总体取值规律的估计总体百分位数的估计

9.2.1

总体取值规律的估计

9.2.2

总体百分位数的估计课标阐释思维脉络1.通过具体实例,理解用样本估计总体的思想方法.(数学抽象)2.掌握频率分布直方图的绘制和其中相关的运算.(直观想象、数学运算)3.理解频率分布表、折线图、条形图、扇形图的作用和识读.(直观想象)4.理解第p百分位数的定义及作用.(数学运算)激趣诱思知识点拨与传统相机比较,在数码相机中,有一种十分实用的功能,这就是直方图显示功能.直方图就是通过在LCD上显示出来的曝光量柱形图来确定照片曝光量大小的工具,通过直方图的横轴和纵轴我们可以直观地看出拍摄的照片的曝光情况,在拍摄时能给摄影者带来很大的方便.激趣诱思知识点拨知识点一、频率分布表为了能直观地显示样本的频率分布情况,通常将分组、频数累计、频数、频率列在一张表中,这张表叫做频率分布表.名师点析

列出一组样本数据的频率分布表的基本步骤第一步,求极差.第二步,决定组距与组数.第三步,将数据分组.第四步,列频率分布表.激趣诱思知识点拨微思考

什么叫频数与频率?提示:将一批数据按要求分为若干个组,各组内数据的个数叫做该组的频数.每组数据的频数除以样本容量得到的商叫做该组数据的频率.频率反映各个小组数据在样本中所占比例的大小.激趣诱思知识点拨知识点二、频率分布直方图为了将频率分布表中的结果直观形象地表现出来,常画出频率分布直方图.画图时,应以横轴表示分组、纵轴表示各组,以各个组距为底,以

为高,画成小长方形,这样得到的直方图就是频率分布直方图.激趣诱思知识点拨名师点析

画频率分布直方图的步骤

激趣诱思知识点拨微练习(1)在样本频率分布直方图中,某个小长方形的面积是其他小长方形的面积之和的,已知样本量是80,则该组的频数为(

)A.20

B.16C.30 D.35解析:设该组的频数为x,则其他组的频数之和为4x,由样本量是80,得x+4x=80,解得x=16,即该组的频数为16,故选B.答案:B激趣诱思知识点拨(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.①频率分布直方图中的纵轴表示频率.(

)②频率分布直方图中每个小长方形的面积等于相应组的频率.(

)③频率分布直方图中所有小长方形的面积和等于1.(

)答案:①×

②√

③√激趣诱思知识点拨知识点三、第p百分位数一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数:第1步,按从小到大排列原始数据.第2步,计算i=n×p%.第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.激趣诱思知识点拨微练习(1)数据1,3,8,5的中位数是

,第50百分位数是

,第75百分位数是

.

答案:4

4

6.5(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.①任何一组数据的第50百分位数与中位数的值是相同的.(

)②第25百分位数也可以称为第一四分位数或上四分位数.(

)答案:①√

②×

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测频率分布直方图的绘制例1某省为了了解和掌握某年高考考生的实际答卷情况,随机地取出了100名考生的数学成绩,数据如下:(单位:分)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(1)列出频率分布表;(2)画出频率分布直方图和折线图;(3)估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例.分析先求极差.根据极差与数据个数确定组距、组数,然后按频率分布直方图的画法绘制图形.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:100个数据中,最大值为135,最小值为80,极差为135-80=55.取组距为5,则组数为

=11.(1)频率分布表如下:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测注:表中加上“频率/组距”一列,这是为画频率分布直方图准备的,因为它是频率分布直方图的纵坐标.(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图,如图所示.(3)从频率分布表中可知,这100名考生的数学成绩在[100,120)分之间的频率为0.24+0.15+0.12+0.09=0.60,据此估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例为60%.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

绘制频率分布直方图的关注点(1)在列频率分布表时,极差、组距、组数有如下关系:(2)组距和组数的确定没有固定的标准,将数据分组时,组数力求合适,使数据的分布规律能较清楚地呈现出来,组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况,若样本容量不超过100,按照数据的多少常分为5~12组,一般样本容量越大,所分组数越多.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1为了检测某种产品的质量,抽取了一个容量为100的样本,数据的分组情况与频数如下:[10.75,10.85),3;[10.85,10.95),9;[10.95,11.05),13;[11.05,11.15),16;[11.15,11.25),26;[11.25,11.35),20;[11.35,11.45),7;[11.45,11.55),4;[11.55,11.65],2.(1)列出频率分布表;(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图;(3)根据上述图表,估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是百分之几;(4)估计数据小于11.20的可能性是百分之几.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)频率分布表如下:分组频数频率[10.75,10.85)30.03[10.85,10.95)90.09[10.95,11.05)130.13[11.05,11.15)160.16[11.15,11.25)260.26[11.25,11.35)200.20[11.35,11.45)70.07[11.45,11.55)40.04[11.55,11.65]20.02合计1001.00探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(2)频率分布直方图及频率分布折线图如图:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(3)由上述图表可知数据落在[10.95,11.35)范围内的频率为0.13+0.16+0.26+0.20=0.75=75%,即数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是75%.(4)数据小于11.20的可能性即数据小于11.20的频率,设为x,则(x-0.41)÷(11.20-11.15)=(0.67-0.41)÷(11.25-11.15),所以x-0.41=0.13,即x=0.54,从而估计数据小于11.20的可能性是54%.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测对折线图、扇形图、条形图的识读例2某中学初中部共有120名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为(

