基础过关篇空间与图形四边形

基础过关篇第27课时多边形第28课时平行四边形第29课时矩形第30课时菱形第31课时正方形第32课时四边形综合第二部分空间与图形第五单元四边形考点聚焦考点聚焦第27课时多边形基础温故基础温故分类精析分类精析即时巩固即时巩固考点聚焦考点1多边形在平面内,由若干条不在同一直线上的线段

顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.

组成多边形的各条线段叫做多边形的边;每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点;在多边形中,连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线;多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.首尾考点2多边形的内角和与外角和n边形的内角和为

;任何多边形的外角和为

.

【疑难典析】在四边形的四个内角中,最多能有3个钝角,最多能有3个锐角.如果一个多边形的边数增加1,那么这个多边形的内角和增加180°.(n-2)·180°(n≥3)360°考点3多边形的对角线n边形有

条对角线.

【疑难典析】如果一个n边形恰好有n条对角线,那么这个多边形是五边形.考点4正多边形❶各个

相等,各条

也相等的多边形叫做正多边形.

❷正n边形的一个内角的度数是

.

❸经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆,这个正多边形叫做圆的内接正多边形.任何正多边形都有一个外接圆.内角边基础温故1.一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是(

)A.4 B.5 C.6 D.72.正十边形的每一个内角的度数为

(

)A.120° B.135° C.140° D.144°CD3.从九边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为(

)A.3 B.4 C.6 D.94.如图27-1,在正五边形ABCDE中,连结BE,则∠ABE的度数为

(

)A.30° B.36° C.54° D.72°图27-1CB5.一个多边形的内角和与外角和之比是4∶1,则这个多边形的边数是

(

)A.7 B.8 C.9 D.10D分类精析类型之一多边形的内角和与外角和例1已知一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°,求这个多边形的边数及对角线的条数.解:设这个多边形的边数为n,根据题意,得(n-2)×180°=360°×2+180°,解得n=7,七边形的对角线条数为:×7×(7-3)=14(条).答:所求的多边形的边数为7,这个多边形对角线为14条.类型之二正多边形例2边长相等的正五边形与正六边形按如图27-2所示拼接在一起,则∠ABO的度数为

(

)A.24° B.48° C.60° D.72°图27-2A类型之三多边形的有关计算例3一个多边形的内角和与一个外角的和为1300°.求这个多边形的边数和这个外角的度数.类型之四综合性问题例4如图27-3,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠C=45°,BC=4,AD=2.求四边形ABCD的面积.图27-3例5如图27-4,四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为

(

)A.15 B.12.5 C.14.5 D.17图27-4B例6如图27-5,在四边形ABCD中,AB=BC=5,∠ABC=45°,连结AC,BD,若∠DAC=90°,AC=AD,则BD的长为

.

图27-5即时巩固一、选择题1.一个五边形的内角和为

(

)A.540° B.450°C.360° D.180°A2.若正多边形的一个外角是40°,则这个正多边形是(

)A.正七边形

B.正八边形C.正九边形

D.正十边形3.过某个多边形一个顶点的所有对角线,将此多边形分成7个三角形,则此多边形的边数为

(

)A.10 B.9 C.8 D.7CB二、填空题4.一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个多边形的边数为

.

5.某正n边形的一个内角为108°,则n=

.

656.如图27-6是由射线AB,BC,CD,DE,EA组成的平面图形,若∠1+∠2+∠3+∠4=225°,ED∥AB,则∠1的度数为

.

图27-645°三、解答题7.如图27-7,四边形ABCD中,AB⊥BC,∠A+∠B=160°,∠D=4∠C,求四边形ABCD各内角的度数.图27-7解:∵AB⊥BC,∴∠B=90°.∵∠A+∠B=160°,∴∠A=70°.∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∴∠C+∠D=200°.∵∠D=4∠C,∴∠C=40°,∠D=160°.考点聚焦考点聚焦第28课时平行四边形基础温故基础温故分类精析分类精析即时巩固即时巩固考点聚焦考点1平行四边形的定义和性质❶定义:两组对边分别

的四边形是平行四边形.

