iy时，2加+1<@<2(m+l),所以

fn~+2m

2

因此，[<2(.]=2m-m+(2m+l)-(m+l)=4m+3m+l,于是

i=nr

四、首先，我们可以构造一个具有1017项的整数数列q,外,、旬„7,使其中不

存在和为30的连续项；为此，取4=“2=，=。29=1，。30=31，以及

%0-=4"=｛1,2,,30｝,m^N,即｛以｝为:

(共有34段，前33段中每段各有30个项，最后一段有27个项，共计1017

个项)，其次，当项数少于1017时，只须将某些段中连续的假设干个数合

并成较大的数即可。

1018

对于满足条件=2007的任一个具有1018项的正整数数列，。血，

我们来证明，其中必有连续的假设干项之和等于30。为此，记

k

%=1,2,…,1018,那么1WS1<S,<<51018=2007O今考虑集

/=1

｛1,2,,2007｝中元素的分组：

其中有33x30=990个括号以及27个未加括号的数，从中任取1018个数作

为&的取值，必有两数取自同一括号，设为(5,1+”)，那么Sk+m-Sk=30,

即该数列中为M+%+2++%+,”=3。。因此”的最小值为1018。

五、令g(x)=/(x)-九2,那么ga+l)_g(x)=/(x+l)_/(X)_(X+l)2+X2=0,

所以g(x)是&上以1为周期的周期函数；又由条件当尤w[0,1]时有

|/(X)|<1,可得，当％e[0,1]时，|g⑸=/(%)-x2归|/(%)|+卜2归2,所

以周期函数g⑺在R上有|g(x)|<2,据此知，在火上，

|/(力|=卜(力+%]工/(%)|+,2归2+%2。

六、如图，延长ME交A43C的外接圆于E延长

MD交AF于K,作CGIIMK,交/歹于G,

交.AB于P,作DH工CF于H,那么〃为Cb

的中点。连HB、HP,那么。、H、B、M共

圆，故/HBD=/HMD=ZHCP,于是H、B、

。、尸共圆，所以NPHC=ZABC=ZAFC,

故.PHIIAF。即尸”为ACFG的中位线，尸是

CG的中点。那么/。为AACG的边CG上的

中线，又因NK//CG,故。是NK的中点，即

线段与NK互相平分，所以

/DBN=/DAK,而

ADAK=/BAF=/BCF=/BCE,即有

/DBN=/BCE。

七、据条件，

设"+1=〃2%,。+1=m2,,其中不含大于1的平方因子，那么必有尤=丁，

这是由于，据(1)，

那么〃时(。+1),设6+1=租〃.卬，于是(2)化为，

假设卬〉1,那么有质数pjw,即P；|M,因小丁皆不含大于1的平方因子，

因此pj%,pjy。设x=RM，y=w=PM]，那么(3)化为

假设仍有小〉1,那么又有质数P2I明，即后|武，因须,y皆不含大于1的

平方因子，那么〃2氏，p2\y],设％=必%2,X=0%，叫=。2卬2,那么(4)

化为，

,……，如此下去，因⑶式中卬的质因子个数有限，故有r,使叫=1,

而从％%=用得，xr=yr=\,从而x=pg，p,.=y,改记x=y=k,那么有，

a-kn2-1

<b-kmn-1-(5)

c=km2-1

其中

左无大于1的平方因子，并且Zwl,否那么假设Q1,那么c=M-1,因C

大于第三个质数5,即c=/-l>5,m>3,得c=/%2-1=(/刀-1)(〃2+1)为

合数，矛盾。因此左或为质数，或为假设干个互异质数之乘积，(即左大于

1,且无大于1的平方因子)。我们将其简称为“攵具有性质/'。

(i)据(6),m>2o

a-k-\

当冽=2,那么片1,有卜=2%-1,因c<100,得％<25；

c=4k-\

假设女三l（mod3）,那么3,且c＞3,得c为合数；

假设人三2（mod3）：

在女为偶数时，具有性质p的人有2、14,分别给出

。=2-1=1"=244-1=27不为质数；

女为奇数时，具有性质P的左值有5、11、17、23,分别给

出的。=k-1皆不为质数；

假设上三0（mod3）,具有性质o的左值有3、6、15、21：

当43时，给出解＜=（〃力,c）=（2,5,ll）；

当心6时，给出解力=（a,b,c）=（5,ll,23）；

当Q15、21时，分别给出的。=后-1皆不为质数；

假设加=3,那么”=2或1。

。=4%—1

在加=3、〃=2时，＜b=6Z-1,因质数cW97,得攵＜10,具有性

c=9Z-l

质夕的左值有2、3、5、6、7、10：

在左为奇数3、5、7时，给出c=9Z-l皆为合数；

在仁6时，给出6=6左一1=35为合数；

在410时，给出”=4左-1=39为合数；

在42时，给出解力=（a,仇c）=（7,ll,17）；

a-4k-l

在加=3、片1时，＜。=6女-1,攵＜10,具有性质夕的左值有2、

c=9攵-1

3、5、6、7、10：

在人为奇数3、5、7时，给出的5=32-1皆为合数；

在仁2和10时，给出的。=攵-1不为质数；

在46时，给出解力=（a,0,c）=（5,17,53）；

冽=4时，由c=16Z—l＜97得攵＜6,具有性质夕的左值有2、3、5、6。

在46时，c=16x6-l=95为合数；

在Q5时，\,因"%=4,那么，可取1、2、3,分别得

b=20rl-1

到a、6至少一个不为质数；

在Q3时，c=48-l=47,1=3"—1,因〃〈加=4：

b^\2n-\

在”=3时给出的a、6为合数；

在n=2时给出解力=（Q,"C）=（11,23,47）；

在”=1时给出解R=ja,"d=（2/l,47）；

a—On2—1

在Q2时，c=16k—1=31,1,n<m-4,只有在〃=3时

。=8〃-1

给出解于7=(Q,0,C)=(17,23,31)；

(iii)片5时，c=25Z-l<97,具有性质o的左值有2、3,分别给出

。=25%-1为合数；

(iv)加=6时，c=36Z-