)A.128 B.144 C.174 D.167分析根据女教师的百分比,分别计算初中部和高中部女教师的人数即可.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解析:初中部女教师的人数为120×70%=84,高中部女教师的人数为150×(1-60%)=150×40%=60,则该校女教师的人数为84+60=144.答案:B反思感悟

对于折线图、扇形图、条形图一定要注意每种图示的作用和含义,其次要看清所标记数据和单位,最后要抓住各种图示中所体现的信息“密码”.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2调查机构对某高科技行业进行调查统计,得到该行业从业者学历分布扇形图、从事该行业岗位分布条形图,如图所示.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测给出下列三种说法:①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上;②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%;③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生.其中正确的个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3解析:在①中,由该行业从业者学历分布扇形图知该高科技行业从业人员中学历为博士的占55%,故①正确;在②中,由从事该行业岗位分布条形图知该高科技行业中从事技术岗位的人数占39.6%,超过总人数的30%,故②正确;在③中,由题中的两个图无法得到从事运营岗位的人员主要是本科生,故③错误.故选C.答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测频率分布直方图中的相关计算问题例3在某次数学测验后,将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图(如图),则在该次测验中成绩不低于100分的学生人数是(

)A.210 B.205 C.200 D.195分析由频率分布直方图先求出在该次测验中成绩不低于100分的学生的频率,由此能求出在该次测验中成绩不低于100分的学生人数.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解析:由频率分布直方图,得在该次测验中成绩不低于100分的学生的频率为1-(0.012+0.018+0.030)×10=0.4,∴在该次测验中成绩不低于100分的学生人数为500×0.4=200.故选C.答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

频率分布直方图中相关计算的求解策略(1)因为小长方形的面积=组距×=频率,所以各小长方形的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.(2)在频率分布直方图中,各小长方形的面积之和等于1.(4)在频率分布直方图中,各长方形的面积之比等于频率之比,各长方形的高度之比也等于频率之比.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究

在例3中若将“不低于100分”改为“不高于120分”结论又如何?解:由图可知成绩不高于120分的频率为1-0.006×10=1-0.06=0.94.∴满足要求的学生人数为500×0.94=470.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3如图所示是由总体的一个样本绘制的频率分布直方图,且在[15,18)内频数为8.(1)求样本在[15,18)内的频率;(2)求样本量;(3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06,求在[18,33)内的频数.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:由样本频率分布直方图可知组距为3.(3)在[12,15)内的小矩形面积为0.06,故样本在[12,15)内的频率为0.06,故样本在[15,33)内的频数为50×(1-0.06)=47.又因为在[15,18)内的频数为8,故在[18,33)内的频数为47-8=39.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测总体百分位数的应用例4有一样本的数据为3310,3355,3450,3480,3490,3520,3540,3550,3650,3730,3925,求这组数据的第50百分位数和第75百分位数.解:(1)∵i=50%×11=5.5,∴第50百分位数是第6项的值3520.(2)∵i=0.75×11==8.25,∴第75百分位数是第9项的值,即3650.所以第50百分位数和第75百分位数分别为3520,3650.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步,按从小到大排列原始数据.第2步,计算i=n×p%.第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练4为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,你能估计一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:由题意知分别落在各区间上的频数为在[80,90)上有60×0.15=9,在[90,100)上有60×0.25=15,在[100,110)上有60×0.3=18,在[110,120)上有60×0.2=12,在[120,130]上有60×0.1=6.从以上数据可知第50百分位数一定落在区间[100,110)上,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测频率分布直方图的实际应用典例某校在5月份开展了科技月活动.在活动中某班举行了小制作评比,规定作品上交的时间为5月1日到31日,逾期不得参加评比.评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图(如图).已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1,第三组的频数为12,请解答下列问题:(1)本次活动共有多少件作品参加评比?(2)哪组上交的作品数最多,有多少件?(3)经过评比,第四组和第六组分别有10件,2件作品获奖,问这两组哪组获奖率较高?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)设从左到右各长方形的高分别为2x,3x,4x,6x,4x,x.设参加评比的作品总数为a件,故本次活动共有60件作品参加评比.(2)由频率分布直方图可以看出第四组上交的作品数量最多,共有6x×5×a=18(件).(3)第四组和第六组上交的作品数分别为18件,3件,所以第六组的获奖率较高.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测方法点睛(1)根据条件,从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1,第三组的频数为12,计算参加评比的作品总数;(2)根据频率分布直方图判断哪组上交的作品最多,再由本组的频率计算频数;(3)先分别由第四组和第六组的频率计算该组的频数,再计算获奖率.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(

)A.56 B.60 C.120 D.140解析:自习时间不少于22.5小时为后三组,其频率和为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故人数为200×0.7=140,选D.答案:D探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.某公司2018年在各个项目中总投资500万元,如图是几类项目的投资占比情况,已知在1万元以上的项目投资中,少于3万元的项目投资占,那么不少于3万元的项目投资共有(

)A.56万元

B.65万元C.91万元

D.147万元探究一探究二探究三探究四素养形