❷平行四边形的性质(1)平行四边形的两组对边分别

;

(2)平行四边形的两组对角分别

;

(3)平行四边形的对角线互相

;

(4)对称性:平行四边形是中心对称图形,它的对称中心是两条对角线的交点.平行平行且相等相等平分【疑难典析】(1)两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间的距离;(2)如果一条直线过平行四边形的对角线的交点,那么这条直线被一组对边截下的线段关于对角线的交点成中心对称,且这条直线等分平行四边形的面积和周长.考点2平行四边形的判定❶定义法.❷一组对边平行且

的四边形是平行四边形.

❸两组对边分别

的四边形是平行四边形.

❹对角线

的四边形是平行四边形.

相等相等互相平分考点3平行四边形的面积平行四边形的面积:平行四边形的面积=底×高.【疑难典析】同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.基础温故1.在▱ABCD中,∠B+∠D=260°,那么∠A的度数是(

)A.130° B.100°C.50° D.80°CC3.如图28-1,在▱ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E,F,连结CE,若△CED的周长为6,则▱ABCD的周长为

(

)A.6 B.12C.18 D.24图28-1BB5.如图28-2,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB中点,且AE+EO=4,则▱ABCD的周长为

(

)A.20 B.16 C.12 D.8图28-2B分类精析类型之一平行四边形的性质例1如图28-3,在▱ABCD中,点E,F分别在边CB,AD的延长线上,且BE=DF,EF分别与AB,CD交于点G,H.求证:AG=CH.图28-3类型之二平行四边形的判定例2如图28-4,B,E,C,F在一条直线上,已知AB∥DE,AC∥DF,BE=CF,连结AD.求证:四边形ABED是平行四边形.图28-4例3如图28-5,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,折痕l交CD边于点E,连结BE.(1)求证:四边形BCED'是平行四边形;(2)若BE平分∠ABC,求证:AB2=AE2+BE2.图28-5证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD,∠D=∠ABC.由折叠,可知∠D=∠AD'E,∴∠AD'E=∠ABC.∴ED'∥CB.∵AB∥CD,∴四边形BCED'是平行四边形.例3如图28-5,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D‘处,折痕l交CD边于点E,连结BE.(2)若BE平分∠ABC,求证:AB2=AE2+BE2.图28-5类型之三平行四边形综合性问题例4如图28-6,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.(1)求证:BE=CD;(2)连结BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.图28-6解:(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AD∥BE,∴∠DAE=∠AEB.∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE.∴∠BAE=∠AEB.∴BE=AB.∵AB=CD,∴BE=CD.例4如图28-6,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.(2)连结BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.图28-6例5如图28-7,在▱ABCD中,分别以边BC,CD作等腰△BCF,△CDE,使BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,连结AF,AE.(1)求证:△ABF≌△EDA;(2)延长AB与CF相交于点G.若AF⊥AE,求证:BF⊥BC.图28-7证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,∠ABC=∠ADC,∵BC=BF,CD=DE,∴BF=AD,AB=DE,∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°,∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°,∠EDC=∠CBF,∴∠ABF=∠ADE,∴△ABF≌△EDA.例5如图28-7,在▱ABCD中,分别以边BC,CD作等腰△BCF,△CDE,使BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,连结AF,AE.(2)延长AB与CF相交于点G.若AF⊥AE,求证:BF⊥BC.图28-7(2)延长FB交AD于点H.∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°,∵△ABF≌△EDA,∴∠EAD=∠AFB,∵∠EAD+∠FAH=90°,∴∠FAH+∠AFB=90°,∴∠AHF=90°,即FB⊥AD,∵AD∥BC,∴FB⊥BC.即时巩固一、选择题1.如图28-8,在▱ABCD中,已知AC=4cm,若△ACD的周长为13cm,则▱ABCD的周长为

(

)A.26cm B.24cm C.20cm D.18cm图28-8D2.如图28-9,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连结OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为

(

)A.50° B.40°C.30° D.20°图28-9B3.如图28-10,在▱ABCD中,BE⊥AB交对角线AC于点E,若∠1=18°,则∠2= (

)A.98° B.102° C.108° D.118°图28-10C二、填空题4.如图28-11,在▱ABCD中,∠A=70°,DC=DB,则∠CDB=

.

图28-115.已知平行四边形ABCD中,AB=20,AD=16,AB与CD之间的距离为8,则AD与BC之间的距离为

.

40°106.如图28-12,▱ABCD中,AC,BD相交于点O,若AD=6,AC+BD=16,则△BOC的周长为

.

图28-1214三、解答题7.如图28-13,在▱ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF.求证:(1)AE=CF;(2)四边形AECF是平行四边形.图28-13证明:(1)在▱ABCD中,AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF.又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.7.如图28-13,在▱ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF.求证:(2)四边形AECF是平行四边形.图28-13(2)由(1)知△ABE≌△CDF,∴AE=CF,∠AEB=∠CFD,∴∠AEF=∠CFE,∴AE∥CF.∴四边形AECF是平行四边形.第29课时矩形考点聚焦考点聚焦基础温故基础温故分类精析分类精析即时巩固即时巩固考点聚焦考点

矩形❶矩形的定义有一个角是直角的

是矩形.

【疑难典析】涉及矩形问题常需要分类讨论.平行四边形❷矩形的性质(1)矩形的对边

;

(2)矩形的四个角都是

角(或矩形的四个角相等);

(3)矩形的对角线

且

.

平行且相等直相等互相平分【疑难典析】(1)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形;(2)矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,矩形还是中心对称图形,它的对称中心是对角线的交点;(3)经过矩形对角线交点的任一直线把矩形分成两个全等的图形;(4)矩形的面积等于两邻边长的乘积;(5)利用“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质,可以得出:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.❸矩形的判定(1)定义法.(2)有三个角是直角的

是矩形.

(3)对角线相等的

是矩形.

【疑难典析】要利用矩形的判定(3),必须满足以下两个条件:①对角线相等;②平行四边形.四边形平行四边形基础温故C2.如图29-1,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=4cm,则矩形对角线长为

(

)A.4cm B.6cm C.8cm D.12cm图29-1C图29-2D4.如图29-3,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要添加的条件是

(

)A.AB=CD B.AD=BCC.AB=BC D.AC=BD图29-3D5.如图29-4,矩形ABCD中对角线AC,BD交于点O,E是AD中点,连结OE.若OE=3,AD=8,则对角线AC的长为

(

)A.5 B.6C.8 D.10图29-4D分类精析类型之一矩形的性质例1如图29-5,在矩形ABCD中,E是AB的中点,连结DE,CE.(1)求证:△ADE≌△BCE;(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周长.图29-5例1如图29-5,在矩形ABCD中,E是AB的中点,连结DE,CE.(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周长.图29-5例2如图29-6,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.(1)求证:AE=CF;(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.图29-6例2如图29-6,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.图29-6类型之二矩形的判定例3如图29-7,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点,并且AE=CF,连结DE,BF.(1)求证:△DOE≌△BOF;(2)若BD=EF,连结EB,DF,判断四边形EBFD的形状,并说明理由.图29-7例3如图29-7,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点,并且AE=CF,连结DE,BF.(2)若BD=EF,连结EB,DF,判断四边形EBFD的形状,并说明理由.图29-7(2)结论:四边形EBFD是矩形.理由:∵OD=OB,OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形,∵BD=EF,∴四边形EBFD是矩形.例4如图29-8,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连结BF.(1)线段BD与CD有何数量关系,为什么?(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?请说明理由.图29-8解:(1)BD=CD.理由如下:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE.∵E是AD的中点,∴AE=DE,∴△AFE≌△DCE,∴AF=DC.又∵AF=BD,∴BD=CD.例4如图29-8,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连结BF.(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?请说明理由.图29-8(2)当△ABC满足AB=AC时,四边形AFBD是矩形.理由如下:∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°.易知四边形AFBD是平行四边形,∴四边形AFBD是矩形.类型之三矩形综合性问题例5如图29-9,已知四边形ABCD是平行四边形,并且∠A=∠D.(1)求证:四边形ABCD为矩形;(2)点E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠1=2∠2,若CE=4,CF=5,求DF的长.图29-9解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,∵∠A=∠D,∴∠A=90°,∴平行四边形ABCD为矩形.例5如图29-9,已知四边形ABCD是平行四边形,并且∠A=∠D.(2)点E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠1=2∠2,若CE=4,CF=5,求DF的长.图29-9即时巩固一、选择题1.下列命题正确的是

(

)A.有一个角是直角的四边形是矩形B.有三个角是直角的四边形是矩形C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相平分的四边形是矩形B2.如图29-10,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点M是AB的中点,若OM=4,AB=6,则BD的长为

(

)A.4 B.5 C.8 D.10图29-10D3.如图29-11,矩形ABCD中,E点在BC上,且AE平分∠BAC,若BE=5,AC=12,则△AEC的面积为

(

)A.20 B.30C.60 D.15图29-11B二、填空题4.矩形的对角线长为20,两邻边之比为3∶4,则矩形的面积为

.5.如图29-12,在矩形ABCD中,E为BC的中点,且∠AED=90°,AD=10,则AB的长为

.

图29-1219256.如图29-13,在矩形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,连结CE.若BC=7,AE=4,则CE=

.

图29-135三、解答题7.如图29-14,在▱ABCD中,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)若AB=DB,求证:四边形DFBE是矩形.图29-147.如图29-14,在▱ABCD中,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F.(2)若AB=DB,求证:四边形DFBE是矩形.图29-14(2)∵△ABE≌△CDF,∴AE=CF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴DE∥BF,DE=BF,∴四边形DFBE是平行四边形.∵AB=DB,BE平分∠ABD,∴BE⊥AD,即∠DEB=90°,∴平行四边形DFBE是矩形.第30课时菱形考点聚焦考点聚焦基础温故基础温故分类精析分类精析即时巩固即时巩固考点聚焦考点1菱形的定义一组邻边相等的

是菱形.

【疑难典析】菱形的定义是在平行四边形的基础上定义的.平行四边形考点2菱形的性质❶菱形的四条边都

.

❷菱形的对角线互相

,并且每一条对角线平分一组对角.

❸菱形是中心对称图形,它的对称中心是两条对角线的交点;菱形也是轴对称图形,两条对角线所在的直线是它的对称轴.相等垂直平分考点3菱形的判定❶定义法.❷对角线互相垂直的

是菱形.

❸四条边都相等的

是菱形.

【疑难典析】在进行菱形判定时,必须转化出满足菱形的定义或判定定理所需的条件.平行四边形四边形考点4菱形的面积❶由于菱形是平行四边形,所以菱形的面积=底×高.❷因为菱形的对角线互相垂直平分,所以其对角线将菱形分成4个全等的三角形,故菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.【疑难典析】在计算菱形面积时,必须搞清所运用的是哪一个面积公式.基础温故B2.一个菱形的两条对角线的长分别为5和8,那么这个菱形的面积是

(

)A.40 B.20C.10 D.253.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是(

)A.10 B.8 C.6 D.5BD4.如图30-1,菱形ABCD的周长为48cm,对角线AC,BD相交于O点,E是AD的中点,连结OE,则线段OE的长等于

cm.

图30-165.如图30-2,菱形的周长是20cm,∠DAB=60°,则BD=

cm.

图30-25分类精析类型之一菱形的性质例1如图30-3,在菱形ABCD中,分别延长AB,AD到E,F,使得BE=DF,连结EC,FC.求证:EC=FC.图30-3证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CB=CD,∠ABC=∠ADC,∴∠EBC=∠FDC,∵BE=DF,∴△EBC≌△FDC,∴EC=FC.类型之二菱形的判定例2如图30-4,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,F分别是AB,BC上的点,AE=CF,并且∠AED=∠CFD.求证:(1)△AED≌△CFD;(2)四边形ABCD是菱形.图30-4例2如图30-4,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,F分别是AB,BC上的点,AE=CF,并且∠AED=∠CFD.求证:(2)四边形ABCD是菱形.图30-4(2)∵△AED≌△CFD,∴AD=CD,又∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形.类型之三菱形的有关计算图30-5图30-6解:(1)证明:∵AB∥CD,∴∠OAB=∠DCA,∵AC为∠DAB的平分线,∴∠OAB=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD=AB,∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AD=AB,∴四边形ABCD是菱形.图30-6类型之四菱形综合性问题图30-7图30-7即时巩固一、选择题1.若菱形周长为20,它的一条对角线长为6,则它的另一条对角线长为

(

)A.2 B.4 C.6 D.8D2.如图30-8,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6cm,8cm,则这个菱形的周长为

(

)A.5cm B.10cmC.14cm D.20cm图30-8D3.如图30-9,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,添加下列一个条件,能使平行四边形ABCD成为菱形的是(

)A.AO=BO B.AC=ADC.AB=BC D.OD=AC图30-9C二、填空题4.已知一个菱形的周长为24cm,有一个内角为60°,则这个菱形较短的一条对角线长为

cm.

5.如图30-10,在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,则菱形的面积是

.

图30-106246.如图30-11,已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6cm、8cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是

cm.

图30-11三、解答题7.如图30-12,在▱ABCD中,作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为O,分别交AD,BC于E,F,连结BE,DF.求证:四边形BFDE是菱形.图30-12第31课时正方形考点聚焦考点聚焦基础温故基础温故分类精析分类精析即时巩固即时巩固考点聚焦考点1正方形的定义有一组邻边相等,并且

的平行四边形是正方形.

【疑难典析】本定义从边和角两个角度在平行四边形的基础上进行定义.有一个角是直角考点2正方形的性质❶正方形的对边平行,四边相等.❷正方形的四个角都是直角.❸正方形的对角线相等,互相

,每条对角线平分一组对角.

❹正方形的对称性:正方形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴有四条,对称中心是对角线的交点.垂直平分【疑难典析】正方形既是平行四边形又是矩形还是菱形,因此,它拥有这三类图形所拥有的一切性质,它特有的性质之一是正方形的对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.考点3正方形的判定可根据以下两条来判定:(1)有一组邻边相等的矩形是正方形;(2)有一个角是直角的菱形是正方形.考点4中点四边形定义:顺次连结四边形各边中点所得的四边形,我们称之为中点四边形.【疑难典析】1.任意四边形的中点四边形是平行四边形.2.对角线相等的四边形的中点四边形是菱形.3.对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形.4.对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形.基础温故B2.如图31-1,在正方形ABCD中,E是AC上的一点,且AB=AE,则∠EBC的度数是

(

)A.45° B.30° C.22.5° D.20°图31-1C3.根据下列条件,能判定一个四边形是正方形的是(

)A.对角线互相垂直且平分B.对角相等C.对角线互相垂直、平分且相等D.对角线相等C4.如图31-2,正方形ABCD的周长为28cm,则矩形MNGC的周长是

(

)A.24cm B.14cmC.18cm D.7cm图31-2B5.如图31-3,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B,D作DE⊥a于点E,BF⊥a于点F,若DE=4,BF=3,则EF的长为

(

)A.1 B.5 C.7 D.12图31-3C分类精析类型之一正方形的性质例1如图31-4,在正方形ABCD中,E,F分别为CD,DA延长线上的点,CE=AF.(1)求证:△BEC≌△BFA;(2)求∠BEF的度数.图31-4例1如图31-4,在正方形ABCD中,E,F分别为CD,DA延长线上的点,CE=AF.(2)求∠BEF的度数.图31-4(2)∵△BEC≌△BFA,∴BE=BF,∠CBE=∠ABF,∴∠CBE+∠EBA=∠ABF+∠ABE,即∠CBA=∠EBF.∴∠EBF=90°,∴∠BEF=∠BFE=45°.类型之二正方形的判定例2如图31-5,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于F,连结CF.(1)求证:AD=AF;(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.图31-5例2如图31-5,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于F,连结CF.(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.图31-5(2)四边形ADCF是正方形.∵AF=BD=DC,AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形,∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,即∠ADC=90°,∴四边形ADCF是矩形,∵AD=AF,∴四边形ADCF是正方形.类型之三正方形综合性问题例3如图31-6,已知正方形ABCD的边长为2,E是BC边上的动点,BF⊥AE交CD于点F,垂足为G,连结CG.则CG的最小值为

.

图31-6例4如图31-7,正方形ABCD的边长是2,点E,F分别是AB,BC边上的动点(不与点A,B,C重合),且BE=BF,EG⊥AB,FG⊥BC,EG与FG相交于点G,当△ADG为等腰三角形时,BE的长为

.

图31-7例5某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的性质时,做了如下探究:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连结CF.(1)观察猜想如图31-8①,当点D在线段BC上时,①BC与CF的位置关系为:

;

图31-8垂直②BC,CD,CF之间的数量关系为:

;(将结论直接写在横线上)

(2)数学思考如图31-8②,当点D在线段CB的延长线上时,①,②结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.图31-8BC=DC+CF图31-8例5某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的性质时,做了如下探究:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连结CF.图31-8(2)数学思考如图31-8②,当点D在线段CB的延长线上时,①,②结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.图31-8(2)①成立,②BC=DC-CF.证明:∵正方形ADEF,∴AD=AF,∠DAF=90°.∵∠BAC=90°,∴∠DAB=∠FAC.∵AB=AC,∴△DAB≌△FAC.∴DB=CF,∠DBA=∠FCA.∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°.∴∠DBA=∠FCA=135°,∴∠BCF=90°,∴CF⊥BC.∵BC=DC-DB,DB=CF,∴BC=DC-CF.例5某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的性质时,做了如下探究:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连结CF.图31-8图31-8即时巩固一、选择题D2.如图31-9,以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE,连结DE,则∠BED的度数为

(

)A.120° B.125° C.135° D.150°图31-9C图31-10C二、填空题图31-1125.如图31-12,在正方形ABCD中,E是CD上的点,若BE=3,CE=1,则正方形ABCD的对角线的长为

.

图31-124图31-131三、解答题7.如图31-14,在正方形ABCD中,E,F分别在边BC,AB上,AF=BE,AE与DF相交于点O.(1)求证:△DAF≌△ABE;(2)求∠AOD的度数.图31-147.如图31-14,在正方形ABCD中,E,F分别在边BC,AB上,AF=BE,AE与DF相交于点O.(2)求∠AOD的度数.图31-14(2)∵△DAF≌△ABE,∴∠ADF=∠BAE,∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=90°,∴∠AOD=180°-(∠ADF+∠DAO)=90°.第32课时四边形综合考点聚焦考点聚焦基础温故基础温故分类精析分类精析即时巩固即时巩固考点聚焦考点1四边形中的计算【疑难典析】四边形中的计算通常涉及勾股定理、相似三角形、锐角三角函数、图形的变换(平移、对称、旋转)等知识.解题时注意分类讨论思想、方程思想的运用.考点2特殊四边形中性质判定的应用【疑难典析】特殊四边形中的计算和证明是常见的题型,熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键.基础温故1.下列说法正确的是

(

)A.邻边相等的平行四边形是矩形B.一组邻边相等的矩形是正方形C.一组邻边互相垂直的四边形是菱形D.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B2.如图32-1,以正方形ABCD的边CD为边向正方形ABCD外作等边△CDE,AC与BE交于点F,则∠AFE的度数是(

)A.135° B.120° C.60° D.45°图32-1B3.如果点E,F,G,H分别是菱形ABCD四边AB,BC,CD,DA的中点,那么四边形EFGH是

(

)A.菱形

B.矩形C.正方形

D.以上都不是B图32-2A图32-3C分类精析类型之一四边形综合应用例1如图32-4,四边形ABCD中,AB=5,BC=2,AC⊥AD,∠ACD=∠ADC=∠ABC=45°,求对角线BD的长.图32-4类型之二平行四边形综合应用例2如图32-5,四边形ABCD为平行四边形,E为AD上的一点,连结EB并延长,使BF=BE,连结EC并延长,使CG=CE,连结FG.H为FG的中点,连结DH.(1)求证:四边形AFHD为平行四边形;(2)若CB=CE,∠EBC=75°,∠DCE=10°,求∠DAB的度数.图32-5例2如图32-5,四边形ABCD为平行四边形,E为AD上的一点,连结EB并延长,使BF=BE,连结EC并延长,使CG=CE,连结FG.H为FG的中点,连结DH.(2)若CB=CE,∠EBC=75°,∠DCE=10°,求∠DAB的度数.图32-5(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠DAB=∠DCB,∵CE=CB,∴∠BEC=∠EBC=75°,∴∠BCE=180°-75°-75°=30°,∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+30°=40°,∴∠DAB=40°.类型之三